Теория вероятности и математическая статистика в теории надежности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Основные положения теории вероятности в теории надежности. Основные теоремы теории вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез. Формула Бейеса

2. Обработка статистических данных про надежность элементов. Критерий согласия при оценке статистических гипотез

3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность

4. Законы распределения случайных величин и их характеристика

1. Основные положения теории вероятности в теории надежности

Случайные события.

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением».

При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Характерна для них большая, по сравнению с другими, степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление- это такое явление, которое при не однократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по иному

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события, а конкретнее понятие вероятности события в самой своей основе связанно с опытным практическим понятием частоты события.

В качестве единицы измерения примем вероятность достоверного события равную 1, тогда вероятность других возможных, но не достоверных событий будет характеризоваться вероятностью меньше 1.Естественно, что вероятность невозможного события равна 0.

Если есть возможность провести эксперимент и посчитать сколько случайных исходов эксперимента привели к появлению события А, то можно оценить вероятность события А по формуле:

Р (А) = ,

где Р(А) - вероятность события А;

m А - число случаев, благоприятных событию А;

n - общее число случаев.

Основные теоремы теории вероятности.

1. Полная группа событий - это несколько событий в данном опыте, образующих полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

2. Несовместные события, несколько событий называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

3. Равновозможные события. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если есть основание считать, что не одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

4. Противоположные события называются два несовместных события, образующих полную группу.

5. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит, произошло ли событие В или нет.

6. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

7. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее из выполнения события А или В, или обоих событий вместе.

8. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

9. Произведение двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

10. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А+В) = Р(А)+Р(В)

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий.

= ,

т.е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Два следствия:

Следствие 1: если А, А, … , А образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятности равна единице:

Следствие 2: сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 1. Устройство состоит из трёх последовательно включённых блоков. При выходе из работы одного из блоков теряет работоспособность вся цепь. Вероятность выхода из строя первого элемента 0.01, второго - 0.008, третьего - 0.025.

Найти вероятность того, что электрическая цепь выйдет из строя.

Решение.

Рассмотрим все возможные события:

Р (А) - это вероятность выхода из строя электрической цепи. Это событие произойдёт, если:

1) Р (А) - вероятность выхода из строя первого блока;

2) Р (А) - вероятность выхода из строя второго блока;

3) Р (А) - вероятность выхода из строя третьего блока.

Вероятность выхода из строя электрической сети находим по теореме сложения вероятностей:

Р

Р(А) = 0.01 + 0.008 + 0.025 = 0.043

Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность.

Вероятность события А вычисленной при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (В/А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого вычисления при условии, что первое имело место:

Следствие 1: если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

Пример 2. Пожарная сигнализация имеет три индикатора, которые дублируют друг друга. Вероятность выхода из строя каждого индикатора за время t= 0.01.

С какой вероятность, к моменту времени t, выйдут из строя все три индикатора?

Решение.

Событие А - выход из строя всех индикаторов, состоится при условии:

событие А - выход из строя первого индикатора;

событие А - выход из строя второго индикатора;

событие А - выход из строя третьего индикатора.

Р(А) = 0,01*0,01*0,01 = 10

Пример 3. Технологическая система содержит три подсистемы: А, В, С. Вероятность выхода системы из строя за время работы t для подсистемы А равно 0.2, для В - 0.3, для С - 0.4.

Подсчитать вероятность того, что к моменту времени t система сохранит работоспособность, если для того, чтобы она утратила работоспособность необходимо, чтобы вышли из строя все три подсистемы.

Решение.

Пусть Р (К) - вероятность того, что система будет работоспособной.

С помощью теоремы умножения находим Р (К) - вероятность того, что система выйдет из строя:

Р (К) = Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р (К) = 0,2*0,3*0,4 = 0,024

Тогда вероятность работоспособности системы будет равняться:

Р (К) = 1- Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р (К) = 1 - 0,024 = 0,976

Пример 4. Устройство состоит из двух модулей типа С и одного модуля типа Д. Выход каждого модуля из строя вызывает неисправность всего устройства, а вероятности выхода модулей из строя одинаковы.

Предположим, что устройство вышло из строя и необходимо устранить неисправность, проверяя это устройство по модульно.

Пусть событие А неисправность первого модуля типа С, событие В неисправность второго модуля типа С.

