Математика и информатика

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОУ «Академия права и управления» (институт)

Чебоксарский филиал

Кафедра государственно-правовых, гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Контрольная работа

По дисциплине: Математика и информатика

Зачетная книжка № 679

Выполнила студентка 1 курса

Группы ЗЮ 31-09

ЮФ заочного отделения

Юрина Яна Борисовна.

Преподаватель: к.ф.-м.н. Святцков В.А.

Чебоксары - 2010 г.

Контрольное задание №1

Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса

Условие

- 2x 1	- 4x 2	+ 3x 3	= -10
x 1	- 2x 2	+ 3x 3	= 2
3x 1	+ 4x 2	- 4x 3	= 10

Решение

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:

-2 -4 3 1 -2 3 3 4 -4	=-14

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.

Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

-2 -4 3 -10 1 -2 3 2 3 4 -4 10

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 Ч 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2 -4 3 -10 0 -4 4.5 -3 0 -2 0.5 -5

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2 -4 3 -10 0 -4 4.5 -3 0 0 -1.75 -3.5

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2 -4 0 -16 0 -4 0 -12 0 0 -1.75 -3.5

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

-2 0 0 -4 0 -4 0 -12 0 0 -1.75 -3.5

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 2

Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением системы уравнений.

x 1 = 2
x 2 = 3
x 3 = 2

Решение системы уравнений методом Крамера:

Расширенная матрица (А | b) для данной системы имеет вид

Детерминант d0 = det(A) = -14

Вычисляем остальные детерминанты

1) Заменяем 1-й столбец на b



Вычисляем детерминант d1 = -28

2) Заменяем 2-й столбец на b

Вычисляем детерминант d2 = -42

3) Заменяем 3-й столбец на b

Вычисляем детерминант d3 = -28

Вычисляем x

x1 = d1/d0 = (-28)/(-14) = 2

x2 = d2/d0 = (-42)/(-14) = 3

x3 = d3/d0 = (-28)/(-14) = 2

Ответ:

x1 = 2
x2 = 3
x3 = 2

Контрольное задание №2

В задаче требуется максимизировать число перевозимых пассажиров, следовательно, целевая функция должна описывать количество пассажиров в зависимости от количества поездов того или иного вида. Так как имеется скорых и пассажирских, а число вагонов, входящих в них, и число пассажиров в соответствующем вагоне известно из таблицы , составим следующую целевую функцию:

Нам необходимо получить максимальное число пассажиров, поэтому устремим к максимуму:

Составим теперь ограничения, накладываемые имеющимся в парке количеством вагонов различного типа. Так как мы не можем использовать в составе поездов вагонов больше чем имеется, получим следующую систему ограничений:

Контрольное задание №3

Расстояние между точками A (0;1) и B (6;4) равно корню суммы квадратов разности координат.



Расстояние между B (6;4) и C (3; 5) равно:

Расстояние между A (0;1) и C (3; 5) равно:

Уравнение AB

Уравнение BC

Уравнение CA

Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если уравнения прямой заданы в общем виде

A1x + B1y + C1 = 0,

A2x + B2y + C2 = 0,

угол между ними определяется по формуле

Найдем уравнение высоты CD как прямой проходящей через точку C (3; 5) перпендикулярно вектору



Координаты основания высоты найдем, решив систему, составленную из уравнений прямых AB и CD

Длину высоты CD найдем как расстояние от точки C (3; 5) до прямой AB, заданной уравнением

Найдем уравнение медианы AE как прямой, проходящей через точку E. Координаты точки E найдем как координаты середины отрезка CB

;

;

E (4.5; 4.5). Уравнение AE: ;



Точка пересечения высоты и медианы K

Уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно AB

K (3.6; 3.8)

Уравнение искомой прямой запишем так, что оно будет отличаться от уравнения данной прямой только свободным членом: первые два слагаемые в искомом уравнении возьмем из данного уравнения, а его свободный член обозначим через C. Тогда искомое уравнение запишется в виде

и определению подлежит C

Придавая в уравнении величине C всевозможные действительные значения, получим множество прямых, параллельных данной. Таким образом, уравнение представляет собой уравнение не одной прямой, а целого семейства прямых, параллельных данной прямой . Из этого семейства прямых следует выделить ту, которая проходит через точку K (3.6; 3.8)

