1.1 Общая информация о многогранниках

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение

Г+В-Р=2, где

Г - число граней,

В - число вершин,

Р - число ребер данного многогранника.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Почему правильные многограннки получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань, гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Это усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

1.2 История многогранников

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с VII века до нашей эры, в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

§ Вселенная - додекаэдр,

§ Земля - куб,

§ Огонь - тетраэдр,

§ Вода - икосаэдр,

§ Воздух - октаэдр.

Рисунок 1. Платоновы тела: (а) октаэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»),(в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум»)

а) (б) (в)

(г) (д)

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

1.3 Многогранники в природе

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

1.4 Правильные многогранники

Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны. Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).

Существует всего 5 видов правильных многогранников:

§ Куб (гексаэдр);

§ Тетраэдр;

§ Октаэдр;

§ Икосаэдр;

§ Додекаэдр.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками. Так, например, куб (Рис.1-б) и октаэдр (Рис.1-в) дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр (Рис.1-г) идодекаэдр (Рис.1-д). Тетраэдр (Рис.1-а) дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен -- ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Числовые характеристики Платоновых тел

Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней, сходящихся в каждой вершине, m, число граней Г, число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу

В -- Р + Г = 2,

связывающего числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Указанные выше числовые характеристики приведены в Табл. 1.

Таблица 1. Числовые характеристики Платоновых тел

Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр (Рис.1-г,д) занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра (Рис.1-д) являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (Рис.1-г), то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R_i. Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R_m. Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R_c. В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра, имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию (Табл.2).

Таблица 2. Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

Заметим, что отношение радиусов = одинаково, как для икосаэдра, так и для додекаэдра. Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через золотую пропорцию (Табл.3).

Таблица 3. Золотая пропорция во внешней площади и объеме додекаэдра и икосаэдра

Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины», которую мы рассмотрим ниже.

1.5 Полуправильные многогранники

Полуправильные многогранники или Архимедовы тела -- выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани -- правильные многоугольники одного типа, это -- правильный многогранник);

2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Существует 13 полуправильных многогранников:

§ Кубооктаэдр;

§ Икосододекаэдр;

§ Усеченный тетраэдр;

§ Усечённый куб;

§ Усечённый октаэдр;

§ Усечённый додекаэдр;

§ Усечённый икосаэдр;

§ Ромбокубооктаэдр;

§ Ромбоусечённый кубоктаэдр;

§ Ромбоикосододекаэдр;

§ Ромбоусечённый икосододекаэдр;

§ Курносый куб;

§ Курносый додекаэдр.

Если в определении правильного многогранника допустить, чтобы гранями многогранника могли быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными (равноугольно полуправильными). Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны.

Как и в случае правильных многогранников, вместо второго условия (равенства многогранных углов) в определении полуправильного многогранника можно было бы сформулировать более слабое условие, а именно: в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер. К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма на рисунке 1 имеет своими гранями два правильных шестиугольника - основания призмы и шесть квадратов, образующих боковую поверхность призмы. К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. На рисунке 2 мы видим пятиугольную антипризму, полученную из пятиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 36. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников которые впервые открыл и описал Архимед - это тела Архимеда. Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 3). Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три ребра. Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 4) и усеченный икосаэдр (рис. 5). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 6) и усеченный додекаэдр (рис. 7).

Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 8). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название - кубооктаэдр. Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 9). У него двадцать граней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиугольники, т.е. все грани икосаэдра и додекаэдра.

Заметим, что повторное применение операции усечения к полученным полуправильным многогранникам уже не дает полуправильных многогранников. Дело в том, что многогранные углы данных многогранников не являются правильными. Поэтому многоугольники, получающиеся в сечении этих углов, также не будут правильными. Например, если операцию усечения применить к кубооктаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее существует полуправильный многогранник (рис. 10), похожий на усеченный кубооктаэдр, гранями которого являются правильные восьмиугольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным кубооктаэдром, хотя он не получается из кубооктаэдра операцией усечения. Аналогично, если операцию усечения применить к икосододекаэдру, то в сечениях многогранных углов получим прямоугольники, но не квадраты. Тем не менее существует полуправильный многогранник (рис. 11), похожий на усеченный икосододекаэдр, гранями которого являются правильные десятиегольники, шестиугольники и квадраты. Этот многогранник называется усеченным икосододекаэдром, хотя он не получается из икосододекаэдра операцией усечения. Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся - многогранники более сложного типа. На рисунке 12 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. На рисунке 13 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность которого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 14, а, б представлены соответственно так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит из двух или трех типов граней: квадраты, треугольники, пятиугольники и треугольники, квадраты, пятиугольники и треугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет. Полуправильные многогранники называют также равноугольно полуправильными многогранниками, из-за того, что все их многогранные углы равны. Рассмотрим многогранники, двойственные к полуправильным многогранникам. Их центры граней являются вершинами полуправильных многогранников. Они образуют класс, так называемых равногранно полуправильных многогранников. У этих многогранников равны все грани, которые, однако, не являются правильными многоугольниками, и равны все двугранные углы. На рисунках 15, а-в показаны многогранники, двойственные к усеченному тетраэдру, усеченному кубу и усеченному октаэдру.

