Экспериментальное определение закона распределения случайной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Экспериментальное определение закона распределения случайной величины

случайный величина гистограмма

Задание

По заданной совокупности реализаций случайной величины x построить параметрическую оценку ее плотности вероятности и функции распределения.

Теоретические положения

Случайная величина -- это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины нельзя точно предсказать.

Строгое математическое определение следующее: пусть -- вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской у-алгебры на . Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

Вариационный ряд - расположенные по возрастанию элементы выборки.

Функция распределения- функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, то есть

F(x) =P(X< x).

Гистограмма -- способ графического представления табличных данных. Таким образом, гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки.

Статистические гипотезы - любые предложения относительно закона распределения случайной величины Х, проверяемые по выборке {Х_i}_iⁿ=1

Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

M_x=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n

Дисперсия дискретной случайной величины- математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D_x=M[X-M(X)]²

Закон распределения дискретной случайной величины - соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Уровень значимости критерия согласия- вероятность события, состоящего в том, что гипотеза отвергается, когда она верна.

Критерий согласия хи- квадрат Пирсона

Критерий Пирсона позволяет проверить гипотезу H₀: выборка соответствует плотности вероятности f_x(x,n) , где n-неизвестный параметр.

Алгоритм проверки гипотезы H₀ имеет следующий вид:

1. Выбираем малое положительное число б, называемое уровнем значимости критерия (обычно 0,01?б?0,1);

2. Находится оценка б^* параметра б методом максимального правдоподобия;

3. Вычисляются вероятности P_i попадания реализаций случайной величины Х в интервалы [a_i;b_i) по формуле:

P_i(б_i<X<b_i)=^m,

Где n_m- количество элементов попавших в i-ый интервал, а n- общее количество выборки.

4. Вычисляется статистика критерия Пирсона:

g =

Где

( ф(

Где a и д - оценки параметров распределения, а Ф(х)- функция Лапласа, значение которой- табличное.

5. Если гипотеза H₀ верна и n достаточно велико, то g можно считать реализацией случайной величины Х²(r), имеющий распределение хи- квадрат с r=k-l-1 степенями свободы;

6. По таблицам квантилей распределения находим число являющееся решением уравнения P(?)=б, (то есть -квантиль уровня значимости б распределения ) и формируют критическую область S_б=();

7. Гипотеза H₀ отвергается, если g € S_б и принимается, если g не принадлежит S_б.

Отчет

Дан вариационный ряд (объемом n=100) выборки с:

Минимальное значение ряда: Х_min= 0,2140

Максимальное значение ряда: X_max= 10,4254.

Математическое ожидание:

Оценка дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение: у = 1,434

Построим гистограмму на интервалах по заданным данным

Таблица

Рис.

Исходя из вида гистограммы выдвинем предположения что нам дано экспоненциальное распределение.

Таблица. Поверим верность гипотезы

Таблица

Приведем формулы для плотности и функций распределения:

1. Экспоненциальное распределение X=E(л)

2. Нормальное распределение X=N()

3. Равномерное распределение X=R(a,b)

Проводя сравнительную оценку критерия Пирсона по таблице можно сделать вывод, что единственное удовлетворяющее нас распределение - экспоненциальное, так как для степени свободы 7:

так же можно с уверенностью сказать, точность лучше выбрать не 0,05,а 0,10.

Наш вариационный ряд имеет экспоненциальный закон распределения.

Размещено на Allbest.ru