Проекционные методы приближения функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Факультет математики и информатики

Кафедра теории функций, функционального анализа

И прикладной математики

Дипломная работа

Проекционные методы приближения функций

студентки 5 курса специальности 1-31 03 01-02 «Математика»

дневной формы обучения

СЫЧКОВА АЛЕСЯ ИГОРЕВНА

Заведующий кафедрой Мисюк Виктор Романович

Гродно 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

1.1 Проекционный метод Галеркина

1.2 Метод коллокаций

1.3 Метод наименьших квадратов

2. Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 методом Галеркина и методом коллокации

2.1 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1при k=2 методом Галеркина с граничными условиями

2.2 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1при n=2 методом коллокаций с граничными условиями

2.3 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 при к=2 методом Галеркина с граничными условиями

2.4 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1при n=2 методом коллокаций с граничными условиями

2.5 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 методом Галеркина и методом коллокации в конкретных точках. Оценка погрешностей приближенного решения относительно точного

3 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом коллокации, методом Галеркина, методом наименьших квадратов с граничными условиями

3.1 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом коллокаций с граничными условиями

3.2 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом наименьших квадратов с граничными условиями

3.3 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом Галеркина с граничными условиями

3.4 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом коллокации, методом наименьших квадратов, методом Галеркина с граничными условиями , в конкретных точках. Оценка погрешностей приближенного решения относительно точного

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты

Практическое применение полученных результатов

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

В данной дипломной работе будем рассматривать краевую задачу

С граничными условиями

Обыкновенные дифференциальные уравнения являются важным математическим аппаратом, широко применяемым для решения различных научных и технических задач. Особенно эффективными оказались приближенные методы, которые формировались и совершенствовались под непосредственным влиянием практики.

Истоки возникновения численных методов и дальнейшее их развитие связаны с важными прикладными задачами механики, астрономии, баллистики, физики и других наук.

Сущность проекционного метода состоит в разложении решения по базису некоторых функций (проекций). Базис выбирается в зависимости от метода решения краевой задачи и его граничных условий.

После выбора базисных функций разложение подставляется в исходное уравнение, и получается система для расчета неизвестных коэффициентов ( проекций ). В нашем случае это линейная алгебраическая система.

Недостатки проекционных методов:

1. Характер полученного решения в определенной степени определяется характером базисных функций.

2. Необходимость решения больших систем алгебраических уравнений.

Преимущества проекционных методов:

1. Решение находится сразу во всей области изменения независимой переменной, а не в отдельных точках.

2. Погрешность расчета одинакова во всем диапазоне изменения независимой переменной ( отсутствует экспоненциальный рост погрешности, характерный для методов решения задачи Коши).

3. С помощью проекционных методов мы можем найти решения тех краевых задач, которые не имеют точного решения.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель и задачи исследования

Основные задачи исследования заключаются в следующем:

1) Применить метод коллокации для решения краевой задачи с различными граничными условиями;

2) Оценить погрешность применения метода коллокации относительно точного решения в конкретных точках;

3) Применить метод Галеркина для решения краевой задачи с различными граничными условиями;

4) Оценить погрешность применения метода Галеркина относительно точного решения в конкретных точках;

5) Применить метод наименьших квадратов для решения краевой задачи;

6) Оценить погрешность применения метода наименьших квадратов относительно точного решения в конкретных точках;

7) Найти проекционный метод, который дает наименьшую погрешность, то есть более точное решение.

Положения выносимые на защиту

Применены проекционные методы для решения краевых задач с различными граничными условиями. Решены задачи и посчитаны погрешности приближенных решений в конкретных точках. Сделаны выводы какой из проекционных методов является наиболее оптимальным для решения краевой задачи.

ГЛАВА 1. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

1.1 Проекционный метод Галеркина.

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

(1.1)

(1.2)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

(1.3)

где - некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (1.2), а  - какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям

(1.4)

и, кроме того функции при  образуют в классе функций c2[a, b], удовлетворяющих условиям (1.4), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c2[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (1.4). Говорят, что система функций  полна в классе G, если для любого  и любой функции можно указать такое n и такие параметры , что имеет место неравенство

где

Это означает, что для любой допустимой функции  найдется такая функция, которая на [a, b] будет сколь угодно точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными y'(x) и y''(x).

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций  выполняется соотношение ортогональности

(1.5)

то функция . Для этого из полной системы  последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему :

причем , иначе  были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем

.

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (1.5), придем к равенству

(1.6)

Вычислим последний интеграл:

так как

Таким образом, уравнение (1.6) принимает вид

Полагая здесь k=1, получим , и так как , то . Полагая k=2, получим , и так далее. Следовательно, все коэффициенты  в разложении функции F(x) равны нулю и поэтому F(x) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (1.1), (1.2), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (1.2), и чтобы было ортогонально  при любых , то это означало бы, что , и задача (1.1), (1.2) была бы решена. Если же ортогональность есть только при , то в разложении по системе входят  и более старшие коэффициенты, то есть .

