Визначники n-го порядку та їх застосування

1

32

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначники n-го порядку та їх застосування

План

Вступ

1. Визначники. Обчислення. Властивості

1.1 Поняття визначника.

1.2 Обчислення визначників.

1.3 Основні властивості визначників.

2. Алгебраїчне доповнення. Мінор.

3. Поняття матриці і визначника другого порядку. Рівність визначника нулю.

4. Ранг матриці.

5. Обернена матриця та її обчислення методом алгебраїчних доповнень.

6. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Рішення систем по формулах Крамера.

7. Аналітична геометрія. Координатний метод. Пряма лінія на площині

8. Математичний аналіз. Функція. Класифікація функцій

Література

Вступ

Визначники вперше були введені для розв'язання системи рівнянь першого ступеня. У 1750 році швейцарський математик Г. Крамер дав загальні формули, що виражають невідомі через Визначники , складені з коефіцієнтів системи. Приблизно через сто років теорія визначників, вийшовши далеко за межі алгебри, стала застосовуватися у всіх математичних науках.

Початок періоду елементарної математики відносять до VI-V століття до нашої ери. Був накопичений до цього часу досить великий фактичний матеріал. Розуміння математики, як самостійної науки виникло вперше в Древній Греції.

Протягом цього періоду математичні дослідження мають справи лише з досить обмеженим запасом основних понять, що виникли для задоволення найпростіших запитів господарського життя. Розвивається арифметика - наука про число.

У період розвитку елементарної математики з'являється теорія чисел, що виросла поступово з арифметики. Створюється алгебра, як буквене числення. Узагальнюється праця великого числа математиків, що займаються рішенням геометричних задач у струнку і строгу систему елементарної геометрії - геометрію Евкліда, викладену в його чудовій книзі «Початки» (300 років до н.е.).

У XVII столітті запити природознавства і техніки привели до створення методів, що дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних фігур. З уживання змінних величин в аналітичній геометрії і створення диференціального й інтегрального числення починається період математики змінних величин. Великим відкриттям XVII століття є введена Ньютоном і Лейбницем поняття «нескінченно малої величини», створення основ аналізу нескінченно малих (математичного аналізу).

На перший план висувається поняття функції. Функція стає основним предметом вивчення. Вивчення функції приводить до основних понять математичного аналізу: межі, похідної, диференціалу, інтегралу.

До цього часу відносяться і поява геніальної ідеї Р. Декарта - методу координат. Створюється аналітична геометрія, що дозволяє вивчати геометричні об'єкти методами алгебри й аналізу. З іншої сторони метод координат відкрив можливість геометричної інтерпретації алгебраїчних і аналітичних фактів.

Подальший розвиток математики призвів на початку ХІХ століття до постановки задачі вивчення можливих типів кількісних відносин і просторових форм із досить загальної точки зору.

визначник матриця рівняння функція

1. Визначники. Обчислення. Властивості.

1.1 Поняття визначника

Насамперед необхідно запам'ятати, що визначники існують тільки для матриць квадратного виду, тому що для матриць іншого типу не існує визначників. У теорії систем лінійних рівнянь і в деяких інших питаннях зручно використовувати поняття визначника, чи детермінанта.

Визначником (детермінантом ) квадратної матриці  називається число, що ставиться у відповідність цій матриці і обчислюється за її елементами у відповідності з наступними означеннями:

1) Визначником матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї матриці.

2) Визначником матриці п-го порядкуназивається число

(1.1)

де det A детермінант матриці  порядку п-го що одержується шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпчика. Формула (1.1) дає розклад визначника за елементами i-го рядка, де i=1,2,3,…n. Ця формула зводить визначник матриці -го порядку до обчислення визначників квадратних матриць -го порядку, а далі, за тією ж формулою ми виразимо  через визначники матриць порядку . Можна продовжувати цей процес, поки не прийдемо до матриць першого порядку, для яких детермінант

визначено безпосередньо.

Числа називаються алгебраїчними доповненнями до елементів Можна також розкладати визначник за елементами j-го стовпчика за формулою

(1.2)

1.2 Обчислення визначників

Розглянемо яку-небудь четвірку чисел, записаних у виді матриці по двох рядках і по двох стовпцях, чи Визначником детермінантом, складеним з чисел цієї таблиці, називається число ad--bc, що позначається так: . Такий визначник називається визначником другого порядку, оскільки для його складання узята таблиця з двох рядків і двох стовпців. Числа, з яких складений визначник, називаються його елементами; при цьому говорять, що елементи a і d складають головну діагональ визначника, а елементи b і c його побічну діагональ. Видно, що визначник дорівнює різниці добутків пари елементів, що стоять на його головній і побічній діагоналях . Визначник третього і будь-якого іншого порядку знаходиться приблизно також, а саме: Припустимо, що в нас є квадратна матриця

А= .

