Приложение векторной алгебры к решению задач аналитической геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

§ 1. Скалярные и векторные величины

§ 2. Линейные операции над векторами

2.1 Сложение векторов

2.2 Вычитание векторов

2.3 Умножение вектора на число

§ 3. Действия над векторами, заданными своими координатами

3.1 Разложение вектора по ортам

3.2 Линейные операции над векторами в координатной форме

3.3 Вопросы для самопроверки

3.4 Задания для самостоятельного решения

§ 4. Скалярное произведение векторов и его свойства

4.1 Свойства скалярного произведения векторов

4.2 Вопросы для самопроверки

§ 5. Векторное произведение векторов и его свойства

5.1 Свойства векторного произведения векторов

5.2 Вопросы для самопроверки

5.3 Задания для самостоятельного решения

§ 6. Смешанное произведение трех векторов и его свойства

6.1 Свойства смешанного произведения

6.3 Задания для самостоятельного решения

§ 1. Скалярные и векторные величины

Скалярными называются величины, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однородной величиной, принятой за единицу. Примеры скалярных величин: длина отрезка, площадь ограниченной фигуры, масса, температура, и т.д.

Векторными называются величины, для определения которых кроме числовых значений, необходимо задать еще и их направление в пространстве. Примеры векторных величин: сила, скорость, ускорение, и т.д.

Вектор обозначают: двумя заглавными буквами и черточкой сверху, первая буква обозначает начало, а вторая - конец вектора (); в печатном тексте - одной буквой, набранной жирным шрифтом (а); одной буквой обычного шрифта, но с черточкой сверху ().

Длина направленного отрезка, обозначающего вектор, называется модулем вектора или его длиной. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева и справа: ,.

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается . Всякий вектор может быть представлен в виде произведения единичного вектора на длину вектора , т.е. . Из последнего равенства следует, что .

Единичные векторы (орты) координатных осей принято обозначать . Тройку ортов () называют также координатным базисом.

Векторы лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Если вектор коллинеарен вектору , то это записывают так: .

Коллинеарные вектора, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными (рис.1). Если вектора и сонаправлены, то это обозначается так: .

Коллинеарные вектора, имеющие различное направление, называются противоположными (рис.2). Если вектора и противоположны, то это обозначается так: . Для каждого вектора существует противоположный вектор .

Два сонаправленных вектора, имеющих одинаковую длину называются равными.

Векторы лежащие в одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.

§ 2. Линейные операции над векторами

2.1 Сложение векторов

Пусть и - два произвольных вектора. Параллельным переносом совместим начало вектора с концом вектора . Тогда вектор, идущий из начала вектора в конец вектора называется суммой векторов и , и обозначается . Такой способ построения суммы двух векторов называют "правилом треугольника" (рис.3).

Чтобы получить вектор суммы , можно воспользоваться также "правилом параллелограмма". В этом случае векторы и параллельным переносом приводят к общему началу, строят параллелограмм на векторах слагаемых, и тогда вектор, выходящий из того же начала и совпадающий по длине и направлению с диагональю построенного параллелограмма будет искомым вектором суммы (рис.4).

Сумма любого конечного числа векторов может быть построена по следующему правилу "замыкания ломаной до многоугольника". Из произвольной точки откладывается вектор _, из его конца - вектор , и т.д. Вектор, соединяющий начало первого из построенных векторов с концом последнего, будет являться суммой векторов , , ..., (рис.5).

2.2 Вычитание векторов

вектор скаляр координата орт

Если даны два вектора и , то разностью называется такой третий вектор , который в сумме с вектором составляет вектор . Из построения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности: векторы и параллельным переносом приводят к общему началу и тогда вектор, идущий от конца вектора к концу вектора будет искомой разностью (рис.6).

2.3 Умножение вектора на число

Пусть даны вектор и число . Произведением вектора на число называется новый вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и тоже направление, что и вектор , если , и противоположное направление, если (рис.7).



§ 3. Действия над векторами, заданными своими координатами

3.1 Разложение вектора по ортам

Пусть вектор лежит в плоскости . Перенесем его параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат , т.е. от начала координат отложим вектор (рис.8).

Обозначим проекцию вектора на ось через , а проекцию этого же вектора на ось через . Тогда и вектор . Т.к.

,

то получаем

.

Аналогично получим разложение вектора по ортам в пространстве

. [5]

В координатной форме вектор принято записывать так: . Если вектор задан своими координатами, то его длину можно вычислить по формуле

.

3.2 Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть даны два вектора

и .

Пусть вектор

является суммой векторов и . Тогда

,

т.е. вектор имеет координаты . Таким образом, координаты суммы векторов равны суммам одноименных координат слагаемых векторов.

Аналогично получим

,

то есть при вычитании векторов заданных своими координатами, необходимо вычесть соответствующие одноименные координаты этих векторов.

При умножении вектора на число, получается вектор, каждая координата которого умножена на это число. То есть:

.

Таким образом .

