Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби. Это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:

,

где - многочлен-частное (целая часть) дроби ; - остаток (многочлен степени ).

Интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1) ,	2) ,
3) ,	4) .

Здесь, , , , , - действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, т.е. .

1) Простейшие дроби первого типа интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

1) .

2) Дроби второго типа интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

.

3) Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

.

4) При интегрировании простейшей рациональной дроби четвертого типа сделаем замену переменной, положив . Откуда и :

,

где .

Тогда

.

Вычислим интеграл :

.

Для вычисления интеграла , представим его в виде

Замечая, что , получаем

.

Вычисление интеграла осуществляется с помощью метода интегрирования по частям:



Подставляя найденное выражение, имеем

.

Данная формула является рекуррентной.

Зная табличный интеграл

,

находятся интегралы , .

Действительно, при имеем

.

Правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:



,

где , , , , , , , , , , , , , , - некоторые действительные числа.

Согласно данному разложению, линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби первого и второго типов, а квадратным множителям - третьего и четвертого типов. При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби. Формула разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби остается справедливой для любого конечного числа линейных и квадратных множителей, входящих в разложение знаменателя .

Чтобы найти коэффициенты разложения, чаще всего используется метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем.

1. Раскладываем правильную рациональную дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

2. Простейшие дроби приводим к общему знаменателю .

3. Многочлен, получившийся в числителе, приравниваем к многочлену .

4. Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов были равны. Учитывая это, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества. Имеем систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов ,, …, , , , …, , , , …, , .

Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях , можно дать переменной несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов). Тогда получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Этот метод удобно применять в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда последовательно полагают равным каждому из корней знаменателя.

Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т.е. придавать ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях .

Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить действия:

1) если рассматриваемая рациональная дробь - неправильная (),то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

,

где ; - многочлен.;

2) если рассматриваемая рациональная дробь - правильная (), то необходимо представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.

Интегралы вида (,,, , … - целые числа). В данных интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от . Они вычисляются подстановкой , где - общий знаменатель дробей , , …. При такой замене переменной все отношения , , … являются целыми числами, т.е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной :

.

Интегралы вида (,,, , … - целые числа). Данные интегралы подстановкой

,

где - общий знаменатель дробей , , …, сводятся к рациональной функции от переменной .

Интегралы вида , , .

1) Для вычисления интеграла выделяется полный квадрат под знаком радикала:



и применяется подстановка

, .

В результате этот интеграл сводится к табличному: .

2) В числителе интеграла выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

,

где - вычисленный выше интеграл.

3) Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла подстановкой:

, .

Интегралы вида . Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата и замены переменной можно представить в виде . Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

, , .

Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно и .

Если дискриминант трехчлена отрицательный, то используется первая подстановка Эйлера

.

Если дискриминант трехчлена положительный и , то используется вторая подстановка Эйлера

.

Интегралы вида (,,, , ). , , ), называются интегралами от дифференциального бинома . Эти интегралы выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) если , то используется подстановка

,

где - общий знаменатель дробей и ;

2) если , то используется подстановка

,

где - знаменатель дроби ;

3) если , то используется подстановка

,

где - знаменатель дроби .

Во всех остальных случаях, как было показано П.Л. Чебышевым, интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции.

Интегрирование тригонометрических функций. Через обозначается рациональная функция относительно т.е. выражение, которое получено из любых величин , а также действительных чисел с помощью четырех арифметических действий.

Для вычисления интегралов вида существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке . Этой подстановкой интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной , который, всегда выражается в элементарных функциях.

Пусть . Тогда выражения для , и через :

,

,

, .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо , и их значения, выраженные через переменную , имеем

.

Подынтегральная функция рациональна относительно .

С помощью универсальной подстановки удобно вычислять интегралы вида

.

Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы вида , однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Поэтому в ряде случаев более удобно использовать частные подстановки.

А) Если подынтегральная функция нечетна относительно :

,

то применяется подстановка .

Б) Если подынтегральная функция нечетна относительно :

,

то используют подстановку .

В) Если подынтегральная функция четна относительно и :

,

то применяется подстановка .

