Уравнения парной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Парная регрессия

Построение модели парной регрессия (или однофакторная модель) заключается в нахождении уравнения связи двух показателей у и х, т.е. определяется как повиляет изменение одного показателя на другой.

В задачах по эконометрике основным этапом является нахождение параметров модели и оценке их качества.

Уравнение модели парной регрессии можно записать в общем виде:

где у - зависимый показатель (результативный признак);

х - независимый, объясняющий фактор.

Линейные и нелинейные модели регрессии

Уравнение линейной регрессии:

у = а + bx

Уравнения нелинейной регрессии

полиномиальная функция

гиперболическая функция

степенная модель

показательная модель

экспоненциальная модель

2. Определение параметров в моделях парной регрессии

Нахождение модели парной регрессии в эконометрике сводится к оценке уравнения в целом и по параметрам (a, b). Для оценки параметров однофакторной линейной модели используют метод наименьших квадратов (МНК). В МНК получается, что сумма квадратов отклонений фактических значений показателя у от теоретических ух минимальна

Сущность нелинейных уравнений, которые находятся в том случае, если нет линейных моделей, заключается в приведении их к линейному виду и как при линейных уравнениях решается система относительно коэффициентов a и b.

Для нахождения коэффициентов a и b в уравнении модели парной регрессии можно использовать формулы.

3. Коэффициент детерминации

эконометрика парная регрессия детерминация корреляция

Коэффициент детерминации ( - R-квадрат) -- это доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью зависимости, то есть объясняющими переменными. Более точно -- это единица минус доля необъяснённой дисперсии (дисперсии случайной ошибки модели, или условной по факторам дисперсии зависимой переменной) в дисперсии зависимой переменной. Его рассматривают как универсальную меру связи одной случайной величины от множества других.

В частном случае линейной зависимости является квадратом так называемого множественного коэффициента корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными. В частности, для модели парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату обычного коэффициента корреляции между y и x.

Истинный коэффициент детерминации модели зависимости случайной величины y от факторов x определяется следующим образом:

где -- условная (по факторам x) дисперсия зависимой переменной (дисперсия случайной ошибки модели).

В данном определении используются истинные параметры, характеризующие распределение случайных величин. Если использовать выборочную оценку значений соответствующих дисперсий, то получим формулу для выборочного коэффициента детерминации (который обычно и подразумевается под коэффициентом детерминации):

где -сумма квадратов остатков регрессии, - фактические и расчетные значения объясняемой переменной.

- общая сумма квадратов.

В случае линейной регрессии с константой

где -- объяснённая сумма квадратов, поэтому получаем более простое определение в этом случае -- коэффициент детерминации -- это доля объяснённой суммы квадратов в общей:

Необходимо подчеркнуть, что эта формула справедлива только для модели с константой, в общем случае необходимо использовать предыдущую формулу.

Коэффициент парной корреляции -- это статистический показатель, характеризующий тесноту связи между двумя метрическими переменными. Коэффициент парной корреляции используют, чтобы проверить наличие или отсутствие линейной зависимости между переменными.

Коэффициент парной корреляции (р) определяется по формуле:

где х, у -- значения факторного и результативного показателей соответственно;

х, у -- средние значения соответствующих показателей;

у_X, у_Y - средние квадратические отклонения (стандартные отклонения показателей х и у);

n -- количество наблюдений в совокупности.

Значение коэффициента парной корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Знак «+» означает наличие прямой связи между показателями. Знак «-» -- наличие обратной связи. Значение коэффициента от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной зависимости между показателями и к функциональной. При р = 1 между показателями существует функциональная связь. При р = 0 линейная связь отсутствует.

В целях упрощения расчетов на практике применяются и другие формулы коэффициента парной корреляции, представляющие собой некоторые преобразования исходной формулы.

Размещено на Allbest.ru