Численное решение трансцендентных и нелинейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Федеральное агентство по образованию РФ

Ивановский государственный химико-технологический университет

Кафедра прикладной математики

Лабораторная работа

По дисциплине: «Прикладная математика»

Тема: «Численное решение трансцендентных и нелинейных уравнений»

Выполнила: Пичугина А.Н.

гр. 2/36

Проверила: преп. Кокурина Г.Н.

Иваново 2012 г.



Задание

Выполнить в среде MathCad, Excel нахождение корней уравнений:

1) х²-cos(Пx)=0- Комбинированным методом (хорд и касательных)

2) x³ + 3 x² -2= 0 - Методом хорд.



Теоретическое введение

Комбинированный метод

Методы хорд и касательных дают приближения с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня проходит быстрее.

Пусть дано уравнение f(x)=0, корень о отделен и находится на отрезке [a,b].

Применим комбинированный метод хорд и касательных с учетом типа графика функции.

Если , то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных с недостатком.

Если то методом хорд получаем значение корня с недостатком, а методом касательных с избытком.

Рассмотрим случай, когда f '(х) < 0, f "(х) > 0, то со стороны конца а лежат приближённые значения корня, полученные по методу касательных, а со стороны конца b - значения, полученные по методу хорд.

Иллюстрация комбинированного метода



Тогда

Теперь истинный корень о находится на интервале [а₁,b₁]. Применяя к этому интервалу комбинированный метод, получаем:

и вообще

Для случая, когда f'(х)·f "(х) > 0, то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:

Ручной счет в MathCAD.

Имеем уравнение: х²-cos(Пx)=0

1) Отделяем корни графически.



Мы построили график функции y=f(x) для уравнения вида f(x)=0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами пересечения графика функции с осью OX. Очевидно, что уравнение имеет корень, который принадлежит отрезку:

[0;1]. Будем уточнять этот корень.

2) Сузим отрезок методом половинного деления:

(корень будем обозначать буквой с):

Длина отрезка локализации корня 0.125

3) Проверим условия теоремы:



Следовательно,,.

4) Уточнение корня комбинированным методом:

|x2 - x21| < 0.0001

Следовательно корнем уравнения будет



Расчет в Excel.

Формула в ячейке B3: =B2-((D2*(B2-C2))/(D2-E2))

Формула в ячейке C3:= C2-(E2/F2)

Формула в ячейке D2: =B2^2-COS(3,141592654*B2)

Формула в ячейке E2: =C2^2-COS(3,141592654*C2)

Формула в ячейке F2: =2*C2+3,141592654*SIN(3,141592654*C2)

Формула в ячейке G2:=ABS(C3-B3)

Таким образом, получаем решение: .

Метод хорд.

Ручной счет в MathCAD.

Имеем уравнение:

Х³+3х²-2=0

1) Отделяем корни аналитически:

Будем уточнять корень на отрезке [0;1]

Функция на отрезке [0;1]:

1) непрерывна

2) y(0)*y(1)=-2*2<0

2) Сузим отрезок методом половинного деления:

Длина отрезка локализации корня 0,125

3) Условия теоремы:

Построим график функции, график первой производной, график второй производной на отрезке [0,625;0,75]:

Область определения функции y(x) - все действительные числа, это видно из первого графика.

y(0,625)*y(0,75)<0

y'(x) =

y''(x) =

Отсюда видно, что первая производная на отрезке [0,625;0,75] больше нуля и вторая производная на отрезке [0,625;0,75] больше нуля. Так как y(b)>0 и y''(b)>0, то точка b является неподвижной.

3) Уточнение корня методом хорд:

Следовательно корень уравнения

трансцендентный нелинейный уравнение корень

Расчет в Excel

Формула в ячейке D2: =B2^3+3*B2^2-2

Формула в ячейке E2: =C2^3+3*C2^2-2

Формула в ячейке F2:= B2-((D2*(B2-C2))/(D2-E2))

Формула в ячейке G2:= ABS(B2-F3)

Таким образом, получаем решение:



Вывод

Проделав данную лабораторную работу, я изучила два метода решения приближенных и алгебраических уравнений: метод хорд и комбинированный метод. Научилась отделять корни как аналитически, так и графически. Метод хорд удобнее применять, если график функции на отрезке проходит под небольшим углом отклонения от оси ОУ, так как точки пересечения касательных с осью ОХ будут быстрее сходиться к итоговому результату. Комбинированный метод удобнее применять всегда, так как промежуточные результаты сходятся к итоговому сразу с двух сторон. Кроме того, при комбинированном методе гораздо удобнее рассчитывать погрешность. Также, я научилась выделять отрезки, которым принадлежат корни уравнения графически и аналитически, сужать эти отрезки методом половинного деления. При выделении отрезков гораздо удобнее использовать графический способ, так как из него сразу видно сколько корней, и каким отрезкам они принадлежат, а при аналитическом способе нужно производить определенные вычисления.

Размещено на Allbest.ru