Визначником наступної матриці є таке вираження : a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31.. Як ви бачите він прораховується досить легко, якщо запам'ятати визначену послідовність. З позитивним знаком йдуть головна діагональ і трикутники, що утворяться з елементів, що мають рівнобіжну головної діагоналі сторону, у даному випадку це трикутники a12a23a31, a13a21a32.

З негативним знаком йдуть побічна діагональ і трикутники їй рівнобіжні, тобто a11a23a32 , a12a21a33. У такий спосіб знаходяться визначники будь-якого порядку. Але бувають випадки, коли і цей метод стає досить складним, наприклад, коли елементів у матриці дуже багато, і для того, щоб порахувати визначник потрібно затратити багато часу й уваги.

Існує більш легкий спосіб обчислення визначника n-ого порядку, де n 2. Домовимося називати мінором будь-якого елемента Aij матриці n-ого порядку визначник, що відповідає тій матриці, що виходить з матриці в результаті викреслювання i-й рядка і j-ого стовпця ( того рядка і того стовпця, на перетинанні яких коштує елемент Aij ). Мінор елемента Aij будемо позначати символом . У цьому позначенні верхній індекс позначає номер рядка, нижній - номер стовпця, ф риса над M означає, що зазначені рядок і стовпець викреслюються. Визначником порядку n, що відповідає матриці, назвемо число, рівне і познача символом

.

Теорема 1.1 Який би не був номер рядка i ( i =1, 2 …, n ), для визначника n-ого порядку справедлива формула

= det A =

називана розкладанням цього визначника по i-й рядку. Підкреслимо, що в цій формулі показник ступеня, у яку зводиться число (-1), дорівнює сумі номерів рядка і стовпця, на перетинанні яких коштує елемент Aij.

Теорема 1.2 Який би не був номер стовпця j ( j =1, 2 …, n ), для визначника n-го порядку справедлива формула

= det A =

називана розкладанням цього визначника по j-ому стовпці.

1.3 Основні властивості визначників

У визначників також є властивості, за допомогою яких задача їхнього обчислення стає більш легкою. Отже, нижче встановлюється ряд властивостей, якими володіє довільний визначник n-го порядку.

1. Властивість рівноправності рядків і стовпців. Транспонуванням будь-якої чи матриці визначника називається операція, у результаті якої міняються місцями рядки і стовпці зі збереженням порядку їхнього проходження. У результаті транспонування матриці A виходить матриця, називається матриця, називана транспонованої стосовно матриці A і позначається символом A .

Перша властивість визначника формулюється так : при транспонуванні величина визначника зберігається, тобто = .

2. Властивість антисиметрії при перестановці двох рядків ( чи двох стовпців ). При перестановці місцями двох рядків ( чи двох стовпців ) визначник зберігає свою абсолютну величину, але змінює знак на протилежний. Для визначника другого порядку ця властивість перевіряється елементарно ( з формули обчислення визначника другого порядку відразу випливає, що визначники відрізняються лише знаком ).

3. Лінійна властивість визначника. Будемо говорити, що деякий рядок (a) є лінійною комбінацією двох інших рядків ( b і c ) з коефіцієнтами і . Лінійна властивість можна сформулювати так : якщо у визначнику n-го порядку якась i-я рядок є лінійною комбінацією двох рядків з коефіцієнтами і , те = + , де

- визначник, у якого i-я рядок дорівнює однієї з двох рядків лінійної комбінації, а всі інші рядки ті ж, що й у , а - визначник, у якого i-я рядок дорівнює другий із двох рядків, а всі інші рядки ті ж, що й у .

Ці три властивості є основними властивостями визначника, що розкривають його природу. Наступні п'ять властивостей є логічними наслідками трьох основних властивостей.

Наслідок 1. Визначник із двома однаковими рядками ( чи стовпцями ) дорівнює нулю.

Наслідок 2. Множення всіх елементів деякого рядка ( чи деякого стовпця ) визначника на число a рівносильно множенню визначника на це число a. Іншими словами , загальний множник всіх елементів деякого рядка ( чи деякого стовпця ) визначника можна винести за знак цього визначника.

