Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Полная и неполная индукция

Говоря об индукции вообще, различают полную и неполную индукцию. Полная индукция - это индукция, при которой вывод делается на основании рассмотрения всех частных случаев. Например, чтобы установить, сколько простых чисел содержится в первом десятке, достаточно их пересчитать:. Вывод не требует обоснования. Заключение, сделанное на основе полной индукции, является вполне достоверным. Полная индукция почти не встречается в школе из-за громоздких рассуждений. Но и там можно найти примеры её использования. При доказательстве теоремы об измерении угла, вписанного в окружность, половиной дуги, на которую он опирается, бесконечное множество таких углов разбивают на три бесконечных подмножества. Для каждого случая проводится доказательство и на основании всех трёх частных случаев делается общий вывод, то есть на основании полной индукции. Применение полной индукции подразумевает, что сделать вывод об истинности утверждения можно только в том случае, когда убедимся в её истинности для всех значений

Неполная индукция - это индукция, при которой все частные случаи не исчерпываются, так как их или бесконечное множество, или конечное, но с большим числом элементов. Метод неполной индукции состоит в том, чтобы проверить истинность некоторых частных значений утверждения, то есть проверяются не все значения

В повседневной жизни мы постоянно пользуемся методом неполной индукции. При покупке на рынке соленых огурцов, мы пробуем кусочек одного огурца (который протягивает нам продавец). Если он нравится, покупаем, например, 1 кг, рассудив так: «Если один огурец хороший, то и все хорошие». Однако, не исключено, что все купленные огурцы окажутся плохими, кроме того, который мы попробовали. Другой пример. Магазин закупает партию яблок, и товаровед проверяет не одно яблоко, а по несколько плодов из каждого ящика. Если выбранные яблоки спелые, то магазин примет решение «все яблоки спелые», то есть также воспользуется методом неполной индукции, и закупит все ящики. Даже универсальные законы природы формулируются на основе отдельных наблюдений. Поэтому наши повседневные решения и научные выводы, сделанные на основании неполной индукции, не являются достоверными.

Метод неполной индукции, используемый в естественных науках, в математике не имеет права на существование. Нередко случается, что частная формулировка верна для отдельных значений , и вместе с тем не удается найти таких значений, для которых она неверна. Тогда есть основание предположить, что утверждение истинно. Результат, полученный неполной индукцией, остается лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но благодаря этому методу, в математике выдвигаются гипотезы, которые в дальнейшем могут быть доказаны.

Ниже приведены примеры, говорящие о том, что метод неполной индукции в математике не работает.

Числа Ферма. Знаменитый математик XVII в. Пьер Ферма изучал числа вида. Их так и назвали - числа Ферма. Ученый полагал, что все эти числа простые. И у него на то, казалось бы, имелись основания: действительно, числа такого вида являются простыми при . Однако, в XVIII в. Леонард Эйлер обнаружил, что при это число равно произведению двух простых чисел 641 и 6700417. Более того, неизвестно, существуют ли простые числа Ферма помимо пяти вышеуказанных.

Части внутри окружности. На окружности взяли точек и соединили их всевозможными отрезками. Оказалось, что никакие три из этих отрезков не пересекаются в одной точке. Требуется выяснить, на сколько частей они делят круг. При получаем соответственно 1, 2, 4, 8, 16 частей и выдвигаем предположение, что при любом количество частей равно . На самом деле их будет .

Двучлен . Если разлагать двучлен на множители при различных значениях , то окажется, что у каждого из многочленов-сомножителей коэффициенты равны . Например, . Гипотезу о том, что это справедливо для любого доказать не удавалось. А в 1941 г. выяснилось, что указанная особенность разложения двучлена на множители существует при всех до 104 включительно, а в случае появляется многочлен, отдельные коэффициенты которого равны .

В математике полная индукция имеет лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев очень сложно. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции.