3.3 Вопросы для самопроверки

1. Какая величина является скалярной?

2. Какая величина является векторной?

3. Какие два вектора называются коллинеарными?

4. Какие два вектора считаются равными?

5. Как найти сумму двух (нескольких векторов)?

6. Как найти вектор разности двух векторов?

7. Как изменится вектор при умножении его на число?

8. Какой вектор называется нулевым?

9. Какой вектор называется единичным?

10. Как определяется длина вектора, если он задан своими координатами?

11. По какому правилу производится сложение (вычитание) векторов, если они заданы своими координатами?

3.4 Задания для самостоятельного решения

Даны координаты точек . Требуется:

1) записать векторы и в системе орт и найти длины этих векторов;

2) найти орт вектора ;

3) изобразить векторы и в координатной плоскости ;

4) найти вектора и аналитически и геометрически.

Решение типового примера

Пусть .

1) Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , по формуле:

, (1)

где - координаты вектора в системе координат .

Если заданы точки , , то для вектора =

, (2)

Воспользовавшись (2) и координатами точек , получим:

или . Тогда .

или . Тогда .

Если вектор задан своими координатами, то его длина (модуль) вычисляется по формуле:

 (3)

Используя формулу (3), получаем длины векторов и :

,

.

2) Известно, что орт вектора можно найти по формуле:

, т.е. , (4)

Воспользовавшись формулами (4), получим: .

3) Найдем векторы и аналитически.

.

Таким образом, .

.

Таким образом, (рис.9).

Найдем векторы и геометрически (рис.10).



Рис 9.

Рис 10.

§ 4. Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и принято обозначать или точкой , или круглыми скобками . Т.е.

,

где - угол между векторами и .

4.1 Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством, то есть

2. Скалярное произведение обладает распределительным свойством, то есть

.

3. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя, то есть

.

4. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. То есть

.

Из этого равенства следует, что .

5. Скалярное произведение одноименных ортов равно единице.

.

6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю.

.

7. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

,

если

и .

8. Угол между двумя векторами:

.

9. Если , то .

10. Проекция вектора на вектор :

.

4.2 Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение скалярного произведения.

2. В каком случае скалярное произведение выражается положительным числом? Отрицательным числом?

3. Чему равно скалярное произведение двух векторов, если они взаимно перпендикулярны?

4. Чему равно скалярное произведение одноименных ортов?

5. Чему равно скалярное произведение разноименных ортов?

6. Как вычислить скалярное произведение двух векторов, если они заданы своими координатами?

7. Чему равен косинус угла между данными векторами?

8. По какой формуле находится проекция вектора на вектор ?

4.3 Задания для самостоятельного решения

I. Даны длины векторов, и угол между ними. требуется:

1) вычислить , ,;

2) на векторах и построен треугольник. Найти длину медианы, выходящей из вершины - начало векторов и , найти угол между и ;

3) проверить, верно ли, что , если и ;

4) найти проекцию вектора на вектор .

Решение типового примера

Пусть , , .

1) Из определения скалярного произведения имеем:

.

Следовательно:

.

.

.

2) Пусть - медиана указанного треугольника, построенного на векторах и (рис.11).



По правилу сложения векторов имеем:

.

Тогда

.

По свойствам скалярного произведения . Следовательно

,

,

Таким образом

.

Пусть - угол между векторами и . По формулам скалярного произведения

.

.

.

.

Таким образом . Следовательно, .

3) По свойствам скалярного произведения , если .

Т.о. , следовательно, и не ортогональны.

4) По свойствам скалярного произведения проекцию вектора на вектор можно найти по формуле:

.

.

Следовательно, .

II. Векторы и заданы своими координатами. Требуется:

1) вычислить , ;

2) найти длину вектора ;

3) проверить, верно ли, что , если и ;

4) найти проекцию вектора на вектор .

Решение типового примера

Пусть .

1) По свойствам скалярного произведения

,

если

и .

Таким образом

.

Найдем координаты векторов и .

.

.

Тогда

.

2) По формулам скалярного произведения

.

Найдем координаты вектора :

.

Таким образом . Тогда

.

3) тогда и только тогда, когда . Найдем координаты векторов и , если

 и ;

.

Таким образом .

.

Таким образом . Найдем скалярное произведение векторов и .

.

Так как , то вектора и не ортогональны.

4) По свойствам скалярного произведения проекцию вектора на вектор можно найти по формуле:

.

Скалярное произведение было вычислено ранее, поэтому нам осталось вычислить . Так как , то

.

Таким образом

.

§ 5. Векторное произведение векторов и его свойства

Векторным произведением вектора на вектор называется новый вектор , который определяется следующим образом:

1. модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е.

,

где - угол между векторами и .

2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и .

3. Направление вектора таково, что, глядя из его конца, кратчайший поворот от вектора к вектору , мы будем видеть против часовой стрелки (рис.12).

Векторное произведение вектора на вектор обозначается (читается "а крест b").

