Векторний метод в геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Теоретична частина

1. Поняття вектора

1.1 Рівність векторів

1.2 Додавання векторів, властивості операції додавання векторів

1.3 Віднімання векторів

1.4 Множення вектора на число

2. Колінеарність векторів

3. Компланарність векторів

4. Лінійна залежність векторів

5. Тривимірний векторний простір і його підпростори

6. Координати вектора

7. Скалярний добуток векторів

8. Суть аксіоматичного методу

8.1 Що таке математика

8.2 Аксіоми. Теореми

8.3 Математичні поняття. Означення

8.4 Як виникають математичні поняття

8.5 Звідки беруться аксіоми

8.6 Моделювання геометричних ситуацій

9. Векторне обґрунтування геометрії Евкліда. Система аксіом Вейля

Практична частина

Висновок

Література

Вступ

Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як упорядковану пару чисел.

Уперше поняття вектора як напрямленого відрізка знайшло застосування в механіці для зображення фізичних векторних величин: швидкості, прискорення, сили, моменту сили тощо. Високий ступінь наочності і простота геометричних операцій над векторами як напрямленими відрізками сприяли тому, що поняття вектора знайшло загальне визнання і застосування в інших розділах фізики: в кінематиці, статиці, динаміці точки і динаміці системи, в теорії потенціалу та гідродинаміці, а також стало одним із основних понять таких наук, як векторна алгебра, векторний аналіз, теорія поля тощо.

Проте хоча поняття вектора знайшло перше застосування в фізиці, це математичне поняття, усі операції над якими виконуються за законами математики.

Вектор як математичне поняття міцно ввійшов у шкільну математику, у різні нематематичні науки. В школі за допомогою векторного методу розв'язується багато різноманітних задач, які не мають іншого способу розв'язання.

Саме тому вивчення поняття вектора є дуже важливим в сучасних умовах розвитку математичних наук.

Теоретична частина

1. Поняття вектора

В елементарній геометрії, як відомо, відрізком AB називається сукупність всіх точок прямої, що лежать між A і B. Точки A і B називаються кінцями відрізка. При цьому, очевидно, порядок, в якому беруться кінці відрізка, несуттєвий. Однак при використанні геометрії у вивченні фізики, особливо механіки, часто доводиться розглядати напрямлені відрізки, тобто відрізки, для яких вказані початкова і кінцева точки. Тобто AB і BA геометрично один і той же відрізок, але, розглядаючи їх як напрямлені відрізки, ми повинні враховувати, що вони задають різні об'єкти.

Означення 1. Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого вказано, яка з обмежуючих його точок рахується першою, яка - другою. Перша точка напрямленого відрізка називається початком вектора, а друга точка - кінцем.

Напрямок вектора на кресленні відмічається стрілкою, оберненою гострим кінцем до кінця вектора. В тексті вектор записується двома великими літерами латинського алфавіту зі спільною рискою зверху, при цьому перша з них позначає початок, друга - кінець вектора.

Наприклад, , (мал. 1.a), причому А, C - відповідно початки, а В, D - кінці даних векторів. В деяких випадках вектор позначається також однією малою літерою, наприклад, a, b, c,… (мал. 1.b).

Означення 2. Вектори і називаються однаково напрямленими (спів напрямленими), якщо спів напрямлені відповідні їм напрямлені відрізки і (мал. 2.a), і протилежно напрямленими, якщо напрямлені відрізки і протилежно напрямлені (мал. 2.b).

Означення 3. Довжиною (модулем) вектора називається довжина будь-якого представника класу спів напрямлених відрізків, який визначає цей вектор.

Інакше кажучи, довжиною вектора називається довжина напрямленого відрізка, який зображає цей вектор.

Модуль вектора позначають , а вектора АB - .

Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називається нульовим вектором, позначають або . Нульовий вектор не визначає ніякого напряму, а його довжина вважається рівною нулю.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором, або ортом.

1.1 Рівність векторів

Означення 1. Два вектори називаються рівними, якщо множини відповідних їм напрямлених відрізків збігаються. Пишуть: =.

Всі нульові вектори вважаться рівними один одному.

Із цього означення випливає така ознака рівності двох векторів.

Теорема 1. (перша ознака рівності двох векторів).

Для того щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб вони були однаково напрямленими і мали рівні довжини.

Доведення:

1. Необхідність. Нехай вектори і рівні. Доведемо, що і =.

Якщо =, то множини напрямлених відрізків, які відповідають цим векторам, збігаються. Тому , =. Звідси ,=, що й треба було довести.

2. Достатність. Нехай , =. Доведемо, що =. Якщо, , =, то і належать одній і тій же множині однаково напрямлених відрізків рівної довжини. А це означає, що =. Теорему доведено.

Наслідок. Два вектори, кожен з яких дорівнює третьому, рівні між собою.

Теорема 2. (теорема про відкладання вектора).

Від будь-якої точки простору можна відкласти вектор, рівний даному, і до того ж єдиний.

Доведення: Нехай даний вектор зображається напрямленим відрізком . Виберемо у просторі довільну точку О, сполучимо точку В з точкою О і позначимо середину відрізка ОВ через С (мал. 3).