Интегралы вида (, , ). Если хотя бы одно из чисел или - нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу.

Если же и - четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

, , .

Интегралы вида , (, ). Данные интегралы вычисляются подстановками и соответственно.

Если , то , . Тогда

.

Последний интеграл при является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если , то , , откуда

.

Интегралы вида , , (). Данные интегралы вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

,

,

.

Интегралы вида . Интегралы данного вида сводятся к интегралам от рациональных функций подстановкой . При этом , .

Интегралы вида (, ). Если хотя бы одно из чисел или - нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу.

Если же и - четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью формул:

, , .

Определенный интеграл и его свойства. Пусть функция определена и ограничена на отрезке , . И пусть - разбиение отрезка на частичных отрезков , , точками .:

.

Тогда - длина частичного отрезка , . На каждом таком отрезке произвольным образом выберем точку и составим сумму

.

Сумма

 (1)

называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке соответствующей данному разбиению отрезка и выбору промежуточных точек , .

Пусть - длина наибольшего частичного отрезка разбиения : , называемая диаметром разбиения.

Функция называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману), если существует такое число , что для любой последовательности разбиений отрезка на частичные отрезки , , диаметр которых стремится к нулю при и при любом выборе точек , , существует предел интегральных сумм (1) и он равен :

(2)

Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке .

Обозначается:

, т.е. .

При этом называется подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, - переменной интегрирования, и - соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Класс всех функций , интегрируемых по Риману на отрезке , обозначается .

Определение интеграла Римана на языке - формулируется следующим образом.

Число называется определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке , если для любого существует такое , что каково бы ни было разбиение отрезка на частичные отрезки , , диаметр которого , и каковы бы ни были точки , , выполняется неравенство

.

Интегральная сумма не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент данной функции. Следовательно, и ее предел, т.е. определенный интеграл, не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

Обозначение определенного интеграла похоже на обозначение неопределенного интеграла от той же функции . Как будет показано позднее, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению неопределенного интеграла от той же подынтегральной функции. Однако между определенным и неопределенным интегралами имеется существенное различие: определенный интеграл от функции на отрезке есть некоторое число, в то время как неопределенный интеграл представляет собой множество всех первообразных функций данной функции на отрезке .

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости). Если существует, то функция ограничена на отрезке .

Пусть функция определена на отрезке , . Для произвольного разбиения отрезка обозначим и .

Нижней суммой Дарбу, соответствующей разбиению называется сумма

.

Верхней суммой Дарбу, соответствующей разбиению называется сумма

.

В случае, когда функция ограничена, то нижние и верхние грани конечны. Поэтому суммы Дарбу и при любом разбиении принимают конечные значения. Далее будем рассматривать только ограниченные функции .

Нижним интегралом функции называется верхняя грань возможных ее нижних сумм Дарбу :

.

Верхним интегралом функции называется верхняя грань возможных ее верхних сумм Дарбу :

.

Очевидно, что .

Теорема 2 (Критерий Дарбу). Для того чтобы функция , ограниченная на некотором отрезке , была интегрируема по Риману на нем, необходимо и достаточно, чтобы суммы Дарбу удовлетворяли условию

.

Следствия. 1. Для того чтобы ограниченная на отрезке функция была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы

,

где - колебание функции на частичном отрезке разбиения , .

2. Если функция была интегрируема по Риману на отрезке и , - ее суммы Дарбу, то

.

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует .

Теорема 4. Функция , монотонная на отрезке , то интегрируема на этом отрезке.

Основные свойства определенного интеграла

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю:

тестирование интегральный функция переменная

.

2. Если, то .

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на функций , , …, равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

.

Совокупность свойств 4 и 5 называются свойством линейности: если и интегрируемы на , то любая их линейная комбинация , , , также интегрируема на :

.

6 (аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы и , то существует также интеграл и для любых чисел , ,

.

Геометрический смысл свойства 6 состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями и .

7 (интегрирование неравенств). Если , то , .

8 (монотонность определенного интеграла). Если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству , то

, .

Так как , то

.

Отсюда .

