Обработка результатов прямых измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

прямой косвенный величина измерение

Измерением какой-либо величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за эталон (единицу измерения). Все измерения можно разбить на два типа: прямые и косвенные.

Прямые - это такие измерения, при которых измеряется непосредственно интересующая нас физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.).

Косвенные- это такие измерения, при которых интересующая нас величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью. Например, определение скорости равномерного движения по измерениям пройденного пути промежутка времени, измерение плотности тела по измерениям массы и объема тела и т.д.

Общая черта измерений - невозможность получения истинного значения измеряемой величины, результат измерения всегда содержит какую-то ошибку (погрешность). Объясняется это как принципиально ограниченной точностью измерения, так и природой самих измеряемых объектов. Поэтому, чтобы указать, насколько полученный результат близок к истинному значению, вместе с полученным результатом указывают ошибку измерения.

Обработка результатов прямых измерений

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:

x1, x2, x3, ... xn. (2)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Дx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Дx (3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Дx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов - 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Дx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

(4)

где Дx - отклонение от величины истинного значения;

у - истинная среднеквадратичная ошибка;

у 2- дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Дx и двумя ординатами из точек Дx1 и Дx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Дx1,Дx2) .

Рис.16

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

(5)

где - n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению м измеряемой величины при n > ?.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина (6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n > ? S стремится к постоянному пределу у

у = lim S. (7)

n > ?

С увеличением у увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина(8)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины Результат записывается в виде:

, (9)

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 - 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n > ? переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом

Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Дx = · t. (10)

где Дx - абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;

- Размещено на http://www.allbest.ru/

среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице.

Из сказанного следует:

Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

При n > ? > 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение м, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей коэффициентов Стьюдента, в которой интервалы заданы в долях величины у, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

Результат каждого измерения запишите в таблицу.

Вычислите среднее значение из n измерений

= Размещено на http://www.allbest.ru/

У x i / n.

Найдите погрешность отдельного измерения

.

Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Дx 1)2, (Дx 2)2, ... , (Дx n)2.

Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Дx = · t.

Если величина погрешности результата измерения Дx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора д , то в качестве границы доверительного интервала возьмите

.

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

Окончательный результат запишите в виде

.

Оцените относительную погрешность результата измерений

Список литературы

1.Кассандров О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. - М.: Наука, 1970.

2.Сквайрс Дж. Практическая физика. - М.: Мир, 1971.

3.Яковлев Г.П., Алексеева З.З., Сушкевич А.А. Введение в статистические методы обработки результатов наблюдений. - Челябинск: ЧПИ, 1979.

4.Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975

Размещено на Allbest.ru