Определение статистических характеристик случайного процесса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение статистических характеристик случайного процесса

Цель работы: изучить и использовать на практике методы определения характеристик стационарного эргодического случайного процесса.

Задание

1. Для выданной преподавателем реализации стационарного эргодического случайного процесса рассчитать на ЭВМ оценки математического ожидания , дисперсии . Построить график оценки корреляционной функции . Получить рекуррентные соотношения для , и .

2. Аппроксимировать полученную оценку корреляционной функции аналитическим выражением.

3. Рассчитать соответствующую функцию спектральной плотности и построить ее график.

4. Вычислить частотную характеристику соответствующего формирующего фильтра, представить его системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши (в пространстве состояний), построить систему разностных уравнений, описывающих дискретный формирующий фильтр.

5. Реализовать дискретный формирующий фильтр на ЭВМ и получить нормальную случайную последовательность , аппроксимирующую рассматриваемый случайный процесс .

6. Составить отчет, в котором привести краткие теоретические сведения, результаты расчетов, графики.

Таблица исходных данных

-1.17288 -1.84613 -2.69492 -3.34578 -3.71542 -3.36350 -4.16560

-2.93190 -2.78681 -2.93298 -3.52160 -3.06554 -2.93394 -1.63243

-0.79907 0.36200 1.42916 2.06298 3.52772 3.68590 3.94992 3.64882 3.17686 2.04325 0.79586 -0.59725 -1.59988 -4.07685