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (1.1), (1.2) ищется в виде (1.3), причем требуют ортогональности  к функциям полной системы  для k=1,2,…,n , то есть

(1.7)

где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов ak. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор L(U) нелинейный, то система (1.7) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор L(U) линейный, то система (1.7) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция  должна удовлетворять краевым условиям (1.2). Поэтому  можно выбрать в виде

или

и коэффициенты  найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции . Выберем, например, полную систему в виде многочленов последовательных степеней:

Коэффициенты  найдем из однородных краевых условий (1.4)

(1.4а)

при всех k=1, 2, .., n.

Так, для k=1 и условия (1.4а) принимают вид:



В этой системе из двух уравнений три неизвестных: ,  и . Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, . Аналогично отыскивают коэффициенты  для k=2,..,n.

Для простых условий вида y(a)=A, y(b)=B то есть функции  можно вычислять по правилу

Или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, линейная комбинация (1.3) с произвольными коэффициентами ak уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.

1.2 Метод коллокаций

Этот метод позволяет найти приближенное решение краевой задачи в виде аналитического выражения. Пусть требуется найти решение линейного дифференциального уравнения

(1.8)

на отрезке при краевых условиях общего вида

(1.9)

Выберем некоторую совокупность линейно независимых базисных функций из которых удовлетворяет неоднородным краевым условиям (1.9), а остальные функции , удовлетворяют однородным краевым условиям.

Приближенное решение краевой задачи (1.8), (1.9) ищем в виде линейной комбинации базисных функций

Такая функция y удовлетворяет краевым условиям при любых . Подставляя функцию в уравнение (1.8) получим некоторый остаточный член , не равный нулю, поскольку функция y не является точным решением уравнения (1.8). Функция называется невязкой.

Если при выборе коэффициентов будет выполнено условие для всех , то функция y(x) будет точным решением уравнения (1.8). Однако так подобрать коэффициенты практически невозможно. Поэтому ограничиваются требованием равенства нулю невязки в заданном множестве точек на отрезке - точки коллокаций. В этих точках дифференциальное уравнение (1.8) будет удовлетворяться точно. Таким образом, получается система алгебраических уравнений:

…………………..

относительно неизвестных , . Число точек коллокаций должно согласовываться с количеством базисных функций. Чем больше используется базисных функций и, соответственно, точек коллокаций, тем точнее получается приближенное решение.

1.3 Метод наименьших квадратов

Рассмотрим решение методом наименьших квадратов линейного дифференциального уравнения (1.8). Выбираем некоторую базисную систему линейно независимых функций При этом удовлетворяет неоднородным, а остальные функции удовлетворяют однородным краевым условиям (1.9). Приближенное решение ищется в виде

Подставляя функцию y в дифференциальное уравнение (1.8), получаем невязку

которая на отрезке должна быть минимальной по абсолютной величине.

Это требование выполняется при условии минимального значения интеграла от квадрата невязки

Для получения минимума интеграла S необходимо прировнять к нулю частные производные S по коэффициентам , то есть

……………………..

В результате получается система линейных алгебраических уравнений относительно , откуда и определяются их значения.

ГЛАВА 2. Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 методом Галеркина и методом коллокации

2.1 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 при к=2 методом Галеркина с граничными условиями

Найдем приближенное решение краевой задачи не имеющей точного решения методом Галеркина

С граничными условиями

Решение

1. Находим

=0

2. Находим , при k=2:

3. Приближенное решение будем искать в виде :

=

4. Находим невязку F(x):

Потребуем теперь ортогональности функции к функциям , при k=2, это приводит к системе

Подставляя сюда вместо выражение этой функции и производя интегрирование в системе Mathcad 14, найдем

Решение этой системы

,

2.2 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 при n=2 методом коллокаций с граничными условиями

В качестве базисных функций выберем полиномы

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: За точки коллокации возьмем следующие абсциссы: Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем невязку функций

В точках коллокации получим

Подставляя точки коллокации в R(x), найдем

Решение этой системы

,

2.3 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 при к=2 методом Галеркина с граничными условиями

Найдем приближенное решение краевой задачи не имеющей точного решения методом Галеркина

С граничными условиями

Решение

1. Находим

=1

2. Находим , при k=2:

3. Приближенное решение будем искать в виде :

4. Находим невязку F(x):

Потребуем теперь ортогональности функции к функциям , при k=2, это приводит к системе

Подставляя сюда вместо выражение этой функции и производя интегрирование в системе Mathcad 14, найдем

Решение этой системы

,

2.4 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 при n=2 методом коллокаций с граничными условиями

В качестве базисных функций выберем полиномы

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: За точки коллокации возьмем следующие абсциссы: Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим

Найдем невязку функций

В точках коллокации получим

Подставляя точки коллокации в R(x), найдем

Решение этой системы

,

2.5 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= -1 методом Галеркина и методом коллокации в конкретных точках. Оценка погрешностей приближенного решения относительно точного

Для краевой задачи

С граничными условиями

Имели приближенное решение методом Галеркина

Имели приближенное решение методом коллокации

Составим сравнительные таблицы:

