Для обработки были выбраны случайные величины X и Y. Случайная величина X - индексы потребительских цен и тарифов на товары и услуги в Беларуси. Случайная величина Y - индексы потребительских цен и тарифов на товары и услуги в России.

Даны выборки i=1,…, N, N=100.

На основании этой выборки строим диаграмму рассеивания и корреляционную таблицу X и Y:

Корреляционная таблица:

Приведем основные понятия и определения из курса теории вероятности и математической статистики, которые будут иметь место в данной работе.

Генеральная совокупность -- совокупность объектов, из которых производится случайный выбор объектов для исследования.

Выборочная совокупность -- отобранные случайным образом объекты из генеральной совокупности.

Объем генеральной (выборочной) совокупности -- число объектов совокупности.

Варианта -- наблюдаемое значение переменной.

Относительная частота -- отношение числа наблюдений к объему выборки.

Диаграмма рассеивания (корреляционное поле) -- график в ДПСК, на котором откладываются все пары точек .

Гистограмма относительных частот -- ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служит интервал длины , а высоты равны .

Выборочное среднее -- среднее арифметическое значений вариант выборки

.

Выборочная дисперсия -- среднее арифметическое квадрата отклонения случайных величин от их среднего значения

.

Исправленная дисперсия .

Мода выборки -- варианта с наибольшей частотой.

Ковариация (корреляционный момент) двух случайных величин и -- это математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от их математического ожидания

.

Коэффициентом корреляции двух случайных величин заданных на одном вероятностном пространстве называется величина

.

Если для двух случайных величин и можно хотя бы приближенно записать, что , то говорят, что и связаны линейной (квадратичной) корреляцией.

Выборочные числовые параметры

По необработанной выборке:

По обработанной выборке:

Мода (x) = 102,5Мода (x) = 103,14375

Мода (y) = 114,4Мода (y) = 107,54375

Медиана (x) = 109,25

Медиана (y) = 110

Расчёт коэффициента корреляции

Корреляция -- это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:

, причем . (1)

Из формулы (1) видно, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю, так как для таких величин K_xy = 0.

Случайные величины, для которых = 0, называют некоррелированными (несвязанными).

Отметим, однако, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Таким образом, коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.

Рассчитаем коэффициент

,

где K_xy -- ковариация, и -- средние квадратичные отклонения случайных величин.

, , ,

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

, , ,

Итак, если = 0, то X и Y -- независимые случайные величины; если = 1, то это строгая функциональная зависимость; +1 -- возрастающая регрессия, -1 -- убывающая регрессия.

Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, служат также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям. Для исследуемой взаимосвязи между X и Y, коэффициент корреляции . Следовательно, зависимость между X и Y крайне мала.

Гистограммы относительных нормированных частот X и Y

Обычно в любой области науки при изучении двух величин проводятся эксперименты. Из-за того, что почти всегда измерение связано с погрешностями, соответствующие точки X и Y не ложатся на какую-то функцию и задача состоит в том, чтобы на основании экспериментальных точек выявить функциональную зависимость.

Если мы рассматриваем слабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначально корреляционная. Это связано, в частности, с тем, что связи много переменные, т.е. Y зависит не только от X, но и от других параметров, причем такая связь часто носит случайный характер.

В этом случае, имея экспериментальные точки, задача состоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом близка к экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.

Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьших квадратов.

Исследование линейной зависимости

Одним из важнейших методов определения зависимости между X и Y является метод наименьших квадратов. Видя общее расположение точек, можно предположить, что эта зависимость линейная. Количество прямых, проходящих через заданную совокупность точек, бесконечно. Выберем оптимальную из них. Для этого суммарное отклонение между теоретическими и экспериментальными точками должно быть минимальным. Это отклонение мы найдем с помощью функции:

Метод нахождения минимального отклонения и есть метод наименьших квадратов. Это суммарное отклонение зависит от коэффициентов а и b функции Y, поэтому эти коэффициенты должны быть минимальными, то есть производная функции F(a, b) в этих точках равны нулю:

N=100.

Получаем следующую систему:

Числа A, B, C и D считаем на компьютере. Используем данные расчетной таблицы и получаем систему уравнений с двумя неизвестными:

Далее, решая эту систему методом исключения переменных, получаем искомые числа a и b:

следовательно, уравнение прямой примет вид:

Аналогично ищем уравнение прямой вида:

Для этого суммарное отклонение между теоретическими и экспериментальными точками должно быть минимальным. Это отклонение мы найдем с помощью функции:

Суммарное отклонение зависит от коэффициентов c и d функции X, поэтому эти коэффициенты должны быть минимальными, то есть производная функции F(с, d) в этих точках равны нулю:

N=100.

Получаем следующую систему:

Числа A, B, C и D считаем на компьютере. Используем данные расчетной таблицы и получаем систему уравнений с двумя неизвестными:

Далее, решая эту систему методом исключения переменных, получаем искомые числа c и d:

следовательно, уравнение прямой примет вид:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1998.

3. Чавлеишвили М.П. Задачи по теории вероятностей: Учебное пособие. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2000.

4. Чавлеишвили М.П. Задачи по математической статистике: Учебное пособие. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.

Размещено на Allbest.ru