-4.08786 -3.47254 -2.78790 -2.28821 -1.46486 -0.19790 0.53736

0.97727 1.18840 1.40375 1.91555 0.46871 0.15788 -0.28894

-1.59205 -1.83313 -3.35036 -3.14259 -4.67951 -3.63327 -2.39118

-1.70347 -0.72480 0.72337 -0.10252 -0.10284 -0.08123 0.15437

-0.64319 -0.83002 -0.60128 -0.30373 -0.76326 -1.58155 -1.95091

-2.36011 -2.38366 -2.99571 -1.90027 -0.51176 -0.14460 -0.98404

-1.80164 -1.29039 -1.82063 -2.34419 -1.38719 -1.58642 -1.92015

-1.32444 -0.23695 0.50541 1.06110 1.26078 1.50025 0.44668

0.26501 -0.41904 -0.29983 -0.48571 -1.76336 -3.00513 -3.17631

-3.63941 -3.31598 -2.47096 -1.49087 -0.11429 0.36978 0.07737

0.47384 0.90888 1.38605 0.67424 0.65666 -1.07883 -0.80744

-0.76167 -1.14071 -1.78483 -1.98222 -2.06958 -1.12332 -1.79600

-2.32049 -1.57929 -1.28920 -1.71630 -1.48126 -1.51350 -1.64059

-0.40841 0.26429 0.28520 0.00562 -1.05352 -1.74096 -2.38387

-2.88012 -2.00966 -0.67069 -0.99457 -0.61461 -0.93266 -1.00443

-1.33929 -0.28784 0.10029 -1.42919 -1.63179 -1.42190 -0.82640

-0.50067 -0.55023 -0.90845 -1.47080 -1.56301 -1.45469 -0.14986

0.88295 1.37931 1.36994 1.41127 0.44782 -0.14027 -0.42111

-1.29532 -2.52190 -2.40902 -2.63700 -3.37990 -3.68876 -3.21636

-2.41385 -2.87945 -3.03691 -2.03711 -0.94699 -0.93624 -1.21957

-1.50064 -0.18841 0.59445 1.22471 1.43617 1.07240 0.93172

0.68227 -0.60077 -1.56108 -2.31268 -1.65781 -2.36447 -2.63197

-3.06533 -3.26857 -3.37065 -2.14105 -1.71548 -0.90216 0.45150

1.56785 1.15701 1.52978 0.60187 1.14840 1.12119 0.97330

0.37941 -0.55130 -1.49818 -2.11352 -2.75022 -3.20262 -3.48930

-3.84833 -2.93161 -2.03439 -2.17245 -0.47798 -0.60537 -0.93763

-0.29402 1.24496 0.90738 0.54672 0.99259 0.37684 0.43315

1.00753 -0.53339 -0.84962 -1.05090 -1.94155 -1.87478 -1.94345

-3.49732 -2.87617 -1.47229 -0.93290 0.06288 -0.11249 -0.52524

-1.27018 -2.31872 -2.74084 -2.39092 -1.90522 -2.29269 -2.03151

-1.35869 -0.80671 -0.52231 -0.41164 -0.28682 -0.17406 -0.30411

0.43400 -0.56753 -0.83369 -1.30572 -1.34790 -3.13062 -1.31086

-0.36907 0.34139 0.45966 0.18571 -0.75344 -0.64338 -0.88216

-1.74550 -1.02600 0.09203 -0.04140 -0.67811 -1.52393 -2.20768

-1.18017 -2.19720 -2.70702 -3.29060 -3.62912 -3.04378 -1.50367

-0.05099 0.59347 2.00826 2.71187 3.85366 3.32682 3.16939

3.00740 2.70803 1.31287 0.28183 -1.41691 -2.63166 -2.60717

-2.67809 -3.66958 -3.65314 -3.12076 -3.09412 -2.89921 -2.51495

-1.57518 -1.22911 -0.52294 0.98655 0.12614 0.94159 0.52214

-0.15451 -0.45811 0.01079 -0.71990 -1.23751 -1.11721 -1.25445

-2.24063 -1.96793 -1.59784 -1.60501 -1.62264 -2.05151 -1.84310

-2.39025 -1.35185 -0.38220 0.60815 0.43713 -0.37652 -0.47563

-0.35400 -0.12689 0.19314 0.25465 0.61744 0.85171 0.88451

-0.64974 -1.44798 -1.81226 -2.54445 -2.38272 -2.09233 -2.16342

-1.25627 -1.24614 -1.09169 -1.05864 -1.95720 -0.73600 -1.88204

-2.22796 -1.89990 -1.32491 -1.57669 -0.72185 -0.05621 -0.83814

-1.83582 -2.55823 -2.71316 -1.60018 -0.96768 -0.02269 0.21891

0.20890 0.38976 0.78059 2.02202 2.43583 1.29147 0.05523

-0.28107 -1.73384 -2.15806 -3.87363 -4.68664 -5.46609 -5.01180

-3.70621 -3.46004 -2.40857 -1.63589 -0.85500 -0.89508 0.04056

-0.14968 0.02630 -0.39910 -0.49450 -1.70524 -2.62003 -2.37045

-2.13512 -1.63263 -1.45153 -1.88675 -2.02590 -1.93250 -1.47982

-0.79307 -0.14165 0.29284 0.24019 0.08951 -0.27073 -0.19028

-0.15632 -0.15785 -0.41864 -0.24102 -0.50714 -1.74262 -1.39525

-1.41952 -1.82345 -2.67646 -2.73177 -2.65859 -2.75071 -3.30738

-1.89745 -1.37920 -0.93415 -0.13421 0.90711 0.58128 0.04187

0.56347 0.02031 -0.44930 -0.12760 -0.48992 -0.96890 -0.38590

-0.85255 -1.32138 -1.61212 -2.49793 -2.30057 -2.60721 -2.82585

-2.49811 -2.00306 -1.82538 -1.53255 -1.18551 -1.22261 -1.03990

-1.82156 -2.23547 -1.42653 -1.19478 -0.84523 -0.44970 -0.77525

-0.49623 0.43113 1.87713 2.41909 3.56293 2.87248 1.83020

0.82347 -0.64773 -0.80618 -1.81425 -2.16152 -2.86549 -2.30905

-2.41890 -2.14354 -1.40014 -0.98449 -0.04831 0.00590 -0.26987

0.18856 0.76291 -0.46377 -0.61279 -1.78569 -3.94289 -3.80246

-4.07480 -3.70883 -3.26218 -3.22635 -2.08744 -0.38397 0.06053

0.20385 1.03156 0.68757 0.76559 1.01675 0.99305 0.24748

0.45789 0.29297 -0.24705 -1.00067 -1.89743 -1.67482 -1.49036

-2.44810 -2.35722 -2.41786

Реализация случайного процесса

случайный процесс математическое ожидание

По представленным исходным данным получен график реализации случайного процесса:

Построение гистограммы и эмпирической функции распределения.