Проведемо відрізок АС і відкладемо на його продовженні відрізок CM=АС. Чотирикутник АВМО є паралелограмом, бо його діагоналі точкою перетину діляться пополам. Звідси випливає, що промені АВ і ОМ однаково напрямлені, а відрізки АВ і ОМ рівні. Отже, ==.

Доведемо тепер, що цей вектор єдиний. Припустимо, що існує інший вектор =, відмінний від . Але ж і =, тому =. Отже, , =, тому точки M і збігаються, що суперечить припущенню. Тобто від точки O можна відкласти лише один вектор, рівний даному вектору . Теорему доведено.

Означення 2. Два вектори називаються протилежними, якщо вони протилежно напрямлені і мають рівні довжини. Вектор, протилежний до , позначається - (мал. 4). Очевидно, =-, - (-)=.

1.2 Додавання векторів, властивості операції додавання векторів

Введемо операцію додавання векторів, яка відіграє важливу роль в векторній алгебрі.

Означення. Нехай задано два вектори і . Від деякої точки A відкладемо вектор =, потім від точки B відкладемо вектор =. Вектор = називається сумою векторів і і позначається так:

=+

Тому вказане правило додавання векторів називають правилом трикутника. Це правило можна сформулювати так: для будь-яких трьох точок A, B і C:

+=

Або: сумою векторів і є вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що вектор відкладено від кінця вектора . З цього правила випливає правило паралелограма: якщо вектори і відкладені від спільного початку O, =, = і на них побудовано паралелограм OACB, то сумою векторів + є вектор =, який виходить з того ж початку і збігається з діагоналлю OC паралелограма. Розглянемо властивості операції додавання векторів. Властивість 1. Операція додавання векторів комутативна, тобто для будь-яких векторів і :

+=+

Доведення: За правилом трикутника маємо (мал. 6):



Властивість 2. Операція додавання векторів асоціативна, тобто для будь-яких векторів , , :

(+)+= +(+)

Властивість 3. Сумою протилежних векторів є нуль-вектор:

+(-)=0.

Доведення. Нехай =, тоді -=, і за правилом трикутника матимемо:

+(-)=+==0.

Властивість 4. Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання:

+=+

Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника. Щоб знайти суму n векторів (мал. 7), потрібно з довільної точки O відкласти вектор =, з його кінця - вектор:

=,

=.

Початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього. Вектор = буде сумою даних векторів.

1.3 Віднімання векторів

Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення. Різницею векторів і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор :

-=

Якщо:

+=

Доведемо, що вектор існує і притому єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох частин рівності вектор (-) і користуючись властивостями суми векторів, маємо:

(-)++=(-)+

Отже, якщо вектор існує, то він визначається попередньою рівністю (2), а тому єдиний. Дійсно, підставивши (2) в (1), одержимо правильну рівність:

++(-)=

Отже, вектор, який визначається формулою (2), є різницею векторів і :

-=+(-)=

За правилом трикутника:

+=

Звідси:

=- (мал. 8)

Отже, для побудови різниці векторів і досить відкласти ці вектори від спільного початку: (=,=) і провести вектор від кінця B вектора-від'ємника до кінця C вектора-зменшуваного; цей вектор і є шуканою різницею -:

=-

1.4 Множення вектора на число

Означення. Добутком вектора на дійсне число б називається вектор , який задовольняє такі умови:

1) =*

2) , якщо б >0, і , якщо б <0.

Такий вектор позначається = б .

Операція добутку вектора на число має такі властивості.

Властивість 1.

б*=0*=

Для будь-якого дійсного числа б і будь-якого вектора . Ця властивість випливає з умови 1) означення.

Властивість 2. Для будь-якого вектора:

1*=;

-1*=-.

Ця властивість випливає безпосередньо з означення.

Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел б і в:

б(в)=(бв)

Доведення. Нехай:

б (в ) = ,

(б в) = .

Доведемо, що =. Маємо:

=*=**,

=*=**.

Отже, =. Покажемо, що . Якщо б і в одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа б і в протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.

Властивість 4.

Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто:

б(+)=б+б

Для ,, і б,,R.

Доведення. Нехай б > 0. Відкладемо вектори =, =, =б, =б (мал. 9). Тоді:

+=,

б+б=.

Покажемо, що =б. Оскільки вектори і б, і б відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні:

Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB=, а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того:

=б*=*

Тому:

= б *

Аналогічно розглядається випадок, коли б <0 (мал. 10.)

Випадок б = 0 тривіальний. Отже:

б (+) = б+б

Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто:

(б+в)=б+в

Для ,, і б, в,,R.

2. Колінеарність векторів

Означення. Два ненульових вектори і називаються колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: ||.

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені, або протилежно напрямлені. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори не колінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число б таке, що:

=б. /1/

Доведення.

1. Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то:

=

Оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі:

= =

Позначивши б=, дістанемо: = б. Якщо , то аналогічно доводиться, що:

= -

Нехай б = -, тоді також = б.

2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку б =0.

Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число б таке, що = б, то звідси формально можна написати: б=, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення : двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори і однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільної точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині.

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних. Теорема 1. (про розклад вектора за двома неколінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа б, в такі, що:

= б + в. /2/

Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел б і в, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій. Можливі два випадки:

1. Точка С належить прямій ОВ. Тоді вектори і колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = в, де в - деяке число. Отже:

 =0*+ в

Тобто має місце розклад /2/.