Если прямая проходит через точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. А поэтому мы определим C, если в уравнение подставим вместо текущих координат x и y координаты точки K, т. е. x = 3.6, y = 3.8. Получаем ;

Найденное значение C подставляем в , и искомое уравнение запишется так:

Найдем уравнение прямой проходящей через точку A(0;1) перпендикулярно вектору

M (4; 3)

Контрольное задание №4

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	Запасы
1	28	18	100
2	48	20	60
Потребности	90	70

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	Запасы
1	28	18	100
2	48	20	60
Потребности	90	70

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	Запасы
1	28[30]	18[70]	100
2	48[60]	20	60
Потребности	90	70

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 3, а должно быть m + n - 1 = 3. Следовательно, опорный план является невырожденным.

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

	v1=28	v2=18
u1=0	28[30]	18[70]
u2=20	48[60]	20

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vi > cij

(2;2): 20 + 18 > 20

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;2): 20

Для этого в перспективную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице

	1	2	Запасы
1	28[30][+]	18[70][-]	100
2	48[60][-]	20[+]	60
Потребности	90	70

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 1) = 60. Прибавляем 60 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 60 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план

	1	2	Запасы
1	28[90]	18[10]	100
2	48	20[60]	60
Потребности	90	70

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

	v1=28	v2=18
u1=0	28[90]	18[10]
u2=2	48	20[60]

Опорный план является оптимальным

Затраты составят:

F(x) = 28*90 + 18*10 + 20*60 = 3900

Контрольное задание №5

При графическом решении задачи линейного программирования сначала строится ОДР. Каждое из неравенств определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств - их пересечение. Для нашей задачи ОДР - множество точек пятиугольника OABFD. Затем строим вектор C, задающий направление вектора (-1; 5). Перпендикулярно вектору C проводим линию уровня z=0 через O (0; 0). Параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет минимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции

Если необходимо определить максимум целевой функции , параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет максимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции



Контрольное задание №6

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = -2 x1 +6 x2 при следующих условиях - ограничениях.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:



Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x3 , x4 , x5

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,30,340,400)

Поскольку задача решается на максимум, то ведущий столбец выбирают по максимальному отрицательному числу и индексной строке. Все преобразования проводят до тех пор, пока не получатся в индексной строке положительные элементы.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
1	x3	30	-6	3	1	0	0	10
	x4	340	2	4	0	1	0	85
	x5	400	5	-2	0	0	1	0
Индексная строка	F(X1)	0	2	-6	0	0	0	0

Итерация №0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 3 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 1 войдет переменная x2

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x3 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2 .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (3), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
30 / 3 = 10	-6 / 3 = -2	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	0 / 3 = 0	0 / 3 = 0

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
2	x2	10	-2	1	0.33	0	0	0
	x4	300	10	0	-1.33	1	0	30
	x5	420	1	0	0.67	0	1	420
Индексная строка	F(X2)	60	-10	0	2	0	0	0

Итерация №1

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 10 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 2 войдет переменная x1

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=10

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1 .

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (10), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
300 / 10 = 30	10 / 10 = 1	0 / 10 = 0	-1.33 / 10 = -0.13	1 / 10 = 0.1	0 / 10 = 0

Конец итераций: найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
3	x2	70	0	1	0.07	0.2	0	0
	x1	30	1	0	-0.13	0.1	0	30
	x5	390	0	0	0.8	-0.1	1	420
Индексная строка	F(X3)	360	0	0	0.67	1	0	0

Оптимальный план можно записать так:

F(X) = -2*30 + 6*70 = 360

При графическом решении задачи линейного программирования сначала строится ОДР. Каждое из неравенств определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств - их пересечение. Для нашей задачи ОДР - множество точек многоугольника OABD. Затем строим вектор C, задающий направление вектора (-2; 6). Перпендикулярно вектору C проводим линию уровня z=0 через O (0; 0). Параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет максимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции

Определим минимальное значение целевой функции F(X) = -2 x1 +6 x2 при следующих условиях-ограничениях.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x3 , x4 , x5

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,30,340,400)

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
1	x3	30	-6	3	1	0	0	0
	x4	340	2	4	0	1	0	170
	x5	400	5	-2	0	0	1	80
Индексная строка	F(X1)	0	2	-6	0	0	0	0

Итерация №0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D i по строкам как частное от деления

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей

Разрешающий элемент равен 5 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x в план 1 войдет переменная x1

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=5

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1 .

