Математика и информатика

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОУ «Академия права и управления» (институт)

Чебоксарский филиал

Кафедра государственно-правовых, гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Контрольная работа

По дисциплине: Математика и информатика

Зачетная книжка № 627

Выполнила студентка 1 курса

Группы ЗЮ 31-09

ЮФ заочного отделения

Осокина Валентина Валериевна

Преподаватель: к.ф.-м.н. Святцков В.А.

Чебоксары - 2010 г.

Контрольное задание №1

Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса

Условие

- 2x 1  - 2x 2 + 2x 3 = 8

3x 1 + 2x 2 - 2x 3 = -9

- 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 20

Конец форм Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

-2 -2 2 3 2 -2 -4 3 2	=10

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его. Достроим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

-2 -2 2 8 3 2 -2 -9 -4 3 2 20

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 Ч 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2 -2 2 8 0 -1 1 3 0 7 -2 4

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2 -2 2 8 0 -1 1 3 0 0 5 25

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2 -2 0 -2 0 -1 0 -2 0 0 5 25

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2	0	0	2
0	-1	0	-2
0	0	5	25

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением системы уравнений.

x 1 = -1

x 2 = 2

x 3 = 5

Решение системы уравнений методом Крамера:

Расширенная матрица (А | b) для данной системы имеет вид

Детерминант d0 = det(A) = 10

Вычисляем остальные детерминанты

1) Заменяем 1-й столбец на b

Вычисляем детерминант d1 = -10

2) Заменяем 2-й столбец на b



Вычисляем детерминант d2 = 20

3) Заменяем 3-й столбец на b

Вычисляем детерминант d3 = 50

Вычисляем x

x1 = d1/d0 = (-10)/(10) = -1

x2 = d2/d0 = (20)/(10) = 2

x3 = d3/d0 = (50)/(10) = 5

Ответ:

x1 = -1
x2 = 2
x3 = 5

Контрольное задание №2

Контрольное задание №3

Расстояние между точками A (-1; 1) и B (5; 2) равно корню суммы квадратов разности координат.

Расстояние между B (5; 2) и C (2; 3) равно:

Расстояние между C (2; 3) и A (-1; 1) равно:

Уравнение AB

Уравнение BC

Уравнение CA

Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k1x + B1,

y = k2x + B2,

то угол между ними определяется по формуле

Найдем уравнение высоты CD как прямой проходящей через точку C (2; 3) перпендикулярно вектору

Координаты основания высоты найдем, решив систему. составленную из уравнений прямых AB и CD

Длину высоты CD найдем как расстояние от точки C (2; 3) до прямой AB, заданной уравнением

Найдем уравнение медианы AE как прямой. проходящей через точку E. Координаты точки E найдем как координаты середины отрезка CB

;

;

E (3.5; 2.5). Уравнение AE: ;

Точка пересечения высоты и медианы K

Уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно AB

K

Уравнение искомой прямой запишем так, что оно будет отличаться от уравнения данной прямой только свободным членом: первые два слагаемые в искомом уравнении возьмем из данного уравнения, а его свободный член обозначим через C. Тогда искомое уравнение запишется в виде

и определению подлежит C

Придавая в уравнении величине C всевозможные действительные значения, получим множество прямых, параллельных данной. Таким образом, уравнение представляет собой уравнение не одной прямой, а целого семейства прямых, параллельных данной прямой . Из этого семейства прямых следует выделить ту, которая проходит через точку K

Если прямая проходит через точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. А поэтому мы определим C, если в уравнение подставим вместо текущих координат x и y координаты точки K, т. е. x = 4, y=. Получаем ; C=12

Найденное значение C подставляем в , и искомое уравнение запишется так:

Найдем уравнение прямой проходящей через точку A(-1; 1) перпендикулярно вектору



Контрольное задание №4

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	Запасы
1	16	20	60
2	18	26	110
Потребности	80	90

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	Запасы
1	16	20	60
2	18	26	110
Потребности	80	90

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	Запасы
1	16[60]	20	60
2	18[20]	26[90]	110
Потребности	80	90

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 3, а должно быть m + n - 1 = 3. Следовательно, опорный план является невырожденным.