Терема 5 (о среднем). Пусть

1) функции и интегрируемы на отрезке ,

2) для любого справедливо неравенство ,

3) функция не меняет знак на .

Тогда существует такое число , , что

.

Следствие 1. Если и - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции , непрерывной на отрезке , то

.

Следствие 2. Если функция непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что

.

Число , называется интегральным средним значением функции на отрезке .

Геометрически данное следствие означает, что, определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке отрезка интегрирования и длины этого отрезка.

Если в определенном интеграле оставить постоянным нижний предел интегрирования , а верхний изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться.

Интеграл вида

, ,

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела .

Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой , а верхний предел интегрирования - буквой .

Интеграл вида

, ,

называется определенным интегралом с переменным нижним пределом и является функцией нижнего предела .

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке , то функции и непрерывны на .

> Возьмем любую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Тогда

.

Используя свойство аддитивности определенного интеграла, имеем

.

Применяя теорему о среднем, получаем

,

где .

Переходя к пределу при , имеем

.

Значит, функция непрерывна.

Аналогично доказывается непрерывность функции . <

Теорема 6. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в точке , то функция дифференцируема в этой точке и .

Отсюда следует, что функция также имеет производную в точке и

.

Если функция непрерывна во всех отрезка точках некоторого промежутка , то на этом промежутке у нее существует первообразная. При этом для любой точки функция является одной из первообразных функций на промежутке .

Совокупность всех первообразных непрерывной на некотором промежутке функции представляет собой неопределенный интеграл , . Определенный интеграл , , , является одной из первообразных функции на .

Поэтому

.

Таким образом, установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.

Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке и - какая-нибудь первообразная на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

.

Формула Ньютона - Лейбница называется основной формулой интегрального исчисления. Иногда ее удобно записывать в виде:

Формула Ньютона - Лейбница позволяет избавиться от вычисления определенных интегралов как пределов интегральных сумм. Поэтому задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла.

Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем и , , то справедлива формула замены переменной

.

При вычислении интеграла методом замены переменной одновременно с преобразованием подынтегрального выражения изменяются соответственно и пределы интегрирования.

Итак, для вычисления определенного интеграла по этой формуле необходимо:

- сделать замену ,

- вычислить , где - некоторая непрерывно дифференцируемая функция,

- найти пределы интегрирования по , решив уравнения и .

Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке . Тогда справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Геометрические приложения определенного интеграла

1. Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат.

Если функция неотрицательна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции

вычисляется по формуле .

В параметрическом виде. Если криволинейная трапеция ограничена линией, заданной уравнениями в параметрической форме , , где , осью Ох и прямыми , , причем , , то ее площадь при вычисляется по формуле

,

которая получается заменой переменной , , . Пределы , определяют из уравнений , .

В полярной системе координат. Пусть фигура, ограниченная линией , заданной в полярной системе координат уравнением , .

Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная линией и радиусами-векторами , . При этом криволинейный сектор является правильной фигурой, если любой луч , , исходящий из полюса , пересекает линию не более чем в одной точке. И пусть функция непрерывна на отрезке . Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

.

2. Длина дуги плоской кривой в декартовой системе координат. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и кривая - график этой функции. Требуется найти длину дуги плоской кривой , заключенной между вертикальными прямыми и .

Если функция . на отрезке имеет непрерывную производную , то кривая - спрямляемая, и ее длина вычисляется по формуле

.

В параметрическом виде. Пусть уравнение кривой задано параметрическими уравнениями

, ,

где , , - непрерывные функции с непрерывными производными, причем .

Для вычисления длины дуги кривой воспользуемся формулой , предварительно выполнив замену переменной: . Тогда и .

Подставляя в формулу дины дуги, получим:

Или

.

Если пространственная кривая задана параметрическими уравнениями , , , где , , - непрерывные функции, имеющие непрерывные производные на отрезке , то длина дуги этой кривой определяется по формуле

.

В полярной системе координат. Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением . Предположим, что и непрерывны на отрезке .

Декартовы и полярные координаты связаны соотношениями:

Учитывая, что , получаем

, .

Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой.

