Методы решения задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Дан треугольник АВС: А(6; -3), В(9;2), С(3;1). Найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол А с точностью до градуса;

3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4) точку пересечения высот;

5) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

7) Сделать чертеж.

Решение

1) Найдем координаты вектора :

.

Длина стороны АВ равна

.

2) Внутренний угол А будем искать как угол между векторами и :

.

Тогда угол .

3) Прямая проходит через точку С(3;1) и имеет нормалью вектор .

По формуле

получим уравнение высоты:

,

,

- уравнение СК.

Длину высоты будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле

получим

,

- уравнение прямой АВ.

Воспользуемся формулой

.

.

4) Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .

,

.

Координаты точки Р найдем как решение системы:

, ,

Р(5; -5).

5) Координаты основания медианы будут:

,

,

М(7,5;-2,5).

Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.

,

,

- уравнение медианы СМ.

6) Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.

Найдем уравнения ВС и АС по формуле



.

, ,

- уравнение ВС.

, ,

- уравнение АС.

- уравнение АВ.

Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:

3-1,3•1-11,7=-100

Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .

Аналогично для прямых ВС и АС.

; .

; .

Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:

.



Ответ:

1) ;

2) ;

3) ; ;

4) Р(5;-5);

5) ;

6) .

Задание 2

Даны векторы . Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.

Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :

.

Определитель Д?0, следовательно - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .

Для нахождения координат вектора в этом базисе, достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в котором ставим значение за знаком равенства:

Теперь последовательно при помощи элементарных преображений, преобразуем левую часть матрицы (4х4) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты, находящиеся на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единицы).

Вычтем первую строку из всех строк, которые находятся ниже неё , это действие не противоречит элементарным преобразованиям матриц.



Вычтем третью строку из всех строк, которые находятся ниже. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матриц.

Вычтем четвертую строку, из всех строк, которые находятся выше неё. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матриц.

Вычтем третью строку из всех строк, которые находятся выше неё. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матриц.

Вычтем вторую строку из всех строк, которые находятся выше неё. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матриц.



Приведем все коэффициенты главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящейся на главной диагонали, если он не равен 1.

Числа полученные правее единичной матрицы и будут решением:

Вектор в базисе имеет координаты .

Ответ: Определитель Д?0, следовательно - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .

Задание 3

Найти производные функций:

а)



б)

в)

г)

Задание 4

Исследовать функцию и построить график.

.

1) Область определения (

2) Для того, чтобы выявить является ли функция четной необходимо проверить выполняется ли равенство

, f(-x)?f(x).

.

, -f(x)?f(x)

Функция является ни четной ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осью ОХ при y=0

Уравнение - не имеет действительных корней значит график f(x) не пересекает ось абсцисс- из этого можно сделать вывод, что график функции либо весь расположен над осью абсцисс (функция всюду положительна), либо весь под ней (функция всюду отрицательна),очевидно что дробь , при любых x принимает положительное значение, значит график функции весь располагается над осью абсцисс.

Найдем точки пересечения графика с осью ординат при х=0.

.

С осью ординат график пересекается в точке (0;0,2)

4) Промежутки возрастания и убывания функции, монотонность.

.

.

.

.

.

.

.



Получим две критические точки. Так как на промежутке от ( ;-0,41) и на промежутку от (2,41;) ,то на этих промежутках функция убывает, так как на промежутке (-0,41; 2,41),

- то на этом промежутке функция возрастает.

Исследуем функцию на монотонность:

алгебра задача функция экстремум

5) Точки экстремума.

При переходе через критическую точку х =(-0,41) производная меняет свой знак, следовательно в этой точке функция имеет минимум, в точке х = 2,41фуекция имеет максимум. Значение функции в точки экстремума.

Ymax(2,41)=5,8

Ymin (-0,41)=0,17

6) Точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

.

=0

.

.

.

=3.

На интервале (-?; -1,73) график функции выпуклый, так как .

На интервале (-1,73; 1,73)график функции вогнут , так как .

На интервале (1,73; 3) график функции выпуклый, так как , на этом интервале находится точка перегиба (2,41; 5,8).

На интервале (3; +?)график функции вогнут, так как .

7) Асимптоты.

=1.

Горизонтальная асимптота.

Так как функция определённа и непрерывна на всей числовой оси, вертикальных асимптот нет.

=0

=1.

Наклонная асимптота.

8) Построим график функции.

Задание 5.

Найти неопределенные интегралы:



А)

Б)

B)

Г)

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции.

Найдем точки пересечения, решив систему:

Приравнивая части получим уравнение:

-1=0

.

.

Тогда координаты точек пересечения: А(1;0), В(-1;4).

следовательно:

Ответ: S=

Размещено на Allbest.ru