Линейные уравнения
Определение, расчет и совместность системы линейных уравнений. Варианты решений фундаментальной системы уравнений и вычисление рангов матрицы. Модифицированная матрица и вычетание уравнений из строк. Определение произвольный системы, отличный от нуля.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.11.2012 |
| Размер файла | 133,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования РФ
НОУ ВПО Кисловодский институт экономики и права
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине «Линейная алгебра»
По теме «Вариант №2»
Определить совместность системы линейных уравнений:
Решение:
А =
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
RgA = 2.
A* =
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
RgA* = 3.
Ответ. Система не совместима.
2. Вычислить ранг матрицы.
Решение:
От 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 3; 1
|
1 2 1 3 4 0 -2 -1 -3-4 0 0 0 0 0 |
1) 2-ую строку делим на -2:
|
1 2 1 3 4 0 1 0.5 1.5 2 0 0 0 0 0 |
2) от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 2:
|
1 0 0 0 0 0 1 0.5 1.5 2 0 0 0 0 0 |
Ответ. Так как ненулевых строк 2, то rang(A) = 2.
3. Вычислить определитель:
Решение:
Для вычисления определителя приведем матрицу к треугольному виду.
После этого определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.
1) Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на (a2,1/a1,1)= -2
Вычитаемая строка:
|
-8 -6 -4 -12 |
Модифицированная матрица:
|
4 3 2 6 0 11 5 10 3 4 2 3 4 -2 -1 1 |
2) Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на (a3,1/a1,1) = 3 4
Вычитаемая строка:
|
3 9 3 9 4 2 2 |
Модифицированная матрица:
|
4 3 2 6 0 11 5 10 0 7 1 -3 4 2 2 4 -2 -1 1 |
3) Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на (a4,1/a1,1) = 1
Вычитаемая строка:
|
4 3 2 6 |
Модифицированная матрица:
|
4 3 2 6 0 11 5 10 0 7 1 -3 4 2 2 0 -5 -3 5 |
4) Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на (a3,2/a2,2) = 7 44
Вычитаемая строка:
|
0 7 35 35 4 44 22 |
Модифицированная матрица:
|
4 3 2 6 0 11 5 10 0 0 -13 -34 44 11 0 -5 -3 5 |
5) Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на (a4,2/a2,2) = -5 11
Вычитаемая строка:
|
0 -5 -25 -50 11 11 |
Модифицированная матрица:
|
4 3 2 6 0 11 5 10 0 0 -13 -34 44 11 0 0 -8 -5 11 11 |
6) Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на (a4,3/a3,3) = 32 13
Вычитаемая строка:
|
0 0 -8 -1088 11 143 |
Модифицированная матрица:
|
4 3 2 6 0 11 5 10 0 0 -13 -34 44 11 0 0 0 93 13 |
7) Вычисляем определитель:
det[a] = 4 * 11 * -13 * 93 = -93
44 13
Ответ. Определитель равен -93.
4. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений:
Решение:
1) Найдем ранг матрицы А:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
rang(A)=2.
2) Оставляем в системе последние два уравнения и переносим слагаемые со свободными неизвестными в правую часть системы:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
3) Находим общее решение:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно выбрать произвольный отличный от нуля определитель.
Представим его в простейшем виде:
уравнение решение ранг
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
4) Берем строки этого определителя как значения свободных неизвестных, получим 3 решения, которые образовывают фундаментальную систему решений:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
5. Решить с помощью теоремы Кронекера-Капелли систему уравнений:
Решение:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Из последнего преобразования вытекает, что
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Начальная система эквивалентна системе:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Среди миноров второго порядка, составленных из элементов матрицы коэффициентов при неизвестных, существует хотя бы один отличный от нуля. В нашем случае их несколько. Если отличный от нуля минор выберем из коэффициентов при двух неизвестных, то таким образом мы переведем эти неизвестные в разряд основных. Пусть, например, это неизвестные х1, х2.
Тогда, перенеся остальные неизвестные в правую часть системы уравнений, получим:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Главный определитель этой системы:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
.
Найдем
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
По правилу Крамера:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Последние равенства определяют общее решение системы уравнений. Чтобы получить частные решения, достаточно предоставить свободным неизвестным х3, х4, х5 некоторых числовых значений.