На рисунках 15, г-н показаны многогранники, двойственные к остальным полуправильным многогранникам.

Многогранник на рисунке 15, е называется ромбододекаэдром. Его гранями являются 12 ромбов. Форму этого многогранника имеет кристалл граната.

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников. Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером (1571-1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859).

Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо. В работе "О многоугольниках и многогранниках" (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым.

Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857). В работе "Исследование о многогранниках он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 16,а), и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 16,б).

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр (рис. 17). Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 18). Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 19).

Таким образом, существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников. Кроме правильных звездчатых многогранников существуют и другие звездчатые формы, получающиеся продолжением граней правильных и полуправильных многогранников.

Глава 2. Интегрированный урок для 11 классов: математика и информатика

Тема: "Построение правильных и полуправильных многоугольников"

Учителя: учитель математики, учитель информатики.

Цель урока - научиться решать задачи на построение, используя циркуль и линейку, а также при помощи компьютера.

Задачи урока:

Образовательные - отработка алгоритма решения задач на построение геометрическим методом;

Воспитательные - воспитание аккуратности при построении чертежей, внимания при проведении доказательств, культуре работы за компьютером;

Развивающие - развитие умения строить правильные и полуправильные многоугольники при помощи компьютера. Развитие умения сравнивать и анализировать, развитие творческой и исследовательской деятельности.

Оборудование к уроку:

1. Карточки с заданием для самостоятельной работы.

2. Карточки с индивидуальными заданиями для самостоятельной работы.

3. Компьютер.

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент

Учащимся сообщается цель урока и его план:

1. Контроль знаний при помощи самостоятельной работы и восстановление теоретических знаний у доски.

2. Разбор методов построения правильных и полуправильных многоугольников при помощи компьютера.

3. Решение задачи о построении вписанного правильного десятиугольника при помощи циркуля и линейки по этапам.

4. Решение задачи о построении вписанного правильного десятиугольника при помощи компьютера.

II. Повторение пройденного материала

1. Проводится самостоятельная работа на 4 минуты. Каждый учащийся получает карточку с заранее подготовленным заданием. В это время у доски двое учащихся готовят по индивидуальным карточкам ответы на теоретические вопросы. По истечении отведенного времени учитель собирает решения и предоставляет слово учащимся у доски.

2. После ответов учащихся учитель задает вопросы:

а) Какие виды многоугольников мы изучили?

б) Какие из правильных многоугольников можно построить при помощи циркуля и линейки?

в) Можно ли построить геометрическим способом, если это возможно по теореме Гаусса, правильный многоугольник, если известна его сторона? Привести примеры.

г) Как можно использовать для построения правильного многоугольника описанную около него окружность? Привести пример.

д) Сформулировать алгоритм решения задачи на построение при помощи циркуля и линейки.

III. Закрепление умения построения правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.

Учитель формулирует задачу.

В данную окружность вписать правильный десятиугольник.

Учащимся предлагается самостоятельно записать краткое условие и попытаться провести анализ. Затем вызывается один ученик для проведения анализа решения на доске.

Решение:

1) Анализ.

- OB.проведем взаимно перпендикулярные радиусы A1O

- построим , центр C, которой лежит на BO. - рассмотрим треугольник A1CO (прямо-угольный) и найдем A1D. A1D = A1C - CD =, но мы знаем, что . Для проведения построения, доказательства и исследования к доске вызывается второй ученик.

2) Построение: - построим сторону правильного десяти-угольника. - (o;R). построим окружность - выберем точку A1 и последовательно отложим десять отрезков длиной a10.

3) Доказательство. - A1, A2,…A10 лежат на окружности по построению. - A1A2 = A2A3 = … = A10 A1 по построению. Отсюда следует, что десятиугольник искомый.

4) Исследование.

Т.к. выбор точки А1 не влияет на изменение длины стороны правильного десятиугольника, то задача имеет единственное решение.

