Математические решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задание № 1

Построить множества решений систем линейных неравенств и найти координаты их угловых точек.

Проверить, принадлежит ли точка М₀ данному множеству. Решить задачу без использования ПЭВМ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

Строим данные прямые:

Рисунок:

Возьмем точку М₀ и подставим ее в каждое из неравенств системы, чтобы определить нужную часть полуплоскости, образованную каждой из прямых:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поскольку не все неравенства выполнены, то данная точка М₀(2;4) данной области не принадлежит. Изобразим область:

Рисунок:

Очевидно, что система не имеет решений. Тогда координаты граничных точек искать не будем.

2. Задание № 2

Сформулировать и записать математическую модель задачи. Найти решение.

Найти решение задачи, используя симплекс-метод.

Написать выводы.

Решить задачу без использования ПЭВМ.

Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А₁ и А₂.

Для производства которых используется сырье трех видов.

Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: b₁, b₂, b₃ кг.

На изготовление единицы изделия А₁ требуется затратить сырья каждого вида а₁₁, а₂₁, а₃₁ кг, соответственно, а для единицы изделия А₂ - а₁₂, а₂₂, а₃₂ кг.

Прибыль от реализации единицы изделия А₁ составляет с₁ д. ед., для единицы изделия A₂ - с₂ д. ед.

Требуется составить план производства изделий А₁ и A₂, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции.

Таблица:

Решение:

Пусть х₁, х₂ - количества выпускаемой продукции видов А₁ и А₂ соответственно.

Функция прибыли:

Ограничения на запасы сырья:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решим задачу графически. Строим область допустимых значений:

Рисунок

Строим вектор градиента:

Рисунок:

Строим линии уровня целевой функции:

Рисунок:

Точкой выхода из области будет точка пересечения второй и третьей прямых на графике. Решая систему из этих уравнений, найдем точку пересечения прямых:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решим данную задачу симплекс-методом. Приведем задачу к каноническому виду:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Итак, . Максимальная прибыль составит 2552 руб.

Решим задачу с измененными запасами:

Размещено на http://www.allbest.ru/

При таком изменении ресурсов прибыль только увеличится. Но найденные значения не являются целыми.

3. Задание № 3

Требуется:

1. Решить задачу без использования ПЭВМ

2. Решить транспортную задачу с помощью пакета MS Excel:

1.1 Сформулировать и записать математическую модель задачи.

1.2 Найти решение задачи, используя симплекс-метод («Поиск решения»). неравенство математический матрица

Написать выводы. Исходные данные по вариантам приведены ниже.

На три базы: А₁, А₂, А₃ поступил однородный груз в количествах: а₁, а₂, а₃, соответственно. Груз требуется перевезти в пять пунктов: b₁ в пункт В₁, b₂ в пункт В₂, b₃ в пункт В₃, b₄ в пункт В₄, b₅ в пункт В₅. Спланировать перевозки так, чтобы общая их стоимость была минимальной. Матрица тарифов c_ij перевозок между пунктами отправления (базами) и пунктами назначения, а также запасы a_i и потребности b_j задаются ниже для каждого номера задачи в соответствии с таблицей.

Решение:

1. Составим начальный план методом минимального элемента:

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть:

m + n - 1 = 7

Следовательно, опорный план является невырожденным.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых:

u_i + v_i = c_ij

Полагая, что u₁ = 0.

Таблица:

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 5

Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых:

u_i + v_i = c_ij

Полагая, что u₁ = 0.

Опорный план не является оптимальным.

Так как существуют оценки свободных клеток, для которых:

u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;5): 6

Для этого в перспективную клетку (2;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана.

Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых:

u_i + v_i = c_ij

Полагая, что u₁ = 0.

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию:

u_i + v_i <= c_ij

Минимальные затраты составят:

F(x) = 5*290 + 3*80 + 10*100 + 7*330 + 6*20 + 3*300 + 5*180 = 6920

2. Excel:

Рисунок:

Выводы: нужно перевезти 290 единиц груза из пункта А₁ в пункт В₄, 80 единиц из А₁ в В₅, 100 единиц из А₂ в В₂, 330 из А₂ в В₃ и по 300 и 180 единиц соответственно из А₃ в В₁ и В₂.

Результаты обоих методов дали один ответ. Минимальная стоимость перевозки составит 6920 ден.ед.

6. Задача № 6

Спрос на некоторый товар в магазине составляет a=1, b=5, c=10 или d=15 единиц. Покупка одной единицы товара обходится магазину в m=5 рублей, а продается по цене n=7 рублей. Если товар не продается, магазин несет убытки. Величина заказа магазина может принимать одно из возможных значений спроса. Составить платежную матрицу игры.

Решение:

Составим платежную матрицу игры для магазина (на одной единице товара прибыль 7-5=2 руб.):

В квадратных скобках указано количество нереализованного товара.

Размещено на Allbest.ru