2. Индукция и математическая индукция

Метод индукции используют все науки, в том числе и математика. Математической же индукцией пользуются только в математике для доказательства теорем определённого типа. Довольно неудачно, что их названия связаны, так как между этими методами нет логической связи. Однако некоторая практическая связь всё же есть, вследствие чего, мы часто пользуемся обоими методами одновременно. Проиллюстрируем оба метода одним и тем же примером. Рассмотрим равенство . Заметив, что в левой его части стоят кубы последовательных натуральных чисел, а в правой части квадрат, перепишем его и получим равенство: .

Здесь вопрос связан с суммой кубов натурального ряда чисел . К этому вопросу нас привёл «частный случай» при . При исследовании частных случаев при получаем, что все эти суммы чисел последовательных кубов представляют собой квадраты.

Записываем все случаи, получаем таблицу:

Индукция подсказывает следующую теорему: Сумма первых n кубов есть квадрат.

Таким образом, мы приходим к предположению о существовании такой закономерности. Мы можем продолжать исследование перебором частных случаев при . Можно также вновь исследовать факты, наблюдение которых привело его к этому предположению. Сравнивая их, пытаться выявить какую-нибудь более глубокую закономерность, или какие-нибудь дополнительные аналогии. Будем проводить исследование.

Для этого вернёмся к таблице и рассмотрим случаи. . Основания этих квадратов равны Разность между двумя последовательными основаниями этой последовательности возрастает. В самом деле,

Из записанных выше равенств видна закономерность разностей. Проведём аналогию в основаниях этих квадратов. Находим закономерность ряда чисел :



Если эта закономерность имеет общий характер, то теорема, существование которой мы предположили, принимает более точную форму: для

Изложенная закономерность была обнаружена при помощи метода индукции. Весь ход рассуждений несколько односторонний и несовершенный, но, во всяком случае, правдоподобный, даёт представление об этом методе.

Индукция пытается раскрыть закономерности и связи путём обобщения и аналогии. Попытка обобщения возникает из усилия понять наблюдаемые факты. Она основана на аналогии, а проверяется дальнейшими частными случаями. Многие математические результаты были сначала получены методом индукции и лишь позднее доказаны. Математика, основанная на строгих доказательствах, представляет собой дедуктивную и систематическую науку, но в процессе становления, математика складывалась как экспериментально-индуктивная наука.

В математике, как и в естественных науках, для открытия общих закономерностей мы можем пользоваться как непосредственными наблюдениями, так и методом индукции. Но между ними есть разница. В естественных науках основную роль играет результат наблюдений и метод индукции, а в математике - строгое доказательство.

Вернемся к примеру о сумме кубов, рассмотренному выше. Установим закономерность этого явления путём строгого доказательства. Таким образом, мы приходим к следующей задаче: доказать или опровергнуть утверждение, что сумма первых кубов есть квадрат.

Предварительно упростим его, применив сумму арифметической прогрессии:

.

индукция математический теорема доказательство

Для проверки этого соотношения возьмём прямоугольник со сторонами и и разделим его на две половины ломаной линией так, как показано на рис. 1, где изображён случай .

Каждая из половин имеет «лестницеобразную форму». Её площадь выражается числом . При она равна(рис. 2).

Поскольку вся площадь прямоугольника равна , а площадь лестницеобразной фигуры равна половине площади прямоугольника, следовательно, формула, приведённая выше, справедлива.

Теперь результат, полученный методом индукции, можно представить в таком виде:

.

Для этого рассмотрим случай при . При этом значении имеем: . Вычисление подтверждает правильность равенства, поскольку обе части равны 441.

Данная формула выражает общую закономерность, то есть справедлива при всех значениях . Нужно узнать, будет ли справедлива формула, когда мы переходим от значения к . Наряду с формулой, приведённой выше, получим:

.

Теперь имеется простой способ проверки. Вычитая из этого равенства, равенство, приведённое выше, мы получим:

.

Это равенство уже легко проверить. Правую часть можно записать в таком виде:

,

.