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (5), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
400 / 5 = 80	5 / 5 = 1	-2 / 5 = -0.4	0 / 5 = 0	0 / 5 = 0	1 / 5 = 0.2

Конец итераций: найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

План	Базис	В	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	min
2	x3	510	0	0.6	1	0	1.2	0
	x4	180	0	4.8	0	1	-0.4	170
	x1	80	1	-0.4	0	0	0.2	80
Индексная строка	F(X2)	-160	0	-5.2	0	0	-0.4	0

Оптимальный план можно записать так:

F(X) = -2*80 = -160

При графическом решении задачи линейного программирования сначала строится ОДР. Каждое из неравенств определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств - их пересечение. Для нашей задачи ОДР - множество точек многоугольника OABD. Затем строим вектор C, задающий направление вектора (-2; 6). Перпендикулярно вектору C проводим линию уровня z=0 через O (0; 0). Параллельным перемещением прямой z=0 находим крайнюю точку, в которой целевая функция z достигнет минимума. Найдем координаты оптимальной точки ; . Оптимальное значение целевой функции

линейное уравнение гаусс функция

Контрольное задание №7

Спрос на кулинарное изделие при изменение веса специальной добавки можно охарактеризовать функцией

Вес добавки должен быть в пределах .

Воспользовавшись приложениями определенного интеграла, найдем оптимальное решение производственной задачи повышения спроса на выпускаемое фирмой кулинарное изделие:

Контрольное задание №8

а)

б)

в)

Контрольное задание № 9

- критическая точка

Точка максимума (5: 122.5)

Интервалы				характер графика
	-	+	-	возрастает, выпукла
	0	+	-
	+	+	-	возрастает, выпукла
	122.5	0	-	относительный максимум
	+	-	-	убывает, выпукла
	0	-	-
	-	-	-	убывает, выпукла

Проходя через точку максимума производная функции меняет знак с (+) на (-)

Точка максимума (5: 122.5)

Таким образом 122.5 - максимальная высота, на которую поднимется тело если v0 = 49м.сек, g = 9,8 м/сек2

Контрольное задание № 10

Область определения: множество всех действительных чисел.

Первая производная:

Вторая производная:

Точки пересечения с осью x: ; ;

Точки пересечения с осью y:

Вертикальные асимптоты: нет

Горизонтальные асимптоты: нет

Наклонные асимптоты: нет

Критические точки: x=-0.5; x=0

Возможные точки перегиба: ;

Точки разрыва: нет

Функция четная, график симметричен относительно оси y

Относительный максимум (0; 0)

Интервалы				характер графика
	+	-	+	убывает, вогнута
	0	-	+
	-	-	+	убывает, вогнута
	-0.125	0	+	относительный минимум
	-	+	-	убывает, вогнута
		-	0	точка перегиба
	-	+	-	возрастает, выпукла
	0	0	-	относительный минимум
	-	-	-	убывает, выпукла
		-	0	точка перегиба
	-	-	+	убывает, вогнута
	-0.125	0	+	относительный минимум
	-	+	+	возрастает, вогнута
	0	+	+
	+	+	+	возрастает, вогнута



Контрольное задание №11

а)

б)

в)

Контрольное задание №12

Контрольное задание №13

Объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг оси Oy.

Решение.

Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Oy площади OAB, равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.

Обозначим объем тела вращения через Vy; тогда на основании формулы имеем , где 0 и b - абсциссы точек B и A. Из уравнения эллипса находим . Отсюда

Таким образом, искомый объем равен .

Лабораторная работа №5

x	-2,5	-2	-1,5	-0,71	-0,5	-0,29	0	0,29	0,5	0,71	1,5	2	2,5
y	71,875	28	7,875	0,004	-0,125	-0,069	0	-0,069	-0,125	0,004	7,875	28	71,875



Размещено на Allbest.ru