Теория вероятности и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Экспедиция издательства отправляет газеты в три почтовых отделения. Известно, что в первое отделение газеты доставляются своевременно в среднем в 92% всех случаев, во второе - 85%, в третье -95%. Найти вероятность того, что из трех почтовых отделений:

а) только одно получит газеты вовремя;

b) два получат газеты вовремя;

с) не менее двух получат газеты вовремя;

d) хотя бы одно получит газеты вовремя;

е) все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет.

Решение:

При решении используем теоремы сложения и умножения вероятностей

а) А- из трех почтовых отделений только одно получит газеты вовремя

Р(А)=0,08*0,15*0,95+0,92*0,15*0,05+0,08*0,85*0,05=0,022

b) А- из трех почтовых отделений два получат газеты вовремя

Р(А)=0,92*0,85*0,05+0,92*0,15*0,95+0,08*0,85*0,95=0,235

с) А- из трех почтовых отделений не менее двух получат газеты вовремя

Р(А)=0,235+0,92*0,85*0,95=0,978

d) А- из трех почтовых отделений хотя бы одно получит газеты вовремя

Р(А)=1-0,08*0,15*0,05=0,99

е) А- из трех почтовых отделений все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет

Р(А)=0,92*0,85*0,95+0,08*0,15*0,05=0,744

Задача 2

В ящике 15 теннисных мячей, из которых 10 новых. Для первой игры наудачу берут три мяча, которые после игры возвращают в ящик. Для второй игры также наудачу берут из ящика три мяча.

Определить вероятность того, что все три мяча, взятые для второй игры, будут новыми.

Из взятых для второй игры трех мячей один оказался не новым. Сколько новых мячей вероятнее всего было взято для первой игры?

Решение:

При решении будем использовать формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Обозначим гипотезы и событие А:

Н1- для первой игры взяли все новые мячи;

Н2- для первой игры взяли два новых и один старый мяч;

Н3- для первой игры взяли один новый и два старых мяча;

Н4- для первой игры взяли все старые мячи.

А- взятые для второй игры три мяча - все новые.

По условию:

;

;

;

;

;

;

1) По формуле полной вероятности:

Р(А)==0,264*0,077+0,495*0,123+0,22*0,185+0,021*0,264=0,127

2) событие В - среди взятых для второй игры трех мячей, один - не новый.

;

;

Р(В)=0,264*0,369+0,495*0,431+0,22*0,475+0,021*0,495=0,426

По формуле полной Байеса

;

;

;

Вывод: вероятнее всего для первой игры было взято два новых мяча.

Задание 3

По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое 6-е малое предприятие города N нарушает финансовую дисциплину.

1. Какова вероятность того, что из ста малых предприятий города N нарушения финансовой дисциплины будут иметь:

а) 15; b) не менее 12;

с) не более 18; б) не менее 12, но не более 18 предприятий.

Решение:

n= 100; p=;

при решении используем локальную и интегральную теоремы Лапласа

а) m=15, по локальной теореме:

;;

b) , по интегральной теореме:

,

где

;

с) , по интегральной теореме:

теорема вероятность интегральный отклонение

,где

;

d) , по интегральной теореме:

, где

;



Задание 4

Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет по цели до тех нор, пока не попадет или не израсходует все патроны. Известно, что в цель данного вида он попадает в среднем 7 раз из десяти выстрелов. Рассматривается случайная величина Х число израсходованных охотником патронов.

Составить ряд распределения св. Х и представить его графически.

Найти функцию распределения св. Х и построить её график.

Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М(х), дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Определить вероятности: а) Р(X<М(x)); б) Р(X> М(x)+1); с) Р() ?

Решение:

1.Х - случайная величина, может принимать значения : 1,2,3,4.

р=0,7

n=4

Стрельба идет до первого попадания, или до израсходования всех патронов.

Вычислим соответствующие вероятности:

Р(х=1)=0,7

Р(х=2)=0,3*0,7=0,21

Р(х=3)=0,3*0,3*0,7=0,063

Р(х=4)=0,3*0,3*0,3*0,7+0,3*0,3*0,3*0,3=0,027

Получаем ряд распределения:

x	1	2	3	4
p	0,7	0,21	0,063	0,027

График ряда распределения:

2.Функция распределения: F(x)=P(X<x),

График функции распределения:

3.Числовые характеристики:

M(x)- математическое ожидание ;

;

M(x)=1*0,7+2*0,21+3*0,063+4*0,027=1,039

D(x)- дисперсия;

D(x)=1*0,7+4*0,21+9*0,063+16*0,027-(1,0,39)=1,459

- среднее квадратичное отклонение;

4.вычислим вероятности:

а) Р(X<М(x))=F(M(x))=F(1,459)=0,7

б) Р(X> М(x)+1)=P(X>2,459)=1-F(2,459)=1-0,91=0,095

в)Р()=Р()=P(0,251<x<2,667)=F(2,667)-F(0,251)=0,91-0=0,91

Задание 5

При исследовании некоторого непрерывного признака с экспериментатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью:



При каком значении С экспериментатор будет прав? Построить график плотности распределения.