Наслідок 3. Якщо всі елементи деякого рядка ( чи деякого стовпця ) дорівнюють нулю, то і самому визначнику дорівнює нулю.

Наслідок 4. Якщо елементи двох рядків ( чи двох стовпців ) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Наслідок 5. Якщо до елементів деякого рядка ( чи деякого стовпця ) визначника додати відповідні елементи іншого рядка ( іншого стовпця ), множення на довільний множник , то величина визначника не змінюється. Наслідок 5, як і лінійна властивість, допускає більш загальне формулювання, що я приведу для рядків : якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи рядка, що є лінійною комбінацією декількох інших рядків цього визначника ( з якими завгодно коефіцієнтами ), те величена визначника не зміниться. Наслідок 5 широкий застосовується при конкретному обчисленні визначників.

2. Алгебраїчне доповнення. Мінор

Мінором Мij елемента аij називається визначник, отриманий з даного шляхом викреслювання i рядка j стовпця, тобто того рядка і того стовпця, на перетинанні яких коштує елемент аij. Мінор Мij є визначник порядку на одиницю нижче вихідного.

Наприклад, у визначнику, Мінором до елемента 4 є

М13= = = 10+2=12.

Алгебраїчне доповнення Аij є мінор Мij , помножений на (-1)i+j, тобто

Аij = (-1)i+j Mij

У приведеному прикладі А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4 * = 10+2=12.

У даному випадку Мінор і алгебраїчне доповнення до елемента 4 збіглися.

Продовжимо виклад властивостей визначників.

Величина визначника дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на відповідне алгебраїчне доповнення цих елементів.

Наприклад, = а11*А11 +а12*А12+а13*А13; права частина рівності називається розкладанням визначника по елементах першого рядка.

Сума добутків елементів рядка на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка дорівнює нулю.

Наприклад,

а11 А21+а12А22+а13А23=0

Перераховані властивості визначників справедливі для визначників будь-якого порядку.

Приклад. Обчислити визначник двома способами.

перший спосіб.

= 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 - (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 - (20 - 8+9) = 19 - 21= -2.

Другий спосіб. Розкладемо визначник по елементах другого стовпця.

= -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2 + 5(-1)2+2 +(-1)3+2 = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) - (-8 - 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 - 50 = -2.

3. Поняття матриці і визначника другого порядку. Рівність визначника нулю

Прямокутну таблицю з чисел, що містить довільне число т рядків і довільне число і стовпців, називають матрицею. Для позначення матриці використовують або здвоєні вертикальні риски, або круглі дужки. Наприклад:

1 7 9.2 1 7 9.2

20 18 28 20 18

-6 11 2 -6 11 2

Якщо число рядків матриці збігається з числом її стовпців, то матриця називається квадратної. Числа, що входять до складу матриці, називають її елементами.

Розглянемо квадратну матрицю, що складається з чотирьох елементів:

(3.1)

Визначником другого порядку, що відповідає матриці (3.1), називається число, рівне - і познача символом

Отже, по визначенню

= - (3.2)

Елементи, що складають матрицю даного визначника, звичайно називають елементами цього визначника.

Справедливо наступне твердження: для того щоб визначник другого порядку був дорівнює нулю, необхідно і досить, щоб елементи його рядків (чи відповідно його стовпців) були пропорційні.

Для доказу цього твердження досить помітити, що кожна з пропорцій / = / і / = / еквівалентна рівності = , а последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

4. Ранг матриці

Нехай задано матрицю Атхп = А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k -- число, не більше чисел т і п, тобто k min (т, п).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перети-ні виділених рядків і стовпців, називається мінором k-гo порядку мат-риці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків її мі-норів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Атхп, причому

2) r (A) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці п-го порядку ранг дорівнює п тоді і тіль-ки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мі-норів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого по-рядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого по-рядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори по-рядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k-l.

Приклад

Знайти ранг матриці



О Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля) тому r (А) 1.

Оскільки один з мінорів другого порядку

а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то r (А) = 2. *

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Про-стіший метод ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1]:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи друго-го рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

5. Обернена матриця та її обчислення методом алгебраїчних доповнень

Визначення. Квадратна матриця В називається оберненою стосовно матриці А такого ж розміру, якщо

АВ = ВА = Е. (1)

Приклад. , .

В - матриця обернена до А.