Формула, выведенная экспериментально, прошла проверку.

Но мы не можем утверждать, справедливо ли равенство

.

Но если бы мы знали, что оно действительно справедливо, могли бы вывести отсюда, путём сложения его с уже установленным равенством, что соотношение

также имеет место. Но мы знаем, что наше предположение справедливо при . На основании только что сказанного, наше предположение, будучи справедливым при , должно быть также справедливо при . А поскольку оно справедливо при , оно также справедливо при , поскольку оно справедливо при , оно справедливо при и т.д. Таким образом, теорема о том, что сумма первых кубов есть квадрат, справедлива при всех значениях , и тем самым доказано, что она справедлива вообще.

Приведённое доказательство может служить образцом для многих подобных случаев. Существенные черты для такого доказательства приведены ниже.

«Утверждение, которое требуется доказать, должно быть предварительно и чётко сформулировано.

Утверждение должно зависеть от целого положительного числа .

Утверждение должно быть достаточно «определённым» для того, чтобы у нас была возможность проверить, остаётся ли оно верным при переходе от числа к следующему числу .

Как только нам удастся это установить, нам уже достаточно знать, что утверждение верно для числа ; тогда оно верно и при , и т.д. Переходя от любого целого числа к следующему, мы доказываем общность нашего утверждения.» [2]

Данный метод доказательства часто используется при доказательстве утверждений в математике. Его можно назвать «доказательством от к » или, «переходом к следующему целому числу». Но для этого метода принят термин «математическая индукция». Это название является результатом случайного стечения обстоятельств. В случае, который мы подробно рассмотрели выше, утверждение возникло на основе индукции. Мы пришли к нему эмпирическим путём. Таким образом, доказательство было основано на методе индукции, который дополнили математические обоснования. Этим и объясняется название метода.

3. Теоремы, приводящие к доказательству методом математической индукции

В школе арифметика и алгебра излагаются систематически, но нет и речи о том, чтобы их выводить дедуктивно из аксиом. На самом деле, оставаясь в пределах школьного материала, дедуктивно можно построить и алгебру, и арифметику, но на это не хватает времени, и в школьном курсе математики это опускается. Все мы привыкли со школьных лет пользоваться привычными математическими обозначениями. И нам кажется, что так было если не всегда, то очень долго. Но, вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована. Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано (1858-1932) сформулировал аксиомы, на которых основана арифметика.

«У нас имеется некое множество , называемое «множеством натуральных чисел», в нем особо выделен некоторый элемент 1 («единица») и введена операция (отображение, функция), сопоставляющая каждому некоторое число («число, следующее за »). При этом выполняются следующие аксиомы - Аксиомы Пеано:

Во множестве существует элемент 1, называемый единицей, который непосредственно не следует ни за одним натуральным числом.

За каждым натуральным числом непосредственно следует одно и только одно натуральное число.

Каждое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом.

(Аксиома индукции)

Пусть , удовлетворяющее следующим условиям:

a)

b) если , то

Тогда » [4.]

Аксиома индукции служит для обоснования метода доказательства теорем, который основан на следующем утверждении.

Принцип полной математической индукции

«Теорема (принцип полной математической индукции).

Предложение с переменной верно для любого натурального числа n, если выполнены следующие условия:

это предложение верно для , т.е. истинно;

каково бы ни было натуральное число , из предположения о том, что это предположение верно для , следует, что оно верно для непосредственно следующего натурального числа , т.е. если истинно, то и истинно.

Доказательство:

Обозначим через множество всех натуральных чисел, для которых истинно:

.

Из условия 1) следует, что . Пусть натуральное число . Тогда истинно и по условию 2) должно быть истинно , а значит, . Таким образом, оба условия аксиомы индукции выполнены, следовательно, . Но это и означает, что верно для любого .» [4.]