2. С(ОВ). Проведемо || OB. Тоді за правилом трикутника:

=+

Але ця рівність можлива тільки тоді, коли б =, в =. Дійсно, якби, наприклад, б , то було б,

||

Що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора за векторами і . Теорему доведено.

Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , , некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і до того ж єдині числа б, в, г такі, що:

= б+ в+ г

4. Лінійна залежність векторів

Означення. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,…, серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що:

++ … += 0. / 3/

Якщо ж рівність /3/ справджується тільки при ==…== 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Сума:

++ … +

Називається лінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що:

++ … += 0 /4/

При цьому принаймні одне з чисел , ,…, не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0.

Тоді з рівності /4/ дістанемо:

= - - - - - .

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів , ,…, ,…, .

3. Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор є лінійною комбінацією інших векторів:

=++ … +++ … +

Цю рівність можна записати так:

++ … + + (-1) ++ … += 0

У цій рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2.

Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Властивість 3.

Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4.

Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , , то виконується рівність:

1* + 0* +… + 0* =0. 10

Тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Два вектори і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий: = , звідки випливає, що вектори і колінеарні.

2. Достатність. Нехай вектори і колінеарні. Тоді існує таке число б, що = б. Із властивості 1 випливає, що вектори і лінійно залежні. Теорему доведено.

Теорема 2. Система трьох векторів , , лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад:

= б+ в

Із означення суми векторів випливає, що вектори , б, в компланарні, а тоді і вектори , , будуть компланарними, бо || б, || в.

2. Достатність. Нехай вектори , , компланарні. Якщо ||, то за попередньою теоремою вектори , лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж неколінеарний з , то за теоремою про розклад вектора за двома неколінеарними векторами:

= б+ в

То за властивістю 1 система векторів , , лінійно залежна. Теорему доведено.

5. Тривимірний векторний простір і його підпростори

Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:

,: + = + ;

, , :( +) + = + ( + );

, : + = + = ;

(-): + (-) = ;

: 1* = ;

б, в R, : б(в) = (бв);

б, в R, : (б + в) = б + в;

б R, , : б( + ) = б + б

Називається векторним простором. Позначимо його .

У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.

Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:

1) ця система векторів лінійно незалежна;

2) будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів. Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору. Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів. З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох не компланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Тому розмірність даного простору дорівнює трьом. У зв'язку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.

Означення: нехай L - непорожня множина векторів із векторного простору . Множина L називається векторним підпростором простору , якщо виконуються такі умови:

1) якщо L, L, то:

+ L;

2) якщо L, то і б L б R.

Тобто підмножина L простору буде векторним підпростором простору , якщо вона сама є векторним простором.

6. Координати вектора

Нехай (, , ) деякий базис простору , - довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують числа , , такі, що

= + +

Коефіцієнти , , розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число - другою, а число - третьою.

Якщо вектор в даному базисі має координати ,, , то скорочено це записують так: (, , ) або . Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , , і від деякої точки О простору (мал. 11):

=,

=,

=,

=.

Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді:

0 = + +

Де:

= , = =, =

Тому:

=

> 0, якщо і < 0, якщо ;

=

> 0, якщо і < 0, якщо .

Аналогічно:

=

> 0

Якщо:

 і < 0, .

Отже, координата з точністю до знака дорівнює довжині відрізка виміряному в одиницях довжини .

Знак же координати залежить від напрямку векторів і : > 0, якщо і < 0, якщо . Аналогічно зміст двох інших координат і .

Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

Аналогічно визначаються координати вектора в просторі . Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів , є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектора із підпростору існують єдині числа , такі, що:

= +

Коефіцієнти , цього розкладу називаються координатами вектора в базисі (,). Число називається першою координатою, а число - другою.

Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі (мал. 12):

= + = + .

= ,

> 0, якщо і < 0, якщо ;

= ;

> 0, якщо і < 0, якщо .

Базисні вектори мають координати: (1; 0), (0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.

Розглянемо властивості координат векторів.

Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.

Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.

Теорема: справедливі такі твердження:

1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;

2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;

3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.

Доведення: доведемо наприклад перше твердження.

Нехай у деякому базисі (,,), (, , ), (, , ). Тоді за означенням координат вектора:

= + + , = + + .

Отже:

+ = + + + + + = (+ ) + ( + ) + ( +)

Звідси випливає, що координати вектора + відповідно дорівнюють +, + , + , що й треба було довести.

Аналогічно доводяться й інші властивості.

Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори (, , ), (, , ) задані в деякому базисі (,,), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.

Доведення: якщо = , то твердження очевидне. Припустимо, що .

1. Необхідність. Нехай || . Тоді існує таке число б, що = б, звідки випиває, що = б, = б, = б;

Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

2. Достатність.

Нехай = б, тоді = б, = б, = б. Помноживши ці рівності на вектори , , відповідно, дістанемо: = л, = б, = б. Додавши ці рівності дістанемо:

+ + = б + б + б

Або:

+ + = б( + + )

Тобто = б || . Теорему доведено.

7. Скалярний добуток векторів

Нехай , ? ненульові вектори. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =. Кутом між векторами і називається кут між променями OA і OB (мал. 13). Позначають: (,) = г. Для будь-яких векторів і маємо 0 ? (,) ? р.