Теорема. Якщо для даної матриці обернена існує, то вона визначається однозначно.

Припустимо, що для матриці А існують матриці Х и У, такі, що

АХ = ХА = Е (2)

АУ = УА = Е (3)

Множачи одне з рівностей, наприклад, АХ = Е ліворуч на В, одержимо В(АХ) = УЕ. У силу ассоциативности множення маємо (УА)Х = УЕ. Оскільки УА = Е, те ЕХ = УЕ, тобто Х = У. Теорема доведена.

Теорема (необхідна і достатня умова існування обнрненої матриці).

Обернена матриця А-1 існує тоді і тільки тоді, коли вихідна матриця А невирождена.

Необхідність. Нехай для матриці А існує обернена А-1, тобто

А А-1 = А-1 А = Е. Тоді, А А-1= А А-1=Е=1, тобто А 0 і А-1 0; А - невирождена.

Достатність. Нехай дана невирождена матриця порядку n

,

так що її визначник 0. Розглянь матрицю, складену з алгебраїчних доповнень до елементів матриці А:

,

її називають приєднаної до матриці А.

Варто звернути увагу на те, що алгебраїчні доповнення до елементів i-ої рядка матриці А коштують у i-ом стовпці матриці А*, для .

Знайдемо добуток матриць АА* і А*А. Позначимо АА* через З, тоді по визначенню добутку матриць маємо: Сij = аi1А 1j + а i2А 2j + … + а inАnj; = 1, n: j = 1, n.

При = j одержимо суму добутків елементів - ой рядка на алгебраїчні доповнення цього ж рядка, така сума дорівнює значенню визначника. У такий спосіб Сij = |А| = - це елементи головної діагоналі матриці С. При j, тобто для елементів Сij поза головною діагоналлю матриці З, маємо суму добутків всіх елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення іншого рядка, така сума дорівнює нулю. Отже,

 = АА*

Аналогічно доводиться, що добуток А на А* дорівнює тій же матриці С. Таким чином, маємо А*А = АА* = С. Звідси випливає, що

Тому, якщо як оберенену матрицю взяти , то Отже, зворотна матриця існує і має вид:

.

Приклад. Знайдемо матрицю, оберненну до даного:

Знаходимо = |А| = -1 0, А існує. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

А = = 0 ; А = = -1; А = = 3;

А = = -3; А = = 3; А = = -4;

А = = 1; А = = -1; А = = 1;

А =

6. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Рішення систем по формулах Крамера

Система лінійних алгебраїчних рівнянь має вид:і

а11х1 + а12х2 + а13х3 = у1

а21х1 + а22х2 + а23х3 = у2

а31х1 + а32х2 + а33х3 = у3

Це система трьох рівнянь із трьома невідомими х1, х2, х3. Речовинні числа аij (i = , j = ) називаються коефіцієнтами системи. у1, у2, у3 - вільні члени. Якщо хоча б одне з чисел у1, у2, у3, відмінно від нуля, система називається неоднорідної. Якщо усі вільні члени дорівнюють нулю, то система має вид:

а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0

а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0

а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0

і називається однорідної.

По формулі Крамера зважуються тільки неоднорідні системи.

Визначник системи Д називається визначник, складений з коефіцієнтів системи:

Д =

Якщо визначник системи Д не дорівнює 0, то система має єдине рішення, що знаходиться по формулах:

Х1 = Дх1/ Д; х2== Дх2/ Д; х3== Дх3/ Д; де

Дх1= ; Дх2= ; Дх3= .

Якщо визначник системи = Д дорівнює нулю, і хоча б один з визначників ?х1=?х2=?х3 відмінний від нуля, то система несовместна.

Якщо визначник системи ?=0, і ?х1=?х2=?х3=0, то система має нескінченну безліч рішень. (невизначена система).

Приклад. Вирішити систему рівнянь:

Х + 2у - z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

Обчислимо визначник системи ? = = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) - (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 - (-1 + 8 - 18) = 19+11 = 30.

Система має єдине рішення, тому що визначник ? = 30 ? 0.

Обчислимо визначники ?х, ?у, ?z.

?х = = 5; ?у = = 13; ?z = = 1.

По формулах Крамера знаходимо рішення системи:

Х = ?х/? = 5/30 = 1/6; у = ?у/? = 13/30; z = ?z/? = 1/30;

Відповідь: рішення системи (1/6; 13/30; 1/30).