Найти функцию распределения св. Х и построить её график.

Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М(х), дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат меньше среднего значения, превышает число опытов, в которых результат будет больше среднего значения?

Решение:

1. Найдем с:

Т.к.,то

График плотности вероятности:



Найдем функцию распределения:

F(x)=;

Если х<0,то F(x)=;

Если , то F(x)=

Если , то

Если x>10, то

Т.о. функция распределения:

Построим график функции распределения:

3.Числовые характеристики:

-

математическое ожидание

-

дисперсия

4.Пусть Y - число опытов, тогда

Y*P(X<M(x))=Y*F(8)=Y*0,333 - число опытов с результатом меньше среднего

Y*P(X>M(x))=Y*0,667 - число опытов с результатом больше среднего

- во столько раз число опытов с результатом больше среднего, больше числа опытов с результатом меньше среднего

Задание 6

Выборка из большой партии микросхем нового тина содержит 25 микросхем.

Время непрерывной работы до выхода из строя для этих микросхем оказалось равным (в сутках) ':

37.48, 36.72, 36.75, 37.64. 35.41, 36.28, 36.36, 36.96, 37.29, 36.53, 36.55, 35.75, 36.47, 35.91, 34.90, 34.45, 34.40, 35.86, 37.30, 36.08, 35.63, 35.02, 35.19, 36.16, 33.93

Необходимо:

1.Определить исследуемый признак и его тип (дискретный пли непрерывный).

В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

На основе визуального анализа полти она (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутом)' в п.З закону распределения при уровне значимости 0,01.

Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а)генеральной средней значению 37,44;

б)генеральной дисперсии значению 1,0816.

Решение: (С=1,06)

Расположим данные в порядке возрастания:

35,966

36,464

36,517

36,994

37,121

37,301

37,535

37,768

37,895

38,012

38,065

38,245

38,33

38,457

38,542

38,658

38,722

38,743

38,923

38,955

39,178

39,527

39,538

39,729

39,898

1. Так как значения признака отличаются друг от друга на конечное число, то данный признак является дискретным.

Признак исследования: время непрерывной работы до выхода из строя определенной микросхемы.

Составим интервальный ряд:

;

- число интервалов

Шаг интервала:

Построим вариационный ряд:

	35,966- 36,621	36,621-37,276	37,276-37,931	37,931-38,586	38,586-39,241	39,241-39,896
	36,294	36,949	37,604	38,259	38,914	39,569
	3	2	4	6	6	4
	0,12	0,08	0,16	0,24	0,24	0,16

2. Построим гистограмму:

3. По виду гистограммы можно предположить, что данный признак распределен по нормальному закону.

4. Выборочные характеристики:

среднее выборочное:

Выборочная дисперсия:

Среднее выборочное квадратическое отклонение:

5. На уровне значимости вычислим

,

где - вероятность.

;

а, b - концы интервала, а - левый, b - правый.



35,966- 36,621	3	0,0515	1,2875	2,933	2,278
36,621-37,276	2	0,1241	3,1025	1,216	0,392
37,276-37,931	4	0,213	5,325	1,756	0,33
37,931-38,586	6	0,2465	6,1625	0,026	0,004
38,586-39,241	6	0,1944	4,86	1,3	0,267
39,241-39,896	4	0,1044	2,61	1,932	0,74
У	25				4,011

т.о.,

по таблицам находим т.к. k = m- r = 3,

т.к. , то гипотезу о нормальном распределении признака не отвергаем.

6. Найдем доверительные интервалы для и

а) для :

n-1 = 25 - 1 = 24; б = 1-0,05/2 = 0,975

тогда

б) для :

тогда

7. а) проверяемая гипотеза:

альтернативная гипотеза:

Используем критерий Стьюдента:

т.к. , то не отвергаем.

б) проверяемая гипотеза:

альтернативная:

Используем критерий ,

т.к. , то гипотезу не отвергаем.

Размещено на Allbest.ru