Означення: скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними:

= cos ( )

Теорема: скалярний добуток векторів (, , ), (, , ), заданих в ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:

= + +

Доведення. Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що , і розглянемо два випадки.

1. Вектори і не колінеарні. Відкладемо вектори = , = (мал. 14). Нехай (, ) = г.

З OAB за теоремою косинусів:

- 2 OA*OB*cosг

Або:

Звідки:

Отже:

= + +

2. Вектори і колінеарні. Тоді: = б, = б, = б, = б;

= б = cos(б, ) = б= б() = б + б + б = + +

Теорему доведено.

З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів.

Формула, аналогічна до формули /5/, має місце і в просторі . Справді, нехай в ортонормованому базисі простору задано вектори (, ), (, ). Тоді, користуючись властивостями 1-5, дістанемо:

= ( + )( + )= + ( + ) + = +

Отже:

= +

З означення скалярного добутку випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами:

- у просторі :

cos(, ) = ;

- в просторі :

cos(, ) = .

8. Суть аксіоматичного методу

8.1 Що таке математика

Математика - це наука про числа й фігури, скажете Ви. Адже арифметика вивчає дії над числами. Геометрія - властивості геометричних фігур. В алгебраїчних виразах змінні теж позначають числа.

Однак є такі галузі математики, де ні числа, ні фігури ніякої особливої ролі не відіграють. Відкриємо підручник із математичної логіки. Формули, що зустрінуться нам тут, нагадують алгебраїчні. Але буквами в них позначають не числа, а фрази, частіше всього математичні твердження. Їх у логіці називають висловленнями. Фігури ж з'являються тут, хіба-що для ілюстрації.

Схожа ситуація в інших сучасних математичних теоріях. У теорії груп змінними позначено математичні операції. У теорії ймовірностей - події. Після таких прикладів важко стверджувати, що числа й фігури є для математики основними об'єктами вивчення.

То, що ж вивчає математика? Що в ній найголовніше? Що є найхарактернішим для будь-якого з її розділів, будь-якої її теорії?

Якщо уважно придивитися, як будується математична теорія, то цей процес нагадує спорудження будинку з окремих цеглин. Коли муляр зводить стіну, то кожна цеглина міцно укладається на покладені раніше і скріплюється з ними розчином. Так само в міркуванні математика кожне твердження спирається на вже доведені. Воно зцементовано з ними законами логіки.

Кожна така “цеглина” у математичній “споруді”, кожне твердження математичної теорії, отримане з раніше доведених на підставі законів логіки, називається теоремою. Звичайно, математики далеко не кожне твердження, отримане шляхом логічних міркувань, називають теоремами. Деякі теореми називаються по-іншому. Наприклад, говорять: ознаки рівності трикутників; правила додавання векторів. Але якщо бути строгим у термінології, то кожне таке правило, кожна ознака - одним словом, кожне математичне твердження, одержуване шляхом логічних міркувань, є теоремою.

Будь-яка теорема або декілька теорем, у свою чергу, використовується для обґрунтування нових теорем. І подібно до того, як будинок складається з цеглин, будь-яка математична теорія є не що інше, як логічна послідовність теорем.

8.2 Аксіоми. Теореми

Розбудовуючи будь-яку математичну теорію, ми рухаємося вперед. Тобто виявляємо і доводимо все нові й нові теореми. Однак можна рухатись й у зворотному напрямку.

Якщо розбирати будинок, забираючи зі стіни по цеглині, то можна дійти до його фундаменту. Так само, якщо ми захочемо з'ясувати на які теореми спирається кожна теорема, то ми обов'язково доберемося до таких тверджень, істинність яких приймається без доведення. Їх називають аксіомами або постулатами.

Відкриємо знамениті «Начала» Евкліда. Протягом багатьох століть ця книга служила для школярів підручником геометрії, а для вчених - зразком математичної строгості.

Уже на перших сторінках свого трактату Евклід перераховує постулати, на які посилається надалі, виводячи геометричні теореми:

1. Від усякої точки можна провести пряму лінію. 2. Обмежену пряму можна нескінченно продовжувати до прямої. 3. З усякого центра довільним розхилом може бути описане коло. 4. Усі прямі кути рівні між собою. 5. Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за дві прямі. На такому фундаменті зводиться будинок Евклідової геометрії. Наприклад, за допомогою свого п'ятого постулату Евклід доводить теорему про рівність внутрішніх різносторонніх кутів, утворених паралельними прямими й січною. Використовуючи цю теорему, доводить теорему про суму внутрішніх кутів трикутника і т. д. Так і утворюється одна теорема за іншою.

8.3 Математичні поняття. Означення

Ми з'ясували, що найістотнішою, найхарактернішою особливістю математики є логічно послідовний ряд тверджень. Ця характерна риса точної науки яскраво виявилася вже в найдавніших її розділах - арифметиці і геометрії.

Згодом з'явилися в математиці й формули - особлива мова для запису міркувань і теорем, мова зручна, точна і лаконічна. Наприклад, відому теорему Піфагора можна сформулювати словами: “Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів”. Але математик надасть перевагу короткій рівності:

с²=a²+b²

Як бачимо, в теоремі Піфагора йдеться про властивість прямокутного трикутника. Взагалі, в будь-якій теоремі чи формулі виражені властивості математичних об'єктів: чисел, фігур, математичних операцій, рівнянь, функцій.