По формулах Крамера можна вирішити систему n лінійних рівнянь з n невідомими.

Приклад Вирішити систему рівнянь.

х - у+z=1

х + у - z=2

5х + у - z=7

Складемо й обчислимо визначник системи ?= = 0.

Обчислимо визначники ?х, ?у, ?z.

?х = = 0, ?у = = -2

Т.к. визначник ?у= -2 ? 0, ми робимо висновок: Система несовместна, тобто вона не має рішення.

7. Аналітична геометрія. Координатний метод. Пряма лінія на площині

Аналітична геометрія - область математики, що займається вивченням геометричних задач методом координат. Основна ідея аналітичної геометрії просте: положення крапки на площині можна описати двома числами і, таким чином, перевести будь-як твердження про крапки у твердження про числа. Основоположниками методу координат прийнято вважати Рене Декарта (1596-1650) і Пьера Ферма (1601-1665).

Декартова прямокутна система координат на площині задається так: вибираються дві взаимоперпендикулярные прямі з обраним позитивним напрямком на кожній прямій - осі координат, крапка перетинання прямих - початок координат. Вибирається на осях координат одиниця масштабу.

Рис 1 Вісь ох - вісь абцисс.Вісь оу - вісь ординат О - крапка перетинання осей, початок координат.

Положення всякої крапки площини визначається її відстанню від осей координат. Ці відстані називаються координатами крапки. Наприклад, крапка М має координати х и у - М(х,у). Рис 1.

х - абцисса крапки М, у - ордината крапки М.

Координатам приписують знаки, що залежать від розташування крапки в різних частинах координатної системи.

Приклад. Побудувати крапки: А(3,2); У(-1,4); З(-2,0); Д(-1,-1/2); Е(1,-1).

Рис 2.

0

Відстань між двома крапками на площині М1(х1,у1) і М2(х2,у2) визначається по формулі

М1М2 = (х2-х1)2+(у2-у1)2.

Наприклад, знайти АВ, якщо А (1,2); У (-2,-2). Використовуючи формулу, одержимо

АВ=корінь = = = =5.

Співвідношення, що характеризує залежність між координатами х и у крапок кривої називається рівнянням цієї кривої. Наприклад: у+2х-1=0 - рівняння прямої, х2+у2=4 - рівняння окружності.

Координати будь-якої крапки, що лежить на кривій, задовольняють рівнянню кривої, а координати крапок, на кривої не лежачої, рівнянню не задовольняють. Наприклад, перевіримо чи лежить крапка А (1,2) і В (0,1) на прямій у+2х-1=0. Для цього підставимо координати кожної крапки в рівняння прямої.

А(1,2)-2+2-1 0, висновок: крапка А не належить прямої.

У(0,1)-1-1=0, висновок: крапка В лежить на прямій.

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо перемінних х и у, називається лінійним, воно є рівняння прямої лінії.

Ах+Ву+З=0, де А, У, З - речовинні числа, є загальне рівняння прямої.

Наприклад, х+у-1=0, у=2х, х=3, у= -1. Ці рівняння - є рівняння прямих.

Побудуємо ці прямі на площині Рис 3. Положення будь-якої прямої визначається двома крапками. Знайдемо крапки перетинання прямої х+у-1=0 з осями координат.

А(0,1); У(1,0). Через ці крапки проводимо пряму.

У=2х - пряма проходить через початок координат, тому що координати початку ПРО(0,0) задовольняють рівнянню прямої, підберемо крапку З(1,2) - лежачу на прямій, проведемо пряму через крапки О и С. Рис 4.

0

Пряма х=3 рівнобіжна осі оу, пряма в=-1 рівнобіжна осі ох. Рис 5.

0

8. Математичний аналіз. Функція. Класифікація функцій

Визначення. Розглянемо дві безлічі Х и У, елементами яких можуть бути будь-як об'єкти. Запропонуємо, що кожному елементу х безлічі Х за деяким законом чи способу поставлений у відповідність визначений елемент у безлічі В, те говорять що на безлічі Х задана функція в = ?(х), (чи відображення безлічі Х у безліч У).

Безліч Х називається областю визначення функції ?, а елементи в = ?(х) утворять безліч значень функції - У.

х - незалежна перемінна (аргумент).

у - залежна перемінна,

ѓ - закон відповідності, знак функції.

Нехай Х и У безлічі речовинних чисел.

Приклад. Знайти область визначення й область значень функції в = х2 + 1

Областю визначення функції є безліч Х = (-?, ?), область значень є безліч У = [0, ?).