Определить вероятность события А, до того как произошло событие В и определить условную вероятность состояния А, после того как произошло событие В.

Решение.

Рассмотрим все случаи неисправности устройства:

С1	С2	Д
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	0	1
1	1	0
0	1	1
0	0	0

Вероятность события А - неисправность модуля С1:

Р(А) =

Вероятность состояния А после того как произошло событие В, выход из строя модуля С2:

Р(А/В) =

Пример 6. Определить вероятность произведения двух событий А и В из предыдущего примера.

Решение.

Вероятность события В равна:

Р(В) =

Тогда произведение двух событий определяется:

Р(В)* Р(А/В) = =

Пример 7. Прибор состоит из четырёх узлов: А1, А2, А3, А4. Причем узел А2 дублирует узел А1, а узел А4 дублирует узел А3. При отказе любого из основных узлов (А1, А3) происходит автоматическое переключение на дублирующий узел . Вероятность безотказной работы в течении заданного времени каждого из узлов равно соответственно: р, р, р, р.

А вероятность безотказной работы каждого из переключающих устройств равна р. Все элементы выходят из строя независимо друг от друга.

Определить вероятность безотказной работы прибора.

Решение.

Так как узлы А1 и А3 дублируются узлами А2 и А4, а вероятность переключающих устройств равна р, то вероятность безотказной работы можно записать:

Формула полной вероятности.

Р(А) =

Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий: Н; Н; …Н, образующих полную группу несовместимых событий. Будем эти события называть гипотезами. Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Пример 8. Работа генератора контролируется двумя регуляторами. Рассмотрим определённый период времени t, в течении которого желательно обеспечить работу генератора без отказов. При наличии обоих регуляторов генератор отказывает с вероятностью q. При работе одного из них вероятность - q, при работе только со вторым - q. При отказе обоих с вероятностью - q. Первый из регуляторов имеет вероятность безотказной работы р; второй - р. Все элементы выходят из строя независимо друг от друга.

Найти вероятность безотказной работы генератора.

Решение:

Событие А - безотказная работа генератора.

Рассмотрим гипотезы:

Н - работают оба регулятора;

Н - работает первый регулятор;

Н- работает второй регулятор;

Н - оба регуляторы не работают.

Вероятность гипотез равна:

Р(Н) = р*р;

Р(Н) = р*(1- р);

Р(Н) = р*(1- р);

Р (Н) = (1- р)*(1- р);

Р(А/ Н) = 1- q;

Р(А/ Н) = 1- q;

Р(А/ Н) = 1- q;

Р(А/ Н) = 1- q.

Тогда вероятность события А будет =:

Р(А) = (р* р)*(1- q) + ( р*(1- р))*(1- q) + (р*(1- р))*(1- q) + ((1- р)*(1- р))*(1- q).

Теорема гипотез. Формула Бейеса.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Бейеса. Представим себе следующую ситуацию: имеется полная группа несовместимых гипотез Н; Н;…Н. Вероятность этих гипотез до опыта известны равны соответственно Р(Н); Р(Н); …Р(Н). Произведён опыт, в результате которого имело место появление некоторого события А. Как следует изменить вероятности гипотез вместе с появлением этого события? Это значит, что надо найти условную вероятность Р(Н/А) для каждой гипотезы.

Пример 9. Имеется 3 урны; в первой 3 белых шара и 1 черный, во второй- 2 белых шара и 3 черных , в третьей- 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает изнее один шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные вероятности того, что шар вынут из 1-й,2-й,3-й урны.

Решение.

Гипотнзы;

H1=выбрана первая урна

H2=выбрана вторая урна

H3=выбрана третья урна

Так, как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез равны

Р(Н)= Р(Н)= Р(Н3)=1/3

В результате опыта появилось событие

А = из выбранной урны вынут белый шар.

Условие вероятности события А при гипотезах Н,Н,Н3.

P(A/H1)=3/4 P(A/H2)=2/5 P(A/H3)=1

Применяя формулу Бейеса, находим апостериорные гипотезы.

P(H2/A)=8/43; P(H3/A)=20/43.

Таким образом, в свете информации о появлении события А вероятности гипотез изменились: самой вероятной стала гипотеза Н3, наименование вероятной - гипотеза Н2.

2. Обработка статистических данных про надежность элементов

Математической статистика называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Любой такой результат можно представить как совокупность значений, принятых в результате n опытов какой-то случайной величиной или системой случайных величин.