З'ясуємо, як математики вводять у свої міркування нові об'єкти - означують математичні поняття.

Що таке квадрат? Згідно означення: це прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою. Поняття квадрата, як бачимо, подається через більш загальне поняття прямокутника. А що таке прямокутник? Це паралелограм, у якого всі кути прямі. Ще один крок до поняття більш елементарного. А паралелограм? Це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Такий спосіб побудови математичних понять використовував ще Аристотель. Великий давньогрецький філософ назвав його так: означення через рід і видову відмінність.

Наприклад, прямокутник відноситься до роду паралелограмів, а його видова відмінність полягає в тому, що усі його кути прямі. Паралелограм відноситься до роду чотирикутників, а видова відмінність - паралельність протилежних сторін. Поняття чотирикутника, у свою чергу, визначається через поняття відрізка, а той визначається як частина прямої, що міститься між двома точками цієї прямої, включаючи і ці точки.

Так у ході свого аналізу ми добралися до основних геометричних понять, про які мова йде в аксіомах геометрії “точка” і “пряма”, “лежати” і “між”.

А як визначаються основні поняття? Подивимось як це робив батько геометрії Евклід.

Відкриємо знову його «Начала»: “Точка є те, що не має частин. Лінія - це довжина без ширини. Кінці ж лінії-точка. Пряма лінія є та, що однаково розташована стосовно точок на ній...”

Чи задоволені Ви таким означенням? Мабуть, ні! Напевно, виникають питання:

Хіба тільки про пряму лінію можна сказати, що вона однаково розташована відносно своїх точок?

Адже такою ж властивістю володіє й коло. А що таке довжина? ширина? Хіба ці поняття не вимагають означень?

Особливо над цими питаннями математики стали замислюватися на межі XIX і XX століть. Глибокий аналіз Евклідової геометрії показав, що не такою вже і стрункою є ця давня споруда. Недоліки в її конструкції містяться у фундаменті. Почалася кропітка робота, спрямована на усунення цих недоліків.

То як же виглядають початки геометрії у сучасному викладі? Візьмемо книгу німецького математика Давида Гільберта ”Основи геометрії”:

“Ми мислимо три різні системи речей: речі першої системи ми називаємо точками, речі другої системи ми називаємо прямими, речі третьої системи ми називаємо площинами. Ми мислимо точки, прямі й площини у визначених співвідношеннях і позначаємо ці співвідношення різними словами, а саме: належати, між, конгруентний (тобто такі, що суміщаються при накладанні), паралельний, неперервний”.

Як бачимо, Гільберт і не збирається означувати основні об'єкти геометрії - точку, пряму, площину. Ці поняття вважаються основними, неозначуваними.

8.4 Як виникають математичні поняття

“Не можна бути математиком, не будучи в той же час і поетом у душі”,-говорив німецький математик Карл Вейєрштрасс.

Якщо сучасна геометрія відмовляється розкривати джерела своїх понять, якщо нам ніяк не вдається виявити їх у строгих математичних термінах, то, можливо, нам допоможуть у цьому поетичні образи?

“Зірки мов іскорки горять”. “Струнка смерічка наче свічка”. “Мов струни стовбури високих сосен”. “Рівнина - як озера гладь ”. “Місяця розірваний обруч”.

Поетичний дар, яким наділена людина від природи, спонукає її помічати подібність у різному. Підмічаючи часто одну і ту ж властивість у різних об'єктах, людина усвідомлює цю властивість і дає їй ім'я.

Стовбур смереки чи сосни, натягнута струна або свічка прямі. У цьому твердженні уже явно виражене поняття прямої. Нагадуючи про стовбур дерева, натягнуту струну чи свічку, це поняття в той же час уже відділене від них, існує саме по собі в нашій свідомості.

Так з'являлися абстрактні геометричні поняття.

І чим наполегливіше шукала людина прості, але характерні, деякі, але істотні властивості предметів, чим сміливіше відкидала вона при узагальненні риси неістотні, другорядні і випадкові, тим змістовнішим і водночас більш виразним ставало відповідне абстрактне поняття, чи то площина чи пряма, точка чи коло.

8.5 Звідки беруться аксіоми

Людина - не тільки споглядач і поет. Людина - насамперед трудівник.

У своїй практичній діяльності, усвідомлюючи властивості реальних предметів і їхні взаємозв'язки, людина установлювала властивості створених нею геометричних понять і відношення між ними.

Стародавня легенда розповідає, як зародилася наука геометрія. Було це в Древньому Єгипті. Величезна ріка тече через усю цю місцевість - Ніл. Розливаючись із кожною весною, Ніл затопляв поля і знищував межі, що розділяли земельні ділянки. Межі щоразу доводилося відновлювати заново. З року в рік, із століття в століття удосконалювалися прийоми землемірства. Якщо вимовити це слово на древньогрецькій мові, ми впізнаємо в ньому назву науки, про яку йде мова: геометрія.

Натягуючи шнурок між двома кілками, древні землеміри не раз мали можливість переконатися, що ця нескладна операція завжди призводить до того самого результату. Багаторазово повторений досвід дозволив зробити висновок: через дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Так народжувалися аксіоми.