Приклад 2. Знайти область визначення функції в = 1/(х2 - 5х + 6).

Рішення: Знайдемо значення х, у яких знаменник звертається в нуль.

х2 - 5х + 6=0. х1 = 2, х2=3.

Функція не існує в цих крапках. Областю визначення є об'єднання таких безлічей:

(-?, 2) U (2, 3) U (3, ?).

Приклад 3. Знайти область визначення функції в= log3(х - 1).

Рішення: х - 1 >0, х>1. Запишемо рішення у виді інтервалу: (1, ?) - область визначення функції.

Приклад 4. Дано функцію f (х) = |х + 2|/х - 1. Знайти значення функції в крапках

х = -2, х = -3, х = 1, х = 0.

Рішення: f(-2) = |-2+2| / (2-1) = 0/1 = 0; f (-3) = |-3+2| / (3 - 2) = | - 1| / 1= 1;

f(1) = |1+2| / (1 - 1) = 3/0,

крапка х = 1 в область визначення функції не входить, тому що знаменник у цій крапці звертається в 0.

f (0) = |0 + 2| / (0-1) = 2/ -1 = -2.

Приклад 5. Дано функцію

f(х) = 3х2 + х - 1.

Знайти значення цієї функції при

1) х=а2 - 1, 2) х = 1/t.

1)f(а2 - 1) = 3(а2 - 1)2 + а2 - 1 - 1=3а4 - 6а2 + 3 + а2 - 2 = 3а4 - 5а2 + 1.

2) f (1/t) = 3(1/t2) + 1/t - 1 = (3 + t - t2)/t2.

Основні елементарні функції.

Усі функції, з якими зустрічаємося в шкільному курсі, елементарні. Перелічимо їх:

у = хп, у = х -п, у = хм/п, де п, Є N, м Є Z.

Ці функції називаються статечними.

Показова функція в = ах, а > 0, а ? 1.

Логарифмічна функція в = logах, а>0, а ? 1

Тригонометричні функції в = sin х, у = cos х , у = tg х, у = ctg х.

Складна функція. (суперпозиція функцій).

Нехай функція в = f(u) є функція від перемінної u, визначена на безлічі U з областю значень - У, а перемінна u = ц(х) функція від перемінної х, визначеної на безлічі Х с областю значення U. Тоді задана на безлічі Х функція в = f(ц(x)) називається складною функцією (функцією від функцій). Наприклад, у = lg sin 3х. Цю складну функцію від х можна розписати, як ланцюжок простих функцій: у= lg u, u = sin t, t = 3x.

Поняття елементарної функції. Функції побудовані з основних елементарних функцій за допомогою кінцевого числа алгебраїчних дій називаються елементарними.

Наприклад,

у = )/(sin2х+3) чи в = 2 - tg х.

Прикладом неелементарної функції є функція в = |х|. Її графік представлений на мал. 3.

1

32

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.3

Класифікація функції. Елементарні функції поділяються на два класи.

1 клас алгебраїчних функцій:

а) у = А0хп + А1хп-1 + А2хп-2 + … + Ап-1х + Ап, це багаточлен (поліном) п - чи ступені ціла алгебраїчна функція, де А0, А1, А2, … , Ап - речовинні числа, коефіцієнти багаточлена.

б) у = ( А0хп + А1хп-1 + … + Ап)/(У0хм + У1хм-1 + … +Вм), це дробно - раціональна функція, вона являє собою відносини двох багаточленів.

в) Ірраціональна функція, наприклад, у = + х2.

2 клас трансценденных функцій.

а) у = ах, а > 0, а ?1, показова функція,

б) у = logах, а> 0, а ?1, логарифмічна функція,

в) усі тригонометричні функції,

г) усі зворотні тригонометричні функції,

д) функції виду в = х , де L - ірраціональне число. Наприклад, у = хр.

Література

1. Гантмахер Ф.Р. «Теория матриц, Гостехиздат» М., 1954.

2. Куликов Л.Я. « Алгебра и теория чисел» М., Высшая школа, 1989.

3. Курош А.Г. « Курс высшей алгебры» Издание 6.

4. Мальцев А.И. « Основы линейной алгебры» Гостехиздат, 1975.

5. Мишина А.П. « Проскуряков И.В.» Высшая алгебра,

6. Издательство физико-математической литературы, М., 1962.

Размещено на Allbest.ru