Для построения гистограммы весь диапазон значений Х от минимального до максимального значения был разбит на 20 равных отрезков, для каждого из которых рассчитывалась частота попадания в него значения Х.

№	Интервал:	Кол-во точек, попавших в интервал:	Частота попадания в интервал:
1	[-2,514; - 2,269]	2	0,004
2	[-2.4; -2,024]	6	0,012
3	[-2.157; -1,78]	4	0,008
4	[-1.915; -1,535]	9	0,018
5	[-1.673; -1,291]	16	0,032
6	[-1.43; -1,046]	21	0,044
7	[-1.188; -0,801]	34	0,068
8	[-0.946; -0,557]	35	0,07
9	[-0.703; -0,312]	48	0,096
10	[-0.461; -0,068]	52	0,104
11	[-0.219; 0,177]	56	0,112
12	[0.024; 0,421]	47	0,094
13	[0.266; 0,666]	46	0,092
14	[0.508; 0,910]	37	0,074
15	[0.751; 1,155]	34	0,068
16	[0.993; 1.3]	17	0,034
17	[1.235; 1,644]	18	0,036
18	[1.478; 1,889]	8	0,016
19	[1.72; 2,134]	6	0,012
20	[1.962; 2,378]	3	0,006
		У = 500	У = 1

Гистограмма процесса.

Эмпирическая функция распределения процесса.

1.)

2.) n = 500

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X по критерию -Пирсона.

Для каждой выборки составим статистический ряд, где:

- количество точек, попавших в i-ый интервал;

- частота попадания точки в i-ый интервал;

- вероятность попадания в i-ый разряд, вычисленная по нормальному закону;

- объем выборки ().

1	2	0,004	0,005	2,415
2	2	0,004	0,01	4,904
3	4	0,008	0,018	9,113
4	13	0,026	0,031	15,503
5	22	0,044	0,048	24,14
6	29	0,058	0,069	34,41
7	43	0,086	0,09	44,899
8	56	0,112	0,107	53,627
9	64	0,128	0,117	58,633
10	49	0,098	0,117	58,682
11	55	0,11	0,108	53,762
12	49	0,098	0,09	45,087
13	43	0,086	0,069	34,612
14	29	0,058	0,049	24,323
15	18	0,036	0,031	15,646
16	7	0,014	0,018	9,213
17	2	0,004	0,01	4,966
18	4	0,008	0,005	2,45
19	3	0,006	0,002	1,106
20	5	0,01	0,001	0,457

Число ограничений для -распределения будет в нашем случае равно 3 по следующим причинам:

1) Оценка мат. ожидания приравнивается к самому мат. ожиданию;

2) Оценка дисперсии приравнивается к самой дисперсии;

3) Сумма частот равна 1.

Расчетная формула для попадания случайной величины в интервал по нормальному закону:

,

где - интеграл вероятности, а . Далее рассчитаем критерий по следующей формуле:

Число степеней свободы в нашем случае: . Обратившись к таблицам распределения -Пирсона при , обнаружим, что:

При =18.556 р = 9.96*10^-8

При критерии значимости равным 0.05 (0.05>9.96*10^-8) гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины Х можно принять.

Построение аппроксимирующей модели для оценки корреляционной функции.

Для того чтобы построить приближающую функцию для корреляционной функции, воспользуемся аппроксимацией. По виду графика (где ) нами для аппроксимации было выбрано следующее выражение для корреляционной функции:

.

Решалась задача нахождения коэффициентов. Для этого выбирался из метода наименьших квадратов критерий, в котором сумма квадратов расхождений между значениями аппроксимирующей кривой и значениями оценки корреляционной функции была бы наименьшей:

При этом - это количество точек, попавших в интервал [0;2.5]. В нашем случае . Такой интервал для аппроксимации был выбран потому, что на нем оценка корреляционной функции отвечает свойствам реальной корреляционной функции стационарного эргодического процесса (при ).

Минимизация выбранного критерия производилась с помощью программы безусловной многомерной оптимизации, написанной на языке Turbo Pascal 7.0.