І чим наполегливіше відкривала людина стійкі і закономірні зв'язки між предметами реального світу, чим частіше виявляла вона при найрізноманітніших обставинах те або інше співвідношення, чим успішніше використовувала його у своїх міркуваннях і діях, тим надійніше підтверджувала своє значення відповідна аксіома: через будь-які дві точки можна провести тільки одну пряму.

Аксіом ставало все більше. Вони складалися в єдину систему. Математики піклувалися про те, щоб така система була повною, тобто щоб із неї можна було вивести будь-яку з відомих геометричних теорем. І ще про те, щоб вона була несуперечливою, тобто щоб із неї не можна було вивести суперечливих тверджень.

Узяті разом, ці аксіоми описують усі властивості основних геометричних об'єктів, усі співвідношення між ними, що використовуються при виведенні геометричних теорем. Тому і не даються означення основних геометричних понять - точки, прямої, площини. Їхні означення містяться в аксіомах геометрії.

8.6 Моделювання геометричних ситуацій

Усі геометричні поняття: точка, пряма, площина та інші - об'єкти ідеальні. Їх узагалі немає в природі. Вони існують лише у нашій свідомості. Але це не заважає нам зображати їх на папері, ілюструвати з допомогою кульок, паличок, кусочків цупкого паперу чи предметів навколишньої обстановки. Такі прості засоби допомагають нам відкривати нові властивості, доводити нові теореми тому, що для них виконуються ті самі аксіоми, що і для абстрактних точок, прямих і площин.

Через дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну, говорить аксіома. Через дві точки, зображені у зошиті, проходить лише одна тонка лінія, проведена під лінійку. Дві бусинки можна з'єднати паличкою, і до того ж тільки однією.

Виконуючи ці дії, ми, як сказали б учені, моделюємо абстрактне поняття прямої. Так само моделював його давній землемір, натягуючи шнурок між кілками, так само моделює його сьогодні геодезист променем лазера. Подібних моделей може бути як завгодно багато. І якщо для них виконуються одні і ті ж геометричні аксіоми, то для них можна застосовувати і всі наслідки з аксіом.

У цьому полягає міць математики, її велике прикладне значення. Спостерігаючи різні процеси і явища, учений намагається виділити найістотніші їх риси, найглибинніші їхні закономірності. Часто вони виявляються загальними для найширшого кола різноманітних подій, зовсім несхожих між собою зовні, але таких, що підкоряються однаковим математичним законам. У такому разі виявляється однаковою їхня математична модель, побудована на основі цих закономірностей. Це дозволяє, спостерігаючи за одним із процесів, робити висновки про його математичного двійника.

Утім, коли ми хвалимо математику, ми водночас повинні бути обережними.

Математичні поняття - є віддаленими, абстрактними. Це лише блідий силует реального світу. І тому результати будь-якої математичної теорії, яким би строгим логічними шляхами вони не були отримані, все одно вони лише наближено описують реальні процеси.

Виділяючи абстрактні поняття в чистому виді, відкидаючи другорядні деталі, математик завжди збіднює життя. У математичних міркуваннях, логічних і послідовних, немає місця ні для жарту, ні для несподіваного порівняння. Тому математична думка не вичерпує всіх проявів людського розуму.

9. Векторне обґрунтування геометрії Евкліда. Система аксіом Вейля

У 1917-1918 роках відомий німецький математик Герман Вейль (1885-1955) запропонував векторне обґрунтування геометрії Евкліда. У цій системі за вихідні об'єкти взято «вектор» і «точка», за основні відношення - «сума векторів», «добуток вектора на число», «скалярний добуток», «відкладання вектора від точки». Система аксіом для тривимірного евклідового простору складається з 17 аксіом, розбитих на п'ять груп:

1. Аксіоми додавання векторів (4).

2. Аксіоми множення вектора на число (4).

3. Аксіоми скалярного добутку (5).

4. Аксіоми розмірності (2).

5. Аксіоми відкладання вектора (2).

І група. Аксіоми додавання векторів. Основне відношення: кожним двом векторам a i b відповідає один певний третій вектор, який називається їх сумою і позначається . Для будь-яких двох векторів a i b

- Для будь-яких трьох векторів

- Існує такий вектор , що:

Для будь-якого вектора , знайдеться вектор , що:



Вектор називається протилежним до вектора і позначається .

ІІ група. Аксіоми множення вектора на число.

Основне відношення: кожному вектору і кожному дійсному числу k відповідає один певний вектор, який називається добутком вектора на число k і позначається .

ІІІ група. Аксіоми скалярного добутку векторів.

Основне відношення: кожним двом векторам і відповідає одне певне дійсне число, яке називається їх скалярним добутком і позначається через .

ІV група. Аксіоми розмірності.

Означення: Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа к₁, к₂,…, к_n, з яких принаймні одне не дорівнює нулю, що:

Якщо вектори не є залежними, то вони називаються лінійно незалежними.

Існують три лінійно незалежні вектори.

Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

V група. Аксіоми відкладання вектора.

Основне відношення: кожній парі точок А, В відповідає тільки один певний вектор, який позначається через .

