Численное решение трансцендентных и нелинейных уравнений

Нахождение корней трансцендентных и нелинейных уравнений комбинированным методом, методами хорд и касательных. Формулы для уточнения корня уравнения. Построение графика функции, графиков первой и второй производной. Графический метод отделения корней.

Рубрика Математика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 07.12.2012
Размер файла 80,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Федеральное агентство по образованию РФ

Ивановский государственный химико-технологический университет

Кафедра прикладной математики

Лабораторная работа

По дисциплине: «Прикладная математика»

Тема: «Численное решение трансцендентных и нелинейных уравнений»

Выполнила: Пичугина А.Н.

гр. 2/36

Проверила: преп. Кокурина Г.Н.

Иваново 2012 г.

Задание

Выполнить в среде MathCad, Excel нахождение корней уравнений:

1) х2-cos(Пx)=0- Комбинированным методом (хорд и касательных)

2) x3 + 3 x2 -2= 0 - Методом хорд.

Теоретическое введение

Комбинированный метод

Методы хорд и касательных дают приближения с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня проходит быстрее.

Пусть дано уравнение f(x)=0, корень о отделен и находится на отрезке [a,b].

Применим комбинированный метод хорд и касательных с учетом типа графика функции.

Если , то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных с недостатком.

Если то методом хорд получаем значение корня с недостатком, а методом касательных с избытком.

Рассмотрим случай, когда f '(х) < 0, f "(х) > 0, то со стороны конца а лежат приближённые значения корня, полученные по методу касательных, а со стороны конца b - значения, полученные по методу хорд.

Иллюстрация комбинированного метода

Тогда

Теперь истинный корень о находится на интервале [а1,b1]. Применяя к этому интервалу комбинированный метод, получаем:

и вообще

Для случая, когда f'(х)·f "(х) > 0, то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:

Ручной счет в MathCAD.

Имеем уравнение: х2-cos(Пx)=0

1) Отделяем корни графически.

Мы построили график функции y=f(x) для уравнения вида f(x)=0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами пересечения графика функции с осью OX. Очевидно, что уравнение имеет корень, который принадлежит отрезку:

[0;1]. Будем уточнять этот корень.

2) Сузим отрезок методом половинного деления:

(корень будем обозначать буквой с):

Длина отрезка локализации корня 0.125

3) Проверим условия теоремы:

Следовательно,,.

4) Уточнение корня комбинированным методом:

|x2 - x21| < 0.0001

Следовательно корнем уравнения будет

Расчет в Excel.

Формула в ячейке B3: =B2-((D2*(B2-C2))/(D2-E2))

Формула в ячейке C3:= C2-(E2/F2)

Формула в ячейке D2: =B2^2-COS(3,141592654*B2)

Формула в ячейке E2: =C2^2-COS(3,141592654*C2)

Формула в ячейке F2: =2*C2+3,141592654*SIN(3,141592654*C2)

Формула в ячейке G2:=ABS(C3-B3)

Таким образом, получаем решение: .

Метод хорд.

Ручной счет в MathCAD.

Имеем уравнение:

Х3+3х2-2=0

1) Отделяем корни аналитически:

Будем уточнять корень на отрезке [0;1]

Функция на отрезке [0;1]:

1) непрерывна

2) y(0)*y(1)=-2*2<0

2) Сузим отрезок методом половинного деления:

Длина отрезка локализации корня 0,125

3) Условия теоремы:

Построим график функции, график первой производной, график второй производной на отрезке [0,625;0,75]:

Область определения функции y(x) - все действительные числа, это видно из первого графика.

y(0,625)*y(0,75)<0

y'(x) =

y''(x) =

Отсюда видно, что первая производная на отрезке [0,625;0,75] больше нуля и вторая производная на отрезке [0,625;0,75] больше нуля. Так как y(b)>0 и y''(b)>0, то точка b является неподвижной.

3) Уточнение корня методом хорд:

Следовательно корень уравнения

трансцендентный нелинейный уравнение корень

Расчет в Excel

Формула в ячейке D2: =B2^3+3*B2^2-2

Формула в ячейке E2: =C2^3+3*C2^2-2

Формула в ячейке F2:= B2-((D2*(B2-C2))/(D2-E2))

Формула в ячейке G2:= ABS(B2-F3)

Таким образом, получаем решение:

Вывод

Проделав данную лабораторную работу, я изучила два метода решения приближенных и алгебраических уравнений: метод хорд и комбинированный метод. Научилась отделять корни как аналитически, так и графически. Метод хорд удобнее применять, если график функции на отрезке проходит под небольшим углом отклонения от оси ОУ, так как точки пересечения касательных с осью ОХ будут быстрее сходиться к итоговому результату. Комбинированный метод удобнее применять всегда, так как промежуточные результаты сходятся к итоговому сразу с двух сторон. Кроме того, при комбинированном методе гораздо удобнее рассчитывать погрешность. Также, я научилась выделять отрезки, которым принадлежат корни уравнения графически и аналитически, сужать эти отрезки методом половинного деления. При выделении отрезков гораздо удобнее использовать графический способ, так как из него сразу видно сколько корней, и каким отрезкам они принадлежат, а при аналитическом способе нужно производить определенные вычисления.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.

    контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010

  • Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.

    лабораторная работа [32,7 K], добавлен 11.06.2011

  • Общая постановка задачи. Отделение корня. Уточнение корня. Метод половинного деления (бисекции). Метод хорд (секущих). Метод касательных (Ньютона). Комбинированный метод хорд и касательных. Задания для расчётных работ.

    творческая работа [157,4 K], добавлен 18.07.2007

  • Решение нелинейных уравнений. Отделения корней уравнения графически. Метод хорд и Ньютона. Система линейных уравнений, прямые и итерационные методы решения. Нормы векторов и матриц. Метод простых итераций, его модификация. Понятие про критерий Сильвестра.

    курсовая работа [911,6 K], добавлен 15.08.2012

  • Методика отделения корней от заданных уравнений графическим методом и табулированием, а также половинным делением. Содержание, а также оценка преимуществ и недостатков использования метода итерации и касательных, условия их практического применения.

    лабораторная работа [284,8 K], добавлен 24.09.2014

  • Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.

    курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015

  • Контрольный пример к алгоритму метода хорд. Вычисление и уточнение корня методом хорд и касательных. Нахождение второй производной заданной функции. Уточненное значение корня решаемого уравнения на заданном интервале. Код программы данного примера.

    лабораторная работа [276,9 K], добавлен 02.12.2014

  • Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.

    курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010

  • Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.

    лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009

  • Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

    курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.