Доказательство на основании принципа полной математической индукции называется доказательством методом полной математической индукции. При этом говорят кратко: «докажем индукцией по ». Проверка истинности утверждения называется началом индукции, предположение об истинности называется индуктивным предположением, а доказательство истинности на основе истинности называется шагом индукции.

Усиленный принцип полной математической индукции

«Теорема (усиленный принцип полной математической индукции).

Предложение , зависящее от натуральной переменной , верно для любого натурального числа, если выполнены следующие условия:

1) верно для , т.е. истинно;

2) каково бы ни было натуральное число m, из предположения о том, что истинно для всех , следует, что оно верно и для , т.е. истинно.

Доказательство:

Доказательство методом от противного. Предположим, что верно не для всякого натурального числа. Тогда множество всех натуральных чисел, для которых не верно, не пусто и по теореме (Всякое не пустое подмножество натуральных чисел содержит наименьший элемент) имеет наименьший элемент, который обозначим через .

По условию 1) следовательно, существуют натуральные числа, меньшие . Так как - наименьший элемент в , то все натуральные числа, меньшие , уже не принадлежат, а значит, для них утверждение верно. Но тогда по условию 2) оно должно быть верно, и для - пришли к противоречию. Остаётся принять, что O. Но это означает, что верно для любого натурального числа.» [4.]

Обобщённый принцип полной математической индукции

Иногда истинность утверждения нужно доказать для всех натуральных чисел, начиная с некоторого натурального числа а. Тогда используется следующая теорема.

«Теорема (обобщённый принцип полной математической индукции). Пусть . Предложение верно для любого натурального числа , если выполнены следующие условия:

1) предложение верно для , т.е. истинно;

2) каково бы ни было натуральное число , из предположения о том, что истинно, следует, что истинно.

Доказательство:

Обозначим через множество, содержащее все натуральные числа, меньшие а, и все n, для которых истинно. Пользуясь принципом полной математической индукции, докажем, что для любого . По условию 1) , а так как , то . Пусть , тогда либо , либо истинно. В первом случае , откуда , а во втором - по условию 2) . Таким образом, Отсюда следует истинность для любого .» [4.]

Обобщённый усиленный принцип полной математической индукции

Докажем принцип полной математической индукции, который соединяет в себе черты усиленного и обобщённого принципов.

«Теорема. Пусть . Предложение верно для любого натурального числа , если выполнены следующие условия:

1) предложение верно для , т.е. истинно;

2) каково бы ни было натуральное число , из предположения о том, что истинно для всех натуральных n чисел таких, что , следует истинность .

Доказательство:

Обозначим через множество, содержащее все натуральные числа, меньшие а, и все , для которых истинно. Пользуясь усиленным принципом полной математической индукции, нетрудно доказать, что всякое натуральное число принадлежит . Это и доказывает теорему».

Список литературы

Вавилов В.В. и др. Задачи по математике / Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. - М.: Наука. - 1987. - С. 396.

Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика/ Пособие для учителей. - М.: Просвещение. - 1976. - С. 4 - 18.

Кацман Г.А. Теория и методика обучения математике. Общая методика: учебное пособие / Г.А. Кацман; Краснояр. Гос. Пед. Ун-т им. В.П. Астафьева. - Красноярск, 2008. - 156 с.

Ларин С.В. Числовые системы. - Красноярск, 2001. - 160 с.

Пойа Д. Как решать задачу / Пособие для учителей / под ред. Ю.М. Гайдука. - М.: Государственное учебно - педагогическое изд-во министерства просвещения РСФСР. - 1959. - 208 с.

Соловьев Ю. Огюстен Луи Коши и математическая индукция // Квант. - 1991. - №3.

Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции. - М.:Наука. - 1967. - С. 7-59.

Учебное пособие / Математическая индукция / И.Т. Демидов, А.Н. Колмогоров, С.И. Шварцбург, О.С. Ивашев-Мусатов, Б.Е. Вейц. - «Просвещение». - 1975.

Размещено на Allbest.ru