Таблица 2.1

Точное решение	Метод Галеркина	Погрешность метода %
	x			Y(x)
Y(0.25)=0.926	0.25	1.012		0.93	0.43
Y(0.05)=0.996	0.05	1.012		0.997	0.1

Таблица 2.2

Точное решение	Метод коллокации	Погрешность метода %
	x			Y(x)
Y(0.25)=0.926	0.25			0.91	1.75
Y(0.05)=0.996	0.05			0.994	0.2

Для краевой задачи

С граничными условиями

Имели приближенное решение методом Галеркина

Имели приближенное решение методом коллокации

Составим сравнительные таблицы:

Таблица 2.3

Точное решение	Метод Галеркина	Погрешность метода %
	x			Y(x)
Y(0.25)=0.105	0.25	0.555		0.1065	1.41
Y(0.05)=0.027	0.05	0.555		0.0265	1.89

Таблица 2.4

Точное решение	Метод коллокации	Погрешность метода %
	x			Y(x)
Y(0.25)=0.105	0.25	0.606		0.102	2.94
Y(0.05)=0.027	0.05	0.606		0.0283	4.6

ГЛАВА 3 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом коллокации, методом Галеркина, методом наименьших квадратов с граничными условиями

3.1 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом коллокаций с граничными условиями

В качестве базисных функций выберем полиномы

Функция удовлетворяет неоднородным краевым условиям , а функции , - однородным краевым условиям: За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничимся тремя базисными функциями и положим приближенное решение уравнения равным

В результате невязка будет равна

Подставляя координаты точек коллокаций в выражение невязки, получим систему уравнений для определения коэффициентов

Решение этой системы

,

3.2 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом наименьших квадратов с граничными условиями .

Выбирая базисные функции в виде

решение задачи ищем в виде

Подставляя в краевую задачу функцию y, получаем невязку

В этом случае интеграл от квадрата невязки будет иметь вид:

И после интегрирования получаем уравнения:

решая которые, находим коэффициенты и приближенное решение задачи

3.3 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом Галеркина с граничными условиями

1. Находим

=1

2. Находим , при k=2:

3. Приближенное решение будем искать в виде :

4. Находим невязку F(x):

Потребуем теперь ортогональности функции к функциям , при k=2, это приводит к системе

Подставляя сюда вместо выражение этой функции и производя интегрирование в системе Mathcad 14, найдем

Решение этой системы

,

3.4 Решение краевой задачи для p(x)=1, q(x)=0, g(x)= , f(x)= при n=2 методом коллокации, методом наименьших квадратов, методом Галеркина с граничными условиями , в конкретных точках. Оценка погрешностей приближенного решения относительно точного

Для краевой задачи

С граничными условиями

Имели приближенное решение методом Галеркина

Имели приближенное решение методом коллокации

Имели приближенное решение методом наименьших квадратов

Составим следующие таблицы

Таблица 3.1

Точное решение	Метод Галеркина	Погрешность метода %
	x			Y(x)
Y(0.25)=0.98	0.25	1.07143	0.25	0.97	1.03
Y(0.05)=1.002	0.05	1.07143	0.25	1.0017	0.03

Таблица 3.2

Точное решение	Метод коллокации	Погрешность метода %
	x			Y(x)
Y(0.25)=0.98	0.25	1.008	1.307	1.0391	5.69
Y(0.05)=1.002	0.05	1.008	1.307	1.0009	0.11

Таблица 3.3

Точное решение	Метод наименьших квадратов	Погрешность метода %
	x			Y(x)
Y(0.25)=0.98	0.25	1.1012	0.2538	0.9683	1.2
Y(0.05)=1.002	0.05	1.1012	0.2538	1.00291	0.09

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты дипломной работы

Дипломная работа посвящена решению краевых задач с различными граничными условиями проекционными методами: метод коллокации, метод Галеркина, метод наименьших квадратов.

В процессе работы над дипломной работой получены следующие результаты:

Применены проекционные методы к краевым задачам с различными граничными условиями в конкретных точках;

Показано, что метод Галеркина дает наиболее точное решение, по сравнению с другими проекционными методами рассмотренными в данной дипломной работе.

Практическое применение полученных результатов

Проекционные методы могут применятся в расчетах обтекания крылового профиля и крыла конечного размаха идеальной несжимаемой жидкостью, т. е. изученные методы служат для решения задач машиностроения и механики, имеют широкое практическое применение.

галеркин коллокация наименьший квадрат

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ворович, И. И. О методе Бубнова -- Галёркина в нелинейной теории колебания пологих оболочек / И.И. Ворович -- Доклады АН СССР, 1956. -- Т. 110. -- № 5, 723--726 с.

2. Галёркин, Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок / Б. Г. Галёркин. - Вестник инженеров, 1915. -- Т. 1. 897--908 с.

3. Канторович, Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа /Л. В. Канторович. -- 5-е изд. -- Л.-М., 1962.

4. Мышенков, В. И., Мышенков, Е. В.Численные методы / В. И. Мышенков. - Москва:МГУЛ, 2005. - 91 с.

5. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина / К. Флетчер -- М.-Мир, 1988.

Размещено на Allbest.ru