Найдем производные от и по параметру :

Отсюда

Следовательно, .

3. Площадь поверхности вращения в декартовой системе координат

Пусть функция не отрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке . Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси , имеет площадь , которая может быть вычислена по формуле:

.

В параметрическом виде. Пусть поверхность получается вращением вокруг оси кривой , заданной параметрическими уравнениями

,

,

где , , - непрерывные функции с непрерывными производными, причем , при , , .

Тогда, производя в интеграле для площади поверхности вращения переменной замену переменной , получаем

В полярных координатах. Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах уравнением , , где имеет непрерывную производную на .

Тогда, учитывая формулы

, ,

Получаем

.

4. Вычисление объемов тел по известным поперечным сечениям. Пусть дано тело , ограниченное замкнутой поверхностью. И пусть известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс. Эти сечения называются поперечными. Положение поперечного сечения определяется абсциссой точки его пересечения с осью .

С изменением площадь поперечного сечения изменяется, т.е. является некоторой функцией от . Обозначим ее . Функцию будем считать непрерывной на отрезке , где и - абсциссы крайних сечений тела .

Объем тела, заключенного между двумя плоскостями и , в случае, если площадь сечения, проведенная перпендикулярно к оси Ох, есть известная функция от : , вычисляется по формуле

.

5. Вычисление объемов тел вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной кривой , осью Ох и прямыми , .

Если пересечь это тело плоскостями, перпендикулярными к оси Ох, получим круги, радиусы которых равны модулю ординат точек данной кривой. Следовательно, площадь сечения рассматриваемого тела

.

Применяя формулу , получаем формулу для вычисления объема тела вращения

.

Если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, то его объем вычисляется по формуле

,

где , , - уравнение кривой .

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами , , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения вычисляется по формуле

.

Физические приложения определенного интеграла

1 Работа переменной силы. Пусть материальная точка движется по прямой линии под действием некоторой переменной силы . Работа переменной силы на прямолинейном пути от точки до точки выражается формулой

..

2 Работа электродвигателя переменной мощности. Пусть мощность электродвигателя в момент времени равна . Работа, совершенная двигателем за промежуток времени выражается формулой

.

Статическим моментом материальной точки , в которой сосредоточена масса , относительно оси (оси ) называется величина, численно равная произведению массы этой точки и расстояния до оси (оси ):

 ().

Моментом инерции материальной точки в которой сосредоточена масса , относительно оси (оси , точки ) называется величина, численно равная произведению массы этой точки и квадрата расстояния до оси (оси , точки ):

, , .

Если дана система материальных точек , , …, , в которых сосредоточены массы , , …, , то статические моменты находятся по формулам:

, ,

а моменты инерции - по формулам:

, , .

Центром масс системы материальных точек называется точка, обладающая тем свойством, что если в ней сосредоточить всю массу системы, то статический момент этой точки относительно любой ее оси равен статическому моменту данной системы материальных точек относительно той же оси.

Поэтому, обозначая центр масс системы , получаем:

, .

Таким образом, координаты центра масс системы материальных точек вычисляются по следующим формулам:

, .

Пусть требуется вычислить статические моменты, моменты инерции и координаты центра масс однородной плоской материальной линии или плоской материальной фигуры с известной плотностью распределения масс. Линия (фигура) называется однородной, если на всей линии (фигуре). Если при этом , то масса линии (фигуры) численно равна длине линии (площади фигуры). Для вычисления , , , , , , эту линию (фигуру) разбивают произвольным образом на частей, что достигается разбиением отрезка оси , на который проектируется плоская линия или плоская фигура . На каждой части выбирают точку , , и сосредотачивают массу -й части линии (фигуры) в точках . Так как линия (фигура) однородна, то масса -й части линии , где - длина -го участка линии. Масса -й части однородной фигуры , где - площадь -й частиц фигуры .

Далее рассматривают материальную линию (фигуру ) как фиктивную систему материальных точек , , с массами . Тогда искомые величины , , , , , , , приближенно равны соответствующим величинам рассматриваемой фиктивной системы материальных точек . Точное значение искомых величин определяется как предел соответствующего приближенного значения при . Отсюда следует, что рассмотренный алгоритм вычисления статических моментов, моментов инерции и координат центра масс материальной кривой (фигуры) приводит к составлению интегральных сумм, а предельный переход при стремлении - к определенному интегралу.

Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра масс плоской линии осуществляется по формулам

,

,

, , ,

, .

Полученные формулы справедливы и для любой неоднородной () материальной линии . Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра масс плоской фигуры вычисляются по формулам

,

, ,

, , ,

, .

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода). Пусть функция непрерывна на промежутке . Тогда она будет непрерывной на любом конечном отрезке , . Для функции непрерывной на , существует определенный интеграл , зависящий от верхнего предела интегрирования:

.

Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и осью абсцисс. Будем неограниченно увеличивать верхний предел интегрирования (). При этом возможны два случая: либо при имеет предел, либо не имеет.

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования, от непрерывной функции на промежутке называется предел при :

.

Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то - расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции на промежутке .

Несобственным интегралом с бесконечным нижним пределом интегрирования, от непрерывной функции на промежутке называется предел при :

.

Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то - расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции на промежутке , обозначаемый , предварительно представляют в виде

, .

Тогда по определению

.

причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Интегралы , , называются также несобственными интегралами первого рода.

Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для двух других сходящихся несобственных интегралов.

2 Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго рода). Пусть функция определена на промежутке и неограничена в левосторонней окрестности точки ( - точка бесконечного разрыва), т.е. . Будем считать, что функция интегрируема на отрезке для любого : существует интеграл , зависящий от переменного верхнего предела интегрирования.

Несобственным интегралом от функции непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке (или несобственным интегралом второго рода) называется предел интеграла при :

, .

Аналогично если функция имеет бесконечный разрыв в точке .

Несобственным интегралом второго рода от функции непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке называется предел интеграла при :

, .

Если же функция имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке отрезка , то, пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла, данный интеграл необходимо представить в виде суммы двух интегралов:

.

Если пределы в правых частях формул существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках , и называются сходящимися, в противном случае - расходящимися.

В силу свойств предела функции и определения несобственного интеграла как предела функции, являющейся интегралом Римана с переменным пределом интегрирования, многие свойства определенного интеграла предельным переходом переносятся на несобственные интегралы.

Для простоты будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале и интегрируемых по Риману на любом отрезке , .

1. Формула Ньютона-Лейбница: если функция непрерывна на промежутке и - какая-либо ее первообразная, то

.

2. Линейность интеграла: если несобственные интегралы и сходятся, то для любых чисел и несобственный интеграл также сходится и

.

3. Интегрирование неравенств: если несобственные интегралы и сходятся и для всех выполняется неравенство , то

.

4. Правило замены переменного: если функция непрерывна на промежутке , функция непрерывно дифференцируема на промежутке , , и выполняются условия , , , то

.

5 Правило интегрирования по частям.

Пусть и непрерывны на промежутке , а их производные и кусочно-непрерывны на любом отрезке , . Тогда

.

Теорема 1 (критерий Коши). Несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого существует такое , что для всех и , удовлетворяющих условию , , выполняется неравенство .

4. Признаки сравнения несобственных интегралов. Будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале и интегрируемых по Риману на любом отрезке , (несобственный интеграл 1-го или 2-го рода)

Признак сравнения. Пусть на промежутке определены две неотрицательные функции и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , , причем справедливо . Тогда

1) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ,

2) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Предельный признак сравнения. Пусть на промежутке определены две неотрицательные функции и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , , причем , и существует конечный предел

.

Тогда

1) если интеграл сходится и , то интеграл сходится,

2) если интеграл расходится и , то интеграл расходится,

3) если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он сходится. Обратное верно не всегда.

Признак Дирихле. Пусть на полуоси

1)функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную,

2)функция непрерывно дифференцируема и .

Тогда интеграл сходится.

Признак Абеля. Пусть на полуоси

1)функция непрерывна и интеграл сходится,

2)функция непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна.

Тогда интеграл сходится.

4.2 Вариант заданий открытого типа по теоретическому материалу

Приведём примеры заданий открытой формы (на дополнение) по теоретическому материалу. Ответы на данные вопросы приведены в скобках курсивом.