При аппроксимации с помощью программы нами использовались следующие входные данные:

Коэффициенты:	Значения:
Точность вычислений е:	0.001
Коэффициент сжатия в:	0.5
Коэффициент растяжения г:	3
Коэффициент отражения б:	1
Коэффициент редукции:	0.5

При аппроксимации с использованием выражения были получены следующие результаты:

Таблица

Координаты начального многогранника:	х0i=() x01=(2.5;1;1;0.8) x02=(2.522;1.926;1.022;0.822) x03=(2.522;1.022;1.926;0.822) x04=(2.522;1.022;1.022;1.726) x05=(2.522;1.022;1.022;0.822)
Число итераций:	30
Полученные оптимальные значения:

В качестве аппроксимирующей модели корреляционной функции принято выражение:

График аппроксимирующей модели и корреляционной функции.

Проверка свойств корреляционной функции.

Аппроксимирующая кривая должна удовлетворять следующим свойствам корреляционной функции:

1) ;

2)

3)

Выбранное аппроксимирующее выражение:

.

1). Очевидно, что первое свойство для такого выражения всегда будет выполняться, так как переменная в этом выражении находится только под знаком модуля и входит в качестве аргумента в четную функцию , а потому значение от знака не зависит.

2). Для проверки второго свойства вычислим производную функцию от корреляционной функции при . Т.к. , то .

Подставим в полученное выражение

:

Получили

,

следовательно - второе свойство выполняется.

3). Третье свойство проверим прямым вычислением интеграла:

Для полученных коэффициентов:

Таким образом, все 3 свойства для выбранного аппроксимирующего выражения выполняются и, следовательно, найденное выражение может быть принято нами в качестве аналитического выражения для корреляционной функции.

Построение аналитического выражения для спектральной плотности

Соотношение для нахождения спектральной плотности:



Полученное выражение:

представляет собой дробно-рациональную функцию вида , где - полиномы, причем степень полинома меньше степени полинома .

Построение формирующего фильтра

Формирующий фильтр - это динамическая система, которая из белого шума V(t) формирует процесс X(t) с заданными статистическими характеристиками. Частотная характеристика формирующего фильтра:

,

где - спектральная плотность входного белого шума (в нашем случае примем ), - заданная спектральная плотность процесса .

Для определения искомой частотной характеристики формирующего фильтра можно разложить нашу найденную спектральную плотность на 2 комплексно-сопряженных сомножителя:

и выделить тот из них, который содержит нули и полюса в левой полуплоскости (или в верхней полуплоскости ), т.е. . Чтобы добиться такого разложения необходимо найти корни числителя и знаменателя функции , получить частотную характеристику формирующего фильтра и привести ее к виду:



В нашем случае:

Таким образом:

Теперь выделим из полученного соотношения коэффициенты для системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши:

Дифференциальные уравнения будут иметь вид:



Иначе:

Интегрируя полученное выражение, получим:

Учитывая полученное выражение для , запишем соотношение для :

Теперь перейдем к дискретной модели формирующего фильтра, для чего дискретизируем время с интервалом дискретности :

Рекуррентные формулы для вычисления (нач. условия ):



,

где - последовательность центрированных независимых случайных величин с одинаковыми дисперсиями:

; .

Таким образом, является дискретным аналогом белого шума .

Заданные характеристики новой выборки: .

При генерации последовательности мы использовали датчик равномерно распределенных случайных чисел программного пакета MathCAD, с помощью которого получали 12 случайных равномерно распределенных чисел в интервале [0;1], затем складывали их, вычитали из полученной суммы 6 и умножали на . В результате такой операции получалось псевдослучайное число, распределенное по нормальному закону, с мат. ожиданием равным 0 и дисперсией . Всего таких чисел было получено .

Таким образом, с помощью формирующего фильтра была получена нормальная случайная выборка. Затем были найдены оценки статистических характеристик новой выборки (оценки мат. ожидания и дисперсии), а также построена оценка корреляционной функции.



Полученные результаты:

Стат. характеристика:	Исходная выборка:	Нормальная выборка, полученная с помощью ф.ф.:
	-0.989	-0.994
	2.489	2.153

Исходный процесс и процесс, полученный с помощью формирующего фильтра (X - исходный, x - полученный с помощью ф.ф.)

Размещено на Allbest.ru