Перед любой наукой ставятся, в порядке возрастания и важности, следующие задачи:

1)описание явлений;

2)анализ и прогноз;

3)выработка оптимальных решений.

Задача проверки правдоподобности гипотез ставится так: в нашем распоряжении имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайным величинам. Спрашивается, противоречат ли эти данные той или другой гипотезе? Например, гипотезе о том, что случайная величина Х распределена по закону с плотностью , или о том, что две случайные величины Х, У не коррелированны и т.п. Если мера отклонения R примет значение не меньше, чем то значение r, которое фактически зарегистрировано:

Если эта вероятность очень мала, то можно считать событие R r практически невозможным, а опытные данные противоречащими гипотезе; последнюю нужно отвергнуть. Если же она не мала, то опытный материал не противоречит выдвинутой гипотезе.

Таким образом, в результате проверки правдоподобия гипотез может быть сделан один из вариантов: 1) отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным; 2) не отбрасывать гипотезу, считать ее приемлемой.

Чтобы оценить точность и надежность оценки, нужно знать ее закон распределения.

В нашем случае необходимо обработать статистические данные про надежность 150 ламп:

3.34	3.45	3.15	1.65	3.36	2.24	4.18	2.89	1.75	2.7	3.13	3.23	3.36	2.45	3.37
3.29	3.06	2.6	2.26	3.69	2.72	3.27	3.66	3.04	3.72	3.08	3.46	2.96	3.9	2.65
2.5	2.57	3.65	3.08	2.66	3.98	2.32	2.01	2.82	3.32	2.79	3.04	3.32	2.2	2.42
2.79	2.55	3.24	2.59	2.89	3.37	4.55	3.65	2.94	3.14	3.25	3.48	2.07	3.24	3.46
3.43	2.39	3.02	2.8	2.39	3.53	2.87	2.88	2.71	2.58	1.63	2.82	3.27	3.18	3.69
3.73	3.42	2.95	3.41	2.75	2.55	2.99	2.16	3.47	3.01	2.42	3.3	3.02	2.67	2.87
2.7	2.52	3.4	3.45	3.23	3.58	2.57	2.78	2.75	3.33	3.54	2.47	3.13	3.37	2.18
3.64	2.75	3.32	2.86	2.91	2.96	3.31	2.44	2.89	1.64	2.95	2.3	3.71	3.64	2.85
3.8	2.98	3.35	3.64	2.3	2.82	2.62	2.93	3.18	2.84	3.82	2.84	2.8	2.66	2.32
2.98	2.52	2.9	3.49	2.47	2.73	2.68	1.69	3.44	3.27	3.11	3.79	3.49	3.03	3.81

По совокупности случайных чисел строим гистограмму.

Гистограмма - статистический анализ кривой распределения. Для построения гистограммы поделим весь диапазон значений величины Х на интервалы, количество которых определим по формуле:

,

где n - количество лампочек.

Для того, чтобы определить координаты границ интервалов необходимо воспользоваться следующими формулами:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

где х= 1,63 , а х= 4,55.

Гистограмма строится следующим образом: на оси абсцисс откладываются интервалы и на любом из интервалов строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала. Поэтому для построения гистограммы нужно частоту каждого интервала поделить на его длину и количество ламп, полученное число взять за высоту прямоугольника.

Из характеристик положения в теории вероятностей наибольшую роль играет математическое ожидание, которое иногда называют средним значением случайной величины.

Таблица Распределение данных по интервалам

Граница	X1-X2	X2-X3	X3-X4	X4-X5	X5-X6	X6-X7	X7-X8	X8-X9
mi	5	7	28	46	42	19	2	1
Pi	0.0333	0.0467	0.1867	0.3067	0.2800	0.1267	0.0133	0.007
hi	0.0799	0.1119	0.4475	0.7352	0.6712	0.3037	0.0320	0.016

Математическим ожиданием называется сумма всех возможных значений - деленная на их количество.

Находим математическое ожидание по формуле:

,

Дисперсия случайных величин = отношению квадрата разности случайной величины и математического ожидания к количеству случайных минус один.

Тогда дисперсия будет равна:

И среднеквадратическое отклонение находится по формуле:

Нормальное распределение.

Нормальным законом распределения (иногда называемым законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Говоря, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид:

,

где х - средина интервала.