Для будь-якої точки А і будь-якого вектора існує так єдина точка В, що (у такому разі говорять, що точку В дістали в результаті відкладання вектора від точки А).

АВ+ВС=АС

Для будь-яких точок А, В, С.

Для зручності при розв'язуванні задач векторним методом доцільно користуватися наступною таблицею переходу від геометричних співвідношень до векторних рівностей.

№ п/п	Мовою геометрії	Мовою векторів
1		або
2	¦
3	належить прямій
4	- точка відрізка і
5	- точка площини
6	Відрізки і рівні
7
8
9	- середина відрізка
10	- центроїд
11	- центроїд тетраедра
12	- точка відрізка і
13	- точка прямої
14	- точка площини

Практична частина

Задача 1. Довести, що коли точка D ділить відрізок AB у відношеннях m: n, а C - довільна точка площини, то:

/*/.

Доведення: Введемо позначення:

Звідси (1 + ):

= +

І остаточно:

= +



Що і треба було довести.

Задача 2. У трикутнику ABC точка O - центр описаного кола, H - точка перетину його висот. Довести, що:

Доведення: за формулою:

Це за означенням скалярного добутку. Проте:

,

,

Тому:

()()=0 /1/.

Крім того:

()()=0 /2/ (як радіуси описаного кола).

Віднімаючи /2/ від /1/, матимемо:

()( - ) = 0.

Аналогічно з умов:

= 0

, маємо:

()( - ) = 0

Оскільки є формули:

То вектор, перпендикулярний до кожного з них, може бути тільки нульовим, тобто:

- = 0

Звідси:

Що і треба було довести.

Задача 3. Дано три точки A, B, C і деяка точка O. Довести, що рівність:

 /#/

При AB є необхідною і достатньою умовою належності точок A, B, C одній прямій.

Доведення: Необхідність. Нехай точки A, B, C належать одній прямій, тоді . Ця рівність рівносильна такій:

Звідси:

Достатність. Нехай:

Тоді:

Або , тому і колінеарні, і, отже, A, B, C належать одній прямій.

Задача 4. Точка D належить стороні BC трикутника ABC. Довести, що:

Доведення: за формулою /#/ маємо:



Оскільки

Отже:

Що і треба було довести.

Задача 5. Довести, що косинус кута між медіанами катетів рівнобедреного трикутника дорівнює .

Доведення: нехай задано рівнобедрений прямокутний трикутник OAB (OA = OB = a), точки M і N - відповідно середини OA і OB. Розмістимо цей трикутник в прямокутну систему координат так, щоб точка O збігалася з початком координат, а катети OA і OB лежали на відповідних осях координат x і y.

Тоді в цій системі координат матимемо A (a; 0), B (0; a), M(; 0), N (0;). Вектори, які збігаються з медіанами, матимуть координати (-a; ) і (; a). Кут між медіанами - це кут між векторами і , який знайдемо за формулою:

cos( )

Що й треба було довести.

Задача 6. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 2: 1, рухаючи від вершин.

Доведення: нехай , , - медіани трикутника ABC; і перетинаються в точці O. Тоді:

(бo || ) і (бо ||)

Звідси:

- =

Враховуючи єдність розкладу вектора за двома неколінеарними векторами і , знаходимо, що k = -1, - p = 1. Отже:

То:

За умовою:

Тому:

Або OC: = 2: 1 і, отже, точки C, O, належать одній прямій. З цього випливає, що медіана також проходить через точку О і ділиться нею у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини, що й треба було довести.

Задача 7. Дано піраміду SABCD. Чи є лінійно залежними вектори: а) і ; б) і ; в) ; г) ; д) ; е) ?

Розв'язання: вектори і неколінеарні, тому за теоремою про колінеарні вектори вони не є лінійно залежними.

і колінеарні, а тому лінійно залежні.

і колінеарні, отже, лінійно залежні; за властивістю три вектори також лінійно залежні.

Вектори компланарні, тому за теоремою вони лінійно залежні.

не є компланарними, за теоремою вони не є лінійно залежними.

- три некомпланарні вектори. За теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами, вектор є лінійною комбінацією цих векторів. За властивістю лінійно залежні.

Задача 8. Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін.

Розв'язання: Нехай ABCD - даний паралелограм. Покладемо :

()

За означенням суми і різниці векторів:

Використовуючи властивості скалярного квадрату, отримаємо:

Тобто:

Задача 9. Точка М - середина відрізка АВ, а О - довільна точка простору. Довести, що:

Розв'язання: За правилом трикутника:

Додавши ці рівності, отримаємо:

Оскільки М - середина відрізка АВ, то:

Таким чином, справедлива формула.

Задача 10. Довести обернену теорему Піфагора: трикутник АВС є прямокутним з прямим кутом А, якщо:

ВС²= АВ² +АС²

Розв'язання: Як відомо:

Тому:

Звідси, після елементарних перетворень отримаємо:

Або:

Оскільки за умовою задачі:

АВ² +АС²- ВС²=0

То:

Тому , тобто прямий.

Задача 11. Довести, що якщо в тетраедрі дві пари протилежних ребер взаємно перпендикулярні, то і третя пара ребер взаємно перпендикулярна.