Впишите недостающее слово вместо прочерка:

1. Отыскание функции F(x) по известному её дифференциалу dF(x)=f(x)dx [или по известной её производной F'(x)=f(x)], называется ________________________

(Интегрированием)

2. Общее выражение F(x)+С совокупности всех первообразных от функции f(x) называется ________________________.

(Неопределённым интегралом)

3. Формулу , где - первообразная для функции называют ________________________.

(Формулой интегрирования заменой переменного)

4. Формула называется ______________________.

(Формулой интегрирования по частям)

5. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ________________________.

(Ограничена)

6. Если существует конечный , то этот предел называют ______________________ от функции f(x) на промежутке [а,+?) и обозначают .

(Несобственным интегралом)

7. Несобственный интеграл называется _______________, если сходится интеграл .

(Абсолютно сходящимся)

8. Несобственный интеграл называется ____________, если интеграл - сходится, а - расходится.

(Условно сходящимся)

Задания на дополнение с ограниченным ответом имеют следующие особенности:

· Каждое тестовое задание нацелено, как правило, только на один ответ (или одно дополнение), место которого обозначено точками или прочерком;

· Все прочерки в открытых заданиях делают обычно одинаковой длины, чтобы исключить возможность угадывания;

· Дополнения чаще всего ставят в конце задания или как можно ближе к концу;

· Прочерк ставят на месте ключевого элемента, знание которого является наиболее существенным для контролируемого материала.

4.3 Варианты заданий открытого типа

В приведенных ниже тестах открытого типа в левой колонке приведены задания для студентов, в правой колонке - ответы с которыми преподаватель должен сравнить полученный результат..



4.4 Задания закрытого типа



Итоговый тест по "Интегральному исчислению функций одной переменной"

Итоговый тест по "Интегральному исчислению функций одной переменной"

Заключение

В данной дипломной работе даны ответы на вопросы: что такое тест, какие бывают тесты, каковы особенности тестов по математике, как готовить и проверить тестирование. Создание тестов - длительный процесс, требующий работы коллектива специалистов (методистов, психологов, статистов и т.д.), и в то же время востребованность тестов, разработанных преподавателями-практиками для отдельно взятой группы достаточно высока. В дипломной работе осуществлена попытка разработать тесты по теме "Интегральное исчисление функции действительной переменной". В работе приведены тесты открытого и закрытого типа. Данные тесты могут быть использованы при проведении рубежного и итогового контроля знаний студентов.

Список используемых источников

Аванесов В. С. Композиция тестовых заданий. М.: Адепт, 1998.

Аванесов В.С. Научные проблемы тестового контроля знаний. М.: Учеб. центр при исслед. центре проблем качества подгот. специалистов, 1994.136 с.

Гуцанович С.А., Радьков А.М. Тестирование в обучении математике: диагностико-дидактические основы. Могилев: МГПИ им. А.А.Кулешова, 1995.203с.

Дидактические тесты: технология проектирования: Метод, пособие для разработчиков тестов / Е.В. Кравец, А.М. Радьков, Т.В. Столярова, Б.Д. Чеботаревский; Под общ. ред. А.М. Радькова. Мн.: РИВШ, 2004. 87 с.

Майоров А.Н. Теория и практика создания тестов для системы образования. (Как выбирать, создавать и использовать тесты для целей образования). М.: Интеллект-центр, 2001.296 с.

Радьков А.М., Кравец Е.В., Чеботаревский Б.Д. Разработка дидактических тестовых заданий: Метод, рек. Могилев: МГУ им. А.А. Кулешева, 2003.16 с.

Радьков А.М., Кравец Е.В. Тестовые технологии в системе непрерывного образования: Метод, пособие. Могилев: МГУ им. А.А.Кулешова, 2001.52 с.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. Москва: "Высшая школа", 1980

Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов: Учеб. пособие. М.: Логос, 2002.432 с.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. Москва: "Наука", главная редакция физико-математической литературы, 1988

Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. Минск: Издательство "Вышэйшая школа", 1967

Размещено на Allbest.ru