F(x1) =0,01; F(x2)=0,07;

F(x3)=0,28; F(x4)=0,63;

F(x5)=0,75; F(x6)=0,47;

F(x7)=0,16; F(x8)=0,03;

F(x9)=0,01

Гистограмма и нормальный закон распределения показаны на рисунке.

Критерий согласия при оценке статистических гипотез.

Идея применения критерия согласия заключается в следующем. На основании данного статистического материала нам предстоит проверить гипотезу Н, состоящую в том, что случайная величина Х подчиняется некоторому закону распределения. Этот закон может быть задан в той или иной форме: например, в виде функции распределения или в виде плотности распределения , или же в виде совокупности вероятностей , где - вероятность того, что величина Х попадает в пределы i - того интервала.

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия - так называемый <критерий > Пирсона.

Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина Х приняла определенное значение. Результаты опытов сведены в к-интервалов и оформлены в виде статистического ряда.

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина Х имеет данный закон распределения.

Зная теоретический закон распределения, можно найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый из интервалов :

Теперь зная теоретическую вероятность определяем критерий согласия :

,

где - число значений в -м разряде.

Схема применения критерия к оценке согласованности теоретического и статистического распределений сводится к следующему:

1) Определяется мера расхождения по формуле;

2) Определяется число степеней свободы , как число разрядов минус число наложенных связей :

3) По и с помощью таблицы определяется вероятность того, что величина, имеющая распределение с степенями свободы, превзойдет данное значение . Если эта вероятность весьма мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать относительно не противоречащей опытным данным.

Граница	X1-X2	X2-X3	X3-X4	X4-X5	X5-X6	X6-X7	X7-X8	X8-X9
Pi	0.021	0.021	0.021	0.021	0.021	0.021	0.021	0.021

Критерий согласия в нашем случае будет равен:

В нашем случае число наложенных связей =3, тогда число степеней свободы будет равно:

= 8-3 = 5

По таблице с помощью и определили, что принадлежность опытных данных к нормальному закону распределения равна 0,0012(т.е.0,12%).

теория вероятность гипотеза

3. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

Заменяя и их оценками и , мы совершаем какую-то ошибку; интересно оценить эту ошибку и найти вероятность того, что она не превзойдет какого-то (эта величина характеризует точность оценки, а вероятность - ее надежность.)

Чтобы оценить точность и надежность оценки, нужно знать ее закон распределения. На наше счастье, он во многих случаях оказывается нормальным.

Среднее статистическое значения случайной величины Х:

Представляет собой сумму сравнительно большого числа n независимых случайных величин и, согласно центральной предельной теореме, имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием

И дисперсией:

И, значит, средним квадратическим отклонением:

Для того, чтобы приближенно найти параметры нормального закона, по которому распределяется оценка , можно, не вдаваясь в подробности, приближенно заменить в формулах неизвестные нам величины и их оценками и . Получим:

М; ; .

где - среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

Допустим, что случайная величина m имеет нормальное распределение, найдем приближенно вероятность того, что оценка m отклонится от своего математического ожидания меньше, чем на :

,

где - Ф(х) - функция Лапласа.

При обработке результатов n = 150 независимых опытов получены оценки математического ожидания и дисперсии ,015 и Доверительный интервал . Найти отклонение от математического ожидания .

= 0.043

Arg Ф((1+в)/2)=1,28

Ев=дm arg Ф(((1+в)/2))=0.043*1.28=0.055

Доверительные границы (Iв):

Доверительный интервал:

4.Законы распределения случайных величин и их характеристика

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайных величин образуют множество, которое мы будем называть множеством возможных значений случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности невозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет к какой-то интервал). Если с.в. Х имеет данный закон распределения, то про нее говорят, что она «распределена» по этому закону.

Наиболее простую форму распределения можно придать закону распределения дискретной случайной величины.

Рядом распределения случайной величины Х называется таблица, в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины Х: х,х…, х, а в нижней - вероятности этих значений: р,р…,р, где р- вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х принимает значение х ( i = 1, 2,…, n ).

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Ряд распределения (многоугольник распределения) могут быть поострены только для дискретной случайной величины.

Универсальным видам закона распределения, пригодным для любой случайной величины - дискретной, непрерывной или смешанной, является функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньше, чем заданное х:

Функция распределения F(x) любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1.

Размещено на Allbest.ru