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

линейное уравнение транспортная задача симплекс

	v1=16	v2=24
u1=0	16[60]	20
u2=2	18[20]	26[90]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vi > cij

(1;2): 0 + 24 > 20

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 20

Для этого в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».Цикл приведен в таблице

	1	2	Запасы
1	16[60][-]	20[+]	60
2	18[20][+]	26[90][-]	110
Потребности	80	90

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 60. Прибавляем 60 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 60 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план

	1	2	Запасы
1	16	20[60]	60
2	18[80]	26[30]	110
Потребности	80	90

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

	v1=12	v2=20
u1=0	16	20[60]
u2=6	18[80]	26[30]

Опорный план является оптимальным

Затраты составят:

F(x) = 20*60 + 18*80 + 26*30 = 3420

Контрольное задание №5

При графическом решении задачи линейного программирования сначала строится ОДР. Каждое из неравенств определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств - их пересечение. Для нашей задачи ОДР - множество точек пятиугольника OABCD. Затем строим вектор C, задающий направление вектора (4; -2). Перпендикулярно вектору C проводим линию уровня z=0 через O (0; 0). Параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет минимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции



Если необходимо определить максимум целевой функции , параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет максимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции



Контрольное задание №6

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 4 x1 +6 x2 при следующих условиях-ограничениях.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:



Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x3 , x4 , x5

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,30,340,400)

Поскольку задача решается на максимум, то ведущий столбец выбирают по максимальному отрицательному числу и индексной строке. Все преобразования проводят до тех пор, пока не получатся в индексной строке положительные элементы.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
1	x3	30	-6	3	1	0	0	10
	x4	340	2	4	0	1	0	85
	x5	400	5	1	0	0	1	400
Индексная строка	F(X1)	0	-4	-6	0	0	0	0

Итерация №0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 3 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 1 войдет переменная x2

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x3 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2 .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (3), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
30 / 3 = 10	-6 / 3 = -2	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	0 / 3 = 0	0 / 3 = 0

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
2	x2	10	-2	1	0.33	0	0	0
	x4	300	10	0	-1.33	1	0	30
	x5	390	7	0	-0.33	0	1	55.71
Индексная строка	F(X2)	60	-16	0	2	0	0	0

Итерация №1

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 10 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 2 войдет переменная x1

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=10

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1 .

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (10), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
300 / 10 = 30	10 / 10 = 1	0 / 10 = 0	-1.33 / 10 = -0.13	1 / 10 = 0.1	0 / 10 = 0
План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
3	x2	70	0	1	0.07	0.2	0	1050
	x1	30	1	0	-0.13	0.1	0	0
	x5	180	0	0	0.6	-0.7	1	300
Индексная строка	F(X3)	540	0	0	-0.13	1.6	0	0

Итерация №2

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 0.6 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 3 войдет переменная x3

Строка, соответствующая переменной x3 в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 2 на разрешающий элемент РЭ=0.6

На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.

В остальных клетках столбца x3 плана 3 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x3 и столбец x3 .

Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (0.6), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3
180 / 0.6 = 300	0 / 0.6 = 0	0 / 0.6 = 0	0.6 / 0.6 = 1
x 4	x 5
-0.7 / 0.6 = -1.17	1 / 0.6 = 1.67

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
4	x2	50	0	1	0	0.28	-0.11	1050
	x1	70	1	0	-0	-0.06	0.22	0
	x3	300	0	0	1	-1.17	1.67	300
Индексная строка	F(X4)	580	0	0	-0	1.44	0.22	0

Оптимальный план можно записать так:

F(X) = 4*70 + 6*50 = 580

При графическом решении задачи линейного программирования сначала строится ОДР. Каждое из неравенств определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств - их пересечение. Для нашей задачи ОДР - множество точек многоугольника OABFD. Затем строим вектор C, задающий направление вектора (4; 6). Перпендикулярно вектору C проводим линию уровня z=0 через O (0; 0). Параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет максимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции



Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4 x1 +6 x2 при следующих условиях-ограничениях.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x3 , x4 , x5

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,30,340,400)

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Конец итераций: найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
1	x3	30	-6	3	1	0	0	0
	x4	340	2	4	0	1	0	0
	x5	400	5	1	0	0	1	0
Индексная строка	F(X1)	0	-4	-6	0	0	0	0

Оптимальный план можно записать так:

F(X) = 0

При графическом решении задачи линейного программирования сначала строится ОДР. Каждое из неравенств определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств - их пересечение. Для нашей задачи ОДР - множество точек многоугольника OABFD. Затем строим вектор C, задающий направление вектора (4; 6). Перпендикулярно вектору C проводим линию уровня z=0 через O (0; 0). Параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет максимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции

Контрольное задание №7

Спрос на кулинарное изделие при изменение веса специальной добавки можно охарактеризовать функцией

Вес добавки должен быть в пределах .

Воспользовавшись приложениями определенного интеграла, найдем оптимальное решение производственной задачи повышения спроса на выпускаемое фирмой кулинарное изделие:



Контрольное задание №8

а)

б)



в)

Контрольное задание № 9

Объём цилиндра - h * (pi * D2)/4, где h - высота цилиндра, D - диаметр,

тогда h2 + D2 = 4R2, где R - радиус шара.

h2 + D2 = 4*92

h2 + D2 = 324

По теореме Пифагора высота и радиус цилиндра связаны так: (h/2)2+r2=1. Отсюда r2=1-h2/4. Подставляем в формулу объёма цилиндра:

V=рhr2=рh(1-h2/4).

V=9рr2=9р(1-92/4)

V=9р(1-92/4)

Осталось узнать, при каком h это уравнение принимает максимальное значение. Это происходит, когда его производная равна 0. Находим производную, приравниваем к нулю и решаем относительно h:

V'=р(1-h2/4)-рh2/2=0.

При

Контрольное задание № 10

D(y)=(0;+?). Функция непрерывна на области определения.

Точки пересечения графика функции с осями координат:

Если y=0 то, =0 ln x=0 x=1 (1;0)

Функция ни четная, ни нечетная т.к., х не будет принимать отрицательные значения. Не является периодической.

Точки возможного экстремума:

f'(x)=(lnx/x)'=((1/x)*x-lnx)/x2=(1-lnx)/x2

приравняем ее к нулю.

(1-lnx)/x2=0 1-lnx=0 -lnx=-1 lnx=1 x=e - критическая точка.

Точки возможного перегиба, для этого найдем вторую производную:

f''(y)=((1-lnx)/x2)'=((-1/x)*x2-(1-lnx)*2x)/x4=(-x-2x*(1-lnx))/x4=(-x-2x+2xlnx)/x4=(-x*(3-2lnx))/x4=(2lnx-3)/x3

(2lnx-3)/x3=0 2lnx-3=0 2lnx=3 lnx=3/2 x=e3/2

Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости и точки перегиба.

x | (-?;e) | e | (e;+?) |

f'(x) | + | | - |

f''(x)| - | | + |

f(x) | ? |max| ? |



.

Вертикальная асимптота x = 0.

.

Наклонная асимптота y = 0.

Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.

Точек пересечения с осями координат нет.

при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.



1.

Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

Наклонная асимптота y = x + 1.

Рассмотрим функцию . Прямая является вертикальной асимптотой графика , так как при . Заметим, что слева от точки функция вообще не определена.



Вертикальная асимптота функции

Контрольное задание №11

а)

= +С

б)

в)

Контрольное задание №12

9-6.75= 1.25

Контрольное задание №13

Так как уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R есть

x2 + y2 = R2,

то уравнение верхней полуокружности имеет вид



Поэтому площадь заштрихованного на чертеже полукруга равна

Полагая x = R sin t, приводим этот интеграл к виду

Поэтому площадь всего круга равна рR2.

Размещено на Allbest.ru