Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Основные свойства ранга матрицы
Ранг системы строк (столбцов) матрицы A c m строк и n столбцов как максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Ранг матрицы – наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Теорема Кронекера – Капелли, содержание и значение.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.12.2012 |
| Размер файла | 124,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Реферат на тему:
«Ранг матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Основные свойства ранга матрицы»
Ранг матрицы
Рангом системы строк (столбцов) матрицы A c m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Обычно ранг матрицы A обозначается rang A (rg A) или rank A. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, поэтому и употребляется могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый - для немецкого, французского и ряда других языков.
Определение
Пусть Am*n - прямоугольная матрица, тогда по определению рангом матрицы A является:
· Ноль, если A - нулевая матрица;
· Число , где Mr - минор матрицы A порядка r, а Mr+1 - окаймляющий к нему минор порядка (r+1), если существуют.
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A m*n порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют.
Теорема Кронекера - Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы. В частности:
Количество главных переменных системы равно рангу систем
Совместная система будет определена (ее решение единственно), если ранг системы равен числу всех ее переменных
ранг матрица капелли столбец
· Ранг матрицы M размера mn называют полным, если =
· Базисный минор матрицы A - любой ненулевой минор матрицы A порядком r, где
· Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами.
· Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисными.
Свойства ранга матрицы:
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится
3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразований матрицы
Простейший способ определения ранга матрицы состоит в приведении ее к ступенчатого виду при помощи последовательности элементарных преобразований.
К ним относятся:
· Умножения строки на произвольное число, отличное от нуля
· Прибавления к некоторой строке любой дрогой строки, умноженной на одно и тоже число
· Вычеркивание нулевой строки
Матрица В, получающаяся из данной матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А.
Обозначается
Примеры:
1. Найти ранг матрицы А=
Решение: Имеем M1= , MІ=, Mі=;
Минор четвертого порядка составить нельзя.
Ответ: rang A=3
2. Найти ранг матрицы A=
Решение: Имеем М1==0
Ответ: rang A=1
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Понятие матрицы, прямоугольная матрица размера m x n - совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Численная характеристика квадратной матрицы - ее определитель. Действия над матрицами, ранг матрицы.
реферат [87,2 K], добавлен 01.08.2009Определение матрицы, характеристика основных ее видов. Правила транспонирования матриц. Элементы матрицы-произведения. Свойства определителей, примеры нахождения. Формулировка и следствие теоремы о ранге матрицы. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.
реферат [60,2 K], добавлен 17.06.2014Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Число, характеризующее квадратную матрицу. Вычисление определителя первого и второго порядков матрицы. Использование правила треугольников. Алгебраическое дополнение некоторого элемента определителя. Перестановка двух строк или столбцов определителя.
презентация [81,5 K], добавлен 21.09.2013Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Размеры прямоугольной, квадратной, диагональной, скалярной матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение строки на столбец (скалярное произведение). Транспонирование матрицы, ее элементы. Образование треугольной таблицы, состоящей из строк, столбцов.
презентация [1,4 M], добавлен 03.12.2016Изучение понятий, действий (сумма, разность, произведение), свойств квадратной матрицы. Определение и признаки ранга матрицы. Анализ методов окаймляющих миноров и преобразований. Расчет системы линейных уравнений согласно методам Крамера и матричному.
реферат [178,9 K], добавлен 01.02.2010Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010