Линейная зависимость и независимость. Базис плоскости и аффинная система координат

Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейная зависимость и независимость. Базис плоскости и аффинная система координат

Рассмотрим плоскость вашего компьютерного стола (просто стола, тумбочки, пола, потолка, кому что нравится). Задача будет состоять в следующих действиях:

1) Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора - лишка.

2) На основе выбранного базиса задать систему координат (координатную сетку), чтобы присвоить координаты всем находящимся на столе предметам.

Не удивляйтесь, сначала объяснения будут на пальцах. Причём, на ваших. Пожалуйста, поместите указательный палец левой руки на край столешницы так, чтобы он смотрел в монитор. Это будет вектор. Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же - чтобы он был направлен на экран монитора. Это будет вектор. Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Что можно сказать о векторах? Данные векторы коллинеарны, а значит, линейно выражаются друг через друга:, ну, или наоборот:, где- некоторое число, отличное от нуля.

Картинку сего действа можно посмотреть на уроке

Векторы для чайников, где я объяснял правило умножения вектора на число.

Будут ли ваши пальчикизадавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина.

Такие векторы называют линейно зависимыми.

Справка: Слова «линейный», «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т.д. Есть только линейные (1-ой степени) выражения и зависимости.

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда они коллинеарны.

Скрестите пальцы на столе, чтобы между ними был любой угол, кроме 0 или 180 градусов. Два вектора плоскостилинейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Итак, базисполучен. Не нужно смущаться, что базис получился «косым» с неперпендикулярными векторами различной длины. Очень скоро мы увидим, что для его построения пригоден не только угол в 90 градусов, и не только единичные, равные по длине векторы

Любой вектор плоскостиединственным образом раскладывается по базису:, где- действительные числа. Числаназывают координатами вектора в данном базисе.

Также говорят, что векторпредставлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражениеназывают разложением векторапо базисуили линейной комбинацией базисных векторов.

Например, можно сказать, что векторразложен по ортонормированному базису плоскости, а можно сказать, что он представлен в виде линейной комбинации векторов.

Сформулируем определение базиса формально: Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов,взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке. Базисы- это два совершенно разных базиса! Как говорится, мизинец левой руки не переставишь на место мизинца правой руки.

С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола. Почему недостаточно? Векторы являются свободными и блуждают по всей плоскости. Так как же присвоить координаты тем маленьким грязным точкам стола, которые остались после бурных выходных? Необходим отправной ориентир. И таким ориентиром является знакомая всем точка - начало координат. Разбираемся с системой координат:

Начну со «школьной» системы. Уже на вступительном уроке Векторы для чайников, я выделял некоторые различия между прямоугольной системой координат и ортонормированным базисом. Вот стандартная картина:

Когда говорят о прямоугольной системе координат, то чаще всего имеют в виду начало координат, координатные оси и размерность по осям. Попробуйте набрать в поисковике «прямоугольная система координат», и вы увидите, что многие источники вам будут рассказывать про знакомые с 5-6-го класса координатные оси и о том, как откладывать точки на плоскости.

С другой стороны, создается впечатление, что прямоугольную систему координат вполне можно определить через ортонормированный базис. И это почти так. Формулировка звучит следующим образом:

Точкаплоскости, которая называется началом координат, и ортонормированный базисзадают декартову прямоугольную систему координат плоскости. То есть, прямоугольная система координат однозначно определяется единственной точкой и двумя единичными ортогональными векторами. Именно поэтому, вы видите чертёж, который я привёл выше - в геометрических задачах часто (но далеко не всегда) рисуют и векторы, и координатные оси.

Думаю, всем понятно, что с помощью точки(начала координат) и ортонормированного базисаЛЮБОЙ ТОЧКЕ плоскости и ЛЮБОМУ ВЕКТОРУ плоскости можно присвоить координаты. Образно говоря, «на плоскости всё можно пронумеровать».

Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Нет, они могут иметь произвольную ненулевую длину. Рассмотрим точкуи два ортогональных векторапроизвольной ненулевой длины:

Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторамизадают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например,или. Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторыв общем случае имеют различные длины, отличные от единицы. Если длины равняются единице, то получается привычный ортонормированный базис.

Примечание: в ортогональном базисе, а также ниже в аффинных базисах плоскости и пространства единицы по осям считаются УСЛОВНЫМИ. Например, в одной единице по оси абсцисс содержится 4 см, в одной единице по оси ординат 2 см. Данной информации достаточно, чтобы при необходимости перевести «нестандартные» координаты в «наши обычные сантиметры».

И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ - обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов.

Точкаплоскости, которая называется началом координат, и неколлинеарные векторы,взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат плоскости:



Иногда такую систему координат называют косоугольной системой. В качестве примеров на чертеже изображены точкии векторы:

Как понимаете, аффинная система координат ещё менее удобна, в ней не работают формулы длин векторов и отрезков, которые мы рассматривали во второй части урока Векторы для чайников, многие вкусные формулы, связанные с оскалярным произведением векторов. Зато справедливы правила сложения векторов и умножения вектора на число, формулы деления отрезка в данном отношении, а также ещё некоторые типы задач, которые мы скоро рассмотрим.

А вывод таков, что наиболее удобным частным случаем аффинной системы координат является декартова прямоугольная система. Поэтому её, родную, чаще всего и приходится лицезреть.

Переходим к практической части. Все задачи данного урока справедливы как для прямоугольной системы координат, так и для общего аффинного случая. Сложного здесь ничего нет, весь материал доступен даже школьнику.

Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскостибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения.

Пример 1

а) Проверить, коллинеарны ли векторы.б) Образуют ли базис векторы?

Решение: а) Выясним, существует ли для векторовкоэффициент пропорциональности, такой, чтобы выполнялись равенства:, значит, данные векторы коллинеарны.

Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорциюи посмотреть, будет ли она верной:

Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:

Сокращаем:, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,

Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант:

Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства. Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторыСоставим систему:

Из первого уравнения следует, что, из второго уравнения следует, что, значит,система несовместна(решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.

Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.

Упрощённая версия решения выглядит так:

Составим пропорцию из соответствующих координат векторов:, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.

Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так:. Или так:. Или так:. Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».

Ответ:а), б) образуют.

Небольшой творческий пример для самостоятельного решения:

Пример 2

При каком значении параметравекторыбудут коллинеарны?

В образце решения параметр найден через