Розв'язання: Нехай - даний тетраедр, у якого і . Треба довести, що . Введемо позначення: , , . Оскільки , то:

Або:

Аналогічно, оскільки , то:

Віднімаючи від другої рівності першу, знаходимо:

Тобто:

Звідси слідує, що .

Задача 12. Основою піраміди є рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою . Бічне ребро перпендикулярне до площини основи і дорівнює 1. Знайти величину кута і відстань між мимобіжними прямими, одна з яких проходить через точку і середину ребра , а друга - через точку і середину .

Розв'язання: Позначимо через - середину , через - середину .

Тоді та - мимобіжні прямі, відстань і кут між якими і треба знайти за умов: , °, HR=1, .

Проведемо через точку пряму || , а через точку пряму b|| (у площині основи).

- точка перетину прямих а та b, А₁ - точка перетину прямих а та .

Згідно означення кута між мимобіжними прямими, менший з кутів HAF та HAA₁ і буде шуканим.

HAF - кут ?HFA.

За формулою:

Медіана рівнобедреного трикутника , але:

|| , || °

Гострий кут прямокутного - шуканий. З ДHFA:

,

З ДHRF:

,

Де - за умовою. З ДRFA:

Тоді:

Тепер знайдемо відстань між вказаними прямими. Очевидно, що в силу побудови, шукана відстань буде дорівнювати відстані від точки до площини , адже:

|| ||

Для знаходження цієї відстані розглянемо тетраедр в якому - шукана відстань і висота.

Враховуючи, що: , маємо:

Про наведений розв'язок впевнено можна сказати, що він може бути виконаний лише 11- класниками. А задача - то ж гарна! І так хочеться розв'язати її з десятикласниками. Тут можуть стати у пригоді вектори і координати. А саме: виберемо систему координат так, щоб початок координат співпадав з точкою , сторона належала осі абсцис, - осі ординат, а ребро - осі аплікат.

У вибраній системі координат встановимо координати точок , враховуючи дані задачі:

,

,

:

Величина шуканого кута 60°.

А відстань між прямими та визначимо за відповідною формулою як відстань від точки до площини . Координати точки відомі.

Залишилося записати рівняння площини ,

Це загальне рівняння цієї площини. За раніше побудованою схемою, маємо:

За формулою:

Відповідь: 60^о та .

На мою думку другий спосіб простіший і зручніший.

Задача 13. Дано вершини і паралелепіпеда . Знайти відстань між прямими і .

Розв'язування

Маємо: .

Оскільки - паралелепіпед, то - паралелограм, тобто:

Нехай , тоді ;, :

- паралелограм:

Нехай .

Тоді ; , .

. Нехай , тоді: . Враховуючи, що і , маємо:

Нехай - спільний перпендикуляр прямих та , причому , .

Тоді:



де:

Маємо: ; ; ; ; . Нехай , тоді з рівності маємо:

Об'єднаємо останні дві рівності в систему і розв'яжемо її:

. Звідки:



Тобто: ; ; . Таким чином, шукана відстань . Відповідь:

Задача 14. Точки і - середини ребер тетраедра , точку взято на ребрі так, що . У якому відношенні площина ділить ребро .

Нехай - точка перетину площини та прямої . Причому, де б не була ця точка, ніякі з чотирьох точок , , , не лежать на одній прямій. Для точок , , , маємо:

Довідка: Нехай з чотирьох точок , , , ніякі три не лежать на одній прямій. Тоді для того щоб всі ці точки лежали в одній площині, необхідно і достатньо, щоб існували такі числа і , що:

Введемо позначення: , , і виразимо вектори , , через вектори , , з урахуванням умови задачі.

Враховуючи рівності (1) та (2), маємо:

Звідки в силу єдиності розкладу вектора:

Отже:

Тобто:

Відповідь:

Висновок

вектор множення аксіоматичний

Таким чином, у своїй курсовій роботі на тему «Векторний метод в геометрії» я подала короткі теоретичні відомості про поняття вектора, рівність векторів, додавання, віднімання та множення вектора на число, колінеарність, компланарність, лінійну залежність векторів, координати вектора, скалярний добуток векторів, а також про векторний простір та його підпростори. А в практичній частині, на прикладах показала доцільність його застосування. Метод векторів широко застосовується в різних галузях науки (математиці, фізиці). Часто його застосування значно полегшує розв'язування деяких задач, а в інших випадках задачу взагалі неможливо розв'язати іншим способом.

Література

1. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия, Ч.І. - М: Просвещение, 1974. - 351 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, Ч.І - М: Просвещение, 1986. - 336 с.

3. Атанасян Л.С. Геометрия, Ч.І - М: Просвещение, 1986. - 335 с.

4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометри, Ч.І. - М: Просвещение, 1973. - 256 с.

5. Яковець П.С., Боровик А.Е., Коваленко В.С.. Аналітична геометрія: навч. пос. - Суми: Університетська книга, 2004. - 295 с.

6. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии, М: Наука, 1970. - 335 с.

7. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометри, М: Наука, 1972. - 240 с.

8. Панішева О.В. Векторний метод: Інтегрований урок геометрії та фізики, Математика. - 2000. - №14. - с. 4 - 5.

9. Єгорова Г.О. Векторний і координатний методи розв'язування задач, Математика. - 2001. - №5. - с. 5 - 11.

Размещено на Allbest.ru