Например, если:
х3 = 0
х4 = 0
х5 = 0
Имеем решение:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Если:
х3 = 2
х4 = 1
х5 = -2
Решение (3, 5, 2, 1, -2) и т.д.
Таких частных решений в данном случае можно построить бесконечное количество.
6. Построить матрицу, обратную к матрице
Припишем справа к исходной матрице единичную. В полученной расширенной матрице, левая часть есть исходная матрица, а правая единичная. Затем, производя элементарные операции над строками расширенной матрицы, будем приводить левую часть расширенной матрицы к единичной. По достижению указанной цели правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной.
1) Сформируем расширенную матрицу:
|
3 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|||
|
-2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
|
2 |
-1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
2. Разделим строку 1 на:
a1,1 = 3
Получим матрицу:
|
1 |
-1 3 |
0 |
1 3 |
0 |
0 |
||
|
-2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
|
2 |
-1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
3) Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1
Вычитаемая строка:
|
-2 2 3 0 -2 3 0 0 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
-1 3 |
0 |
1 3 |
0 |
0 |
||
|
0 |
1 3 |
1 |
2 3 |
1 |
0 |
||
|
2 |
-1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
4) Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на
a3,1 = 2
Вычитаемая строка:
|
2 -2 3 0 2 3 0 0 |
Модифицированная матрица:
|
1 |
?1 3 |
0 |
1 3 |
0 |
0 |
||
|
0 |
1 3 |
1 |
2 3 |
1 |
0 |
||
|
0 |
?1 3 |
4 |
?2 3 |
0 |
1 |
5) Разделим строку 2 на a2,2
Получим матрицу:
|
1 |
-1 3 |
0 |
1 3 |
0 |
0 |
||
|
0 |
1 |
3 |
2 |
3 |
0 |
||
|
0 |
-1 3 |
4 |
-2 3 |
0 |
1 |
6) Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2
|
-1 |
|
|
3 |
Вычитаемая строка:
|
0 |
-1 3 |
-1 |
-2 3 |
-1 |
0 |
||
Модифицированная матрица:
|
1 |
-1 3 |
0 |
1 3 |
0 |
0 |
||
|
0 |
1 |
3 |
2 |
3 |
0 |
||
|
0 |
0 |
5 |
0 |
1 |
1 |
Получим матрицу:
|
1 |
-1 3 |
0 |
1 3 |
0 |
0 |
||
|
0 |
1 |
3 |
2 |
3 |
0 |
||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 5 |
1 5 |
Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на:
a2,3=3
Вычитаемая строка:
|
0 |
0 |
3 |
0 |
3 5 |
3 5 |
||
Модифицированная матрица:
|
1 |
-1 3 |
0 |
1 3 |
0 |
0 |
||
|
0 |
1 |
0 |
2 |
12 5 |
-3 5 |
||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 5 |
1 5 |
9) Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2
Вычитаемая строка:
|
0 -1 3 0 -2 3 -4 5 1 5 |
Модифицированная матрица:
|
-1 |
|
|
3 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
4 5 |
-1 5 |
||
|
0 |
1 |
0 |
2 |
12 5 |
-3 5 |
||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 5 |
1 5 |
В последней расширенной матрице, левая часть есть единичная матрица, а правая обратная к исходной.
Ответ:
|
1 |
4 5 |
-1 5 |
|
|
2 |
12 5 |
-3 5 |
|
|
0 |
1 5 |
1 5 |
[A] -1
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Решение системы линейных уравнений методами Крамера, Гаусса (посредством преобразований, не изменяющих множество решений системы), матричным (нахождением обратной матрицы). Вероятность оценки события. Определение предельных вероятностей состояний системы.
контрольная работа [69,7 K], добавлен 26.02.2012Назначение и определение алгебраического дополнения элемента определителя. Особенности неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Определение размера матрицы. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины.
контрольная работа [320,1 K], добавлен 13.07.2009Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Примеры операций над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, две его составляющие: прямой и обратный ходы. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы.
контрольная работа [33,2 K], добавлен 05.02.2009
