Квадратичная форма и ее свойства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Квадратичная форма и ее свойства

2. Матрица квадратичной формы

3. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных

4. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду

5. Закон инерции квадратичных форм

6. Знакоопределенные квадратичные формы

Список использованной литературы

Введение

Курсовая работа посвящается некоторым вопросам теории неопределенных бинарных квадратичных форм. В работе приводятся предварительные общие сведения квадратичной формы и ее свойства.

Над теорией квадратичных форм работал не один математик, впервые она была развита французским математиком Лагранжем. Затем эта теория была значительно расширена Гауссом.

Целью моей курсовой работы является рассмотрение квадратичной формы и ее свойств, а также рассмотрение связанных с ней определений и преобразований.

Теоретическая часть

1. Квадратичная форма и ее свойства

Квадратичной формой над множеством называют однородный полином второй степени с коэффициентами из ;

(Полином (многочлен) называется однородным полиномом или формой степени (или порядка) m, если все его одночлены имеют степень m. Однородный полином первого, второго или третьего порядков называют также, соответственно, линейной, квадратичной или кубической формой.)

если переменные квадратичной формы обозначить , то общий вид квадратичной формы от этих переменных:

(1.1)

или f(x_1,x_2,…x_n) = ?_j=1 ? _k=1 a_jk x_j x_k, (1.2),

где a_jk = f_jk - некоторые числа, называемые коэффициентами.

Не ограничивая общности, можно считать, что a_{jk =} a_kj. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Квадратичная форма обладает следующими свойствами:

1) Для любой квадратичной формы А существует единственная симметричная билинейная форма B, такая, что A(x) = B(x, x). Билинейную форму B называют полярной к A.

(Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов, где есть векторное пространство над полем :

,

,

,

, здесь и )

Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

(Бамзис -- множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества -- базисных векторов.)

2) Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.

(Рангом матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг матрицы размера называют полным, если .)

3) Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x? 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знако-определёнными.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

(Минором k-го порядка матрицs M с строк и столбцов называется определитель k-го порядка, элементами которого являются элементы матрицы М, стоящих на пересечении k строк и k столбцов.

Минор, расположенный в первых k строках и k столбцах, называется угловым минором.)

4) Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

5) Квадратичная форма A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если , но форма не является знакоопределённой.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используется метод Лагранжа. Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Возможны два случая:

1. Пусть . Выделим в все слагаемые, содержащие

В последнем представлении первое слагаемое представляет собой квадрат линейной формы по переменным ; все оставшиеся слагаемые не зависят от , т.е. составляют квадратичную форму от переменных . Таким образом, исходная задача для формы переменных оказывается сведенной к случаю формы -й переменной; последняя преобразуется по аналогичному принципу.

2. Если , но , т.е. при хотя бы одном квадрате переменной коэффициент отличен от нуля. Алгоритм модифицируется таким образом, что выделение полного квадрата начинается с переменной вместо .

2. Матрица квадратичной формы

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1.1) соответствует единственная симметрическая матрица (Симметрической называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу что .)

(1.3), где a_ij=f_ij

И наоборот, всякой симметрической матрице (1.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. r = n, и вырожденной, если r< n, где r=rangA.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n, матрица называется квадратной, а число m = n - ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки.

Квадратичную форму (1.1) n переменных х₁, х₂,...,х_n можно записать в матричном виде. Действительно, если Х - матрица-столбец из переменных (x₁,x₂…,x_n), X^T - матрица, полученная транспонированием матрицы X, т.е. матрица-строка из тех же переменных, то f (x₁,x₂…,x_n)= X^TAX (1.4), где А определяется формулой (1.3).

3. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных

Рассмотрим квадратичную форму (1.1). Перейдем к новым переменным y₁, y₂….y_n по формулам

(1.5)

или в матричном виде X=BY (1.6), где

(1.7).

В квадратичной форме (1.1) вместо (x₁,x₂…,x_n) подставим их выражения через y₁, y₂….y_n определяемые формулами (1.5), получим квадратичную форму ц (y₁, y₂….y_n) n переменных с некоторой матрицей С. В этом случае говорят, что квадратичная форма f(x_1,x_2,…x_n) переводится в квадратичную форму ц (y₁, y₂….y_n) линейным однородным преобразованием (1.5). Линейное однородное преобразование (1.6) называется невырожденным, если det B?0, где det - определитель матрицы B.