5.1 Свойства векторного произведения векторов

1. При перестановке сомножителей векторное произведение сохраняет модуль, но меняет свой знак на противоположный. То есть

.

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя, то есть

.

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством, то есть

4. Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности .

5. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами:

,

если , .

6. Векторное произведение одноименных ортов равно нулю:

.

7. Векторное произведение разноименных ортов:

,

.

8. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и вычисляется по формуле:

S = .

9. Площадь треугольника, построенного на векторах и вычисляется по формуле:

S = .

5.2 Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение векторного произведения.

2. Перечислите основные свойства векторного произведения.

3. Чему равно векторное произведение двух векторов, если они коллинеарны?

4. Чему равно векторное произведение одноименных ортов?

5. Чему равно векторное произведение разноименных ортов?

6. Как вычислить векторное произведение двух векторов, если они заданы своими координатами?

7. Чему равна площадь параллелограмма, построенного на векторах и ?

8. Чему равна площадь треугольника, построенного на векторах и ?

5.3 Задания для самостоятельного решения

I. Даны длины векторов , и угол между ними . Требуется:

1. вычислить;

2. найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

3. проверить коллинеарность векторов и .

Решение типового примера

Пусть , , . Требуется:

1. вычислить;

2. найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;

3. проверить коллинеарность векторов и .

Решение

1) Вычислим векторное произведение:

.

( и , так как и ).

Следовательно,

.

2) По свойствам векторного произведения, площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле

S = .

.

( и , так как и ).

Таким образом

S = .

3) Вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда . Вычислим .

.

Следовательно

.

Таким образом , следовательно, и, следовательно, и не коллинеарны.

II. Векторы и заданы своими координатами. Требуется:

1) вычислить ;

2) найти площадь треугольника, построенного на векторах и ;

3) проверить коллинеарность векторов и ;

4) найти вектор перпендикулярный векторам и .

Решение типового примера

Пусть .

Необходимо:

вычислить ;

найти площадь треугольника, построенного на векторах и ;

проверить коллинеарность векторов и ;

найти вектор перпендикулярный векторам и .

1) Найдем сначала координаты векторов и .

.

.

Таким образом , .

По свойствам векторного произведения

,

если , . Следовательно

.

2) По свойствам векторного произведения, площадь треугольника, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:

S = .

Вычислим векторное произведение векторов и , для чего сначала найдем координаты этих векторов.

.

.

Таким образом , .

.

S = .

3) По свойствам векторного произведения, два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю. Найдем координаты векторов и .

.

.

Таким образом , . Тогда

.

Таким образом . Следовательно, вектора и не коллинеарны.

4) Исходя из определения векторного произведения, вектор перпендикулярен вектору и вектору . Таким образом, чтобы ответить на поставленный вопрос, достаточно найти векторное произведение векторов и , что мы сделали в предыдущем пункте. То есть . Проверим, действительно ли он перпендикулярен векторам и . Для этого вычислим скалярное произведение векторов и , а также и .

.

.

Таким образом, действительно вектор перпендикулярен векторам и .

§ 6. Смешанное произведение трех векторов и его свойства

Пусть даны векторы , и . Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Смешанное произведение векторов , , обозначается

=.

6.1 Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение положительно, если , , образуют правую тройку векторов, в противном случае оно отрицательно.

2. Перестановка двух сомножителей в смешанном произведении меняет знак:

.

3. Циклическая (круговая) перестановка сомножителей не изменяет смешанного произведения:

.

4. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.

5. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами:

,

если , , .

6. Абсолютная величина смешанного произведения векторов , и численно равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

. [2]

6.2 Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение смешанного произведения.

2. В каком случае перестановка двух сомножителей смешанного произведения меняет знак?

3. Сформулируйте признак компланарности векторов.

4. Каким образом вычисляется смешанное произведение векторов, заданных своими координатами?

5. Чему численно равна абсолютная величина смешанного произведения?

вектор скалярный координата орта

6.3 Задания для самостоятельного решения

Даны координаты точек .

1) Проверить, лежат ли начало координат и точки в одной плоскости.

2) Вычислить объем пирамиды, построенной на точках .

Для самостоятельного решения координаты точек взять из таблицы 4.

Решение типового примера

Пусть .

1) Рассмотрим вектора . Если точки А₁, А₂, А₃ принадлежат одной плоскости, то вектора являются компланарными.

По свойству 4 смешанного произведения вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Найдем координаты векторов .

.

По свойству 5, смешанное произведение векторов в координатах вычисляется следующим образом:

.

Таким образом вектора не компланарны, следовательно точки А₁(1 ; -1 ; 2), А₂(2 ; 1 ; 2), А₃(1 ; 1 ; 4) не лежат в одной плоскости с началом координат.

2) Известно, что объем пирамиды(V_пир) вычисляется по формуле



(V_пар. - объем параллелепипеда).

По свойству смешанного произведения 6, объем параллелепипеда, построенного на векторах вычисляется по формуле:

.

Найдем координаты векторов :

.

.

Т.о. .

Размещено на Allbest.ru