IV. Решение задач о построении вписанного правильного десятиугольника при помощи компьютера.

Учащимся предлагается вспомнить методы построения многоугольников в графическом режиме на языке Паскаль при помощи компьютера. Трое учащихся у доски рассказывают методы построения многоугольников при помощи компьютера.

Метод №1. Перейдем к центральным экранным координатам. Зададим координаты вершин многоугольника. Используя графические процедуры MOVETO; LINE; LINETO соединим координаты вершин многоугольника. Метод неудобен тем, что необходимо заранее знать координаты вершин многоугольника.

Метод №2. Число егоЦентр многоугольника совмещаем с центром экрана. Пусть N сторон. Центральный угол стороны Angle=2*PI/N. Начальную вершину много-угольника поместим на горизонтальной оси (правее центра). Угол наклона i-ой вершины к оси Х составляет Angle*i, а ее центральные - координаты X, Y X=Round(R*cos(Angle*i)) Y= Round(R*sin(Angle*i)) радиус описанной окружности. где R - Проводим i-ую сторону, соединяя линией найденную i-ую и предыдущую вершины. Выполнив это построение для всех i от 1 до N, получим требуемый многоугольник. При этом важно учесть, что n-ая вершина совпадает с начальной. Метод универсален для построения любого правильного вписанного многоугольника.

Метод №3. Перейдем к центральным экранным координатам. Число его сторон. Центральный угол стороны Angle=2*PI/N.Пусть N. Используя процедуру определения координат концов дуги ARCCOORDS, находим координаты вершин N-угольника. С помощью процедуры построения любых многоугольников DRAWPOLY, строим заданный N-угольник, учитывая, что n-ая вершина совпадает с начальной. Учащимся предлагается построить правильный многоугольник при помощи компьютера любым из предложенных методов.

Программа построения правильного многоугольника методом №2. {Построение правильного многоугольника с N-сторонами}

uses graph, crt;

Const PrD:real=80;

{Длина диаметра описанной окружности в % от высо-ты экрана}

PATH= ' ' ; {файлы *.BGI находятся в рабочем каталоге}

Var W , Н , gd , gm , I , N , X , Y . R : i n t ege r ; Ang I e : rea I ;

{Переход от центральных координат к экранным} procedure MH(var W,H:lnteger);

{ширина и высота экрана} begin {Функции GetMaxX и Get-MaxY возвращают максимальные значения соот-ветствующих экранных координат}

W:= (GetMaxX+l) ; {ширина}

Н: = (GetMaxY+l ); {высота}

end; Function Xscr(X:lnteger):lnteger; Begin Xscr:=X + W div 2 end; Function Yscr(Y:lnteger) :Integer; Begin Yscr:=H div 2 - Y end; BEGIN repeat

write ('Укажите число сторон правильного многоугольника, не менее 3');

readln (N); until N>2; gd : =DETECT ; initgraph ( gd , gm , path ) ; WH(W,H); {определяем ширину и высоту экрана}

R:=round(PRD*0.01/H/2); {радиус описанной окружности}

Angle:=2*pi/N; {центральный угол стороны в радианах}

MoveTo (Xscr (R) , Yscr (О) ) ; {первая вершина в экранных координатах}

SetColor (Yellow) ; {Цвет многоугольника - желтый}

for i:=l to N do begin {цикл сторон}

{Х и Y - центральные координаты очередной вершины }

X:=round ( R* cos ( Angle * i ) ) ;

Y:=round ( R* sin ( Angle * i ) ) ;

{проводим очередную сторону}

LineTO(Xscr(X), Yscr(Y));

End; {цикл сторон}

Repeat until keypressed; CloseGraph; {переход в текстовый режим} END.

V. Итоги урока

1. Учащиеся показали умение применять известный алгоритм и научились строить многоугольники при помощи циркуля и линейки, а также при помощи компьютера.

2. Учащиеся самостоятельно проанализировали способы построения многоугольников и сделали вывод, что при помощи компьютера можно построить любой правильный или полуправильный многоугольник. Для этого достаточно один раз написать программу построения правильного N-угольника и использовать ее для построения заданного многоугольника.

3. Все учащиеся получили оценки по математике и информатике.

Приложение:

Карточки для самостоятельной работы.

Карточки с индивидуальными заданиями.

Заключение

1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. - М.: Просвещение, 1950.

2. Аргунов Б.И. и Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. - М.: Просвещение, 1955.

3. Базылев В.Т. Дуничев К.И. Геометрия II.Учебное пособие для студентов физ-мат. Факультетов пед. Институтов. - М.: Просвещение 1975.

4. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2000.

5. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991.

6. Смирнова И.М., Смирнова В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2005.

7. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 1997.

Размещено на Allbest.ru