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну форму в другую. Если f (x₁,x₂…,x_n) и ц (y₁, y₂….y_n) конгруэнтны, то будем писать f (x₁,x₂…,x_n) ~ ц (y₁, y₂….y_n). Свойства конгруэнтности квадратичных форм:

1. f (x₁,x₂…,x_n) ~ ц (y₁, y₂….y_n).

2. Если f (x₁,x₂…,x_n) ~ ц (y₁, y₂….y_n), ц (y₁, y₂….y_n)~ш(z₁, z₂…z_n), то f (x₁,x₂…,x_n) ~ ш(z₁, z₂…z_n)

Теорема 1. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с матрицей А линейным однородным преобразованием Х = ВУ переводится в квадратичную форму ц (y₁, y₂….y_n) с матрицей С=В^T АВ.

Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

4. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду

Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т.е.

(1.8).

Каноническая квадратичная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если | a_n | = 1 ( i= 1, 2, . . . , r), т. е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или --1.

Например, квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) = 6x²₁+4x²₃ - 3x²₄, для которой a₁₁ =6, a₂₂=0, a₃₃ = 4, a₄₄= -3, имеет канонический вид; квадратная форма f (x₁, x_2, x_3, x₄) = x²₁ - x²₃ + x²₄ является нормальной, так как a₁₁ =1, a₂₂=0, a₃₃ = - 1, a₄₄= 1.

Теорема 2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду

,

где y₁, y₂….y_n - новые переменные.

Некоторые из коэффициентов b_ij могут оказаться равными нулю; число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу r матрицы квадратичной формы ц.

Теорема 3. Любую действительную квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду

Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.

Пример 1.

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x² + 12xy + 8y² - 20 = 0.

Коэффициенты а₁₁ = 17, а₁₂ = 6, а₂₂ = 8. А = .

Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l² - 36 = 0

l² - 25l + 100 = 0 l₁ = 5, l₂ = 20.

Итого:  - каноническое уравнение эллипса.

5. Закон инерции квадратичных форм

Закон инерции квадратичных форм выражает:

Теорема 4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы f. Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 5. Две действительные квадратичные формы от n переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

матрица квадратичный переменный

Пусть k(x) = 3x₁₂ ? 2x₂x₁+ 3x₂₂-- квадратичная форма в пространстве R₂. И пусть e₁= (1, 0), e₂= (0, 1) -- базис в R₂.

Матрица A квадратичной формы в этом базисе имеет вид: Найдём канонический базис квадратичной формы -- собственный базис матрицы A и приведём её к диагональному виду:

Имеем: E₁, E₂ -- канонический базис квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы в этом базисе k(y) = 4y₁₂ + 2y₂₂. Числа 4, 2 -- канонические коэффициенты квадратичной формы. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2. Отрицательный индекс инерции квадратичной формы равен 0. Сигнатура квадратичной формы равна 2 ? 0 = 2. Ранг квадратичной формы равен 2.

6. Знакоопределенные квадратичные формы

Действительная квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) называется положительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов: f(x₁,x₂…,x_n)~ц(y₁,y₂….y_n), где

(1.9) ,

т.е. если ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Систему значений x₁,x₂…,x_n назовем нулевой, если x₁= х₂ = ... = x_n =0, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.

Теорема 6. Действительная квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных x₁, x₂…,x_n. Пусть дана квадратичная форма f(x₁,x₂…,x_n) с матрицей А = (а_у). Главными минорами квадратичной формы f называются миноры

,

т.е. миноры порядка 1, 2, ... , n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.

Теорема 7. Квадратичная форма f (x₁,x₂…,x_n) с действительной матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду:

ц (y₁, y₂….y_n)= -y²₁ - y²₂ -…- y²_n (1.10).

Теорема 8. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны.

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными. Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

Список использованной литературы

1) Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2003.

2) Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. - М.:Тетра Систем с, 1999- 640 с.

3) Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. - М.: Эксмо, 2006- 224 с.

4) Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задач. Ч.1. - М.: Высш. Шк., 2003.

5) Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. Пособие для вузов. - М.:Высш. шк.,1985.

6) Виноградов И.М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 1999.

7) Щипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. - Высш. шк., 2005.

8) В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: Наука, 1999.

9) И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 2000.

10) В.Л. Камынин, Н.В. Шолохов. Элементы теории групп. М.:МИФИ, 1997.

Размещено на Allbest.ru