Высшая математика
Поиск матрицы Х с помощью обратной матрицы. Решение системы уравнений АХ=В. Сведение матрицы системы 5-го порядка к треугольному виду. Приведение к каноническому виду квадратичной формы Х'*A3*Х, поиск характеристического многочлена квадратичной формы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.01.2013 |
| Размер файла | 70,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Вариант 25
1. С помощью обратной матрицы найти матрицу Х из уравнения
.
Решение:
или .
Решением полученного матричного уравнения будет
, где матрица, обратная матрице
.
Обратной для матрицы А есть матрица , где - определитель матрицы А, а элементы матрицы A* являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.
Определитель матрицы А:
Найдем элементы матрицы А*:
Тогда:
и для Х получим следующее:
Ответ: .
2. Решить системы уравнений АХ=В. Для однородных систем выделить фундаментальную систему решений.
1)
.
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы и сведём её к треугольному виду:
Видим, что ранг матрицы системы и расширенной матрицы системы равен 4, следовательно, система совместна и имеет решение. Так как число переменных в системе также равно 4, то система имеет единственное решение. Сведём полученную матрицу к диагональному виду:
Из последней матрицы получили решение исходной системы: .
Ответ:.
2) ,
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы и сведём её к треугольному виду:
Видим, что ранг матрицы системы и расширенной матрицы системы равен 3, следовательно, система совместна. Так как число переменных равно 5, то две переменные можно принять в качестве свободных. А остальные 3 в качестве базисных.
Будем считать первую, вторую и четвёртую переменные базисными. Преобразуем матрицу системы, сформировав из базисных столбцов единичную матрицу:
Тогда из системы получаем:
- общее решение исходной системы.
Ответ: .
3) ,
.
Решение:
Нам задана однородная система 4-го порядка. Сведём матрицу системы к треугольному виду:
Видим, что ранг матрицы системы равен 2. Так как число переменных равно 4, то две переменные являются не основными.
Выбираем в качестве основных переменных и выражаем их через неосновные :
Для получения фундаментальной системы решений поочерёдно заменяем неосновные переменные элементами строк единичной матрицы Е2.
Получаем базисное решение .
Получаем базисное решение .
Найденные решения образуют фундаментальную систему решений:
;
Ответ: ; .
4) , .
Решение:
Нам задана однородная система 5-го порядка. Сведём матрицу системы к треугольному виду:
Видим, что ранг матрицы системы равен 2. Так как число переменных равно 5, то три переменные являются не основными.
Выбираем в качестве основных переменных и выражаем их через неосновные :
Для получения фундаментальной системы решений поочерёдно заменяем неосновные переменные элементами строк единичной матрицы Е3.
Получаем базисное решение .
Получаем базисное решение .
Получаем базисное решение .
Найденные решения образуют фундаментальную систему решений.
Ответ: ; ; .
3. Привести к каноническому виду уравнение линии и определить тип линии, где .
Решение:
Приведём к каноническому виду квадратичную форму .
Запишем характеристический многочлен квадратичной формы:
Найдем его корни, решив уравнение
- собственные значения квадратичной формы.
Канонический вид квадратичной формы: , где .
Тогда уравнение линии в каноническом виде:
или - это уравнение эллипса.
Ответ: - каноническое уравнение эллипса.
4. Привести к каноническому виду квадратичную форму , где .
Решение:
Запишем характеристический многочлен квадратичной формы:
Найдем его корни, решив уравнение
- собственные значения квадратичной формы.
Канонический вид квадратичной формы:
матрица уравнение квадратичный многочлен
или
, где .
Ответ: , где .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Исследование видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду. Сфера применения и особенности данного вида уравнений: определения и доказательство основных теорем, алгоритм решения ряда задач по данной тематике.
контрольная работа [286,0 K], добавлен 29.03.2012Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Поиск собственных чисел и построение фундаментальной системы решений. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера, решение задачи Коши и построение графиков.
курсовая работа [354,7 K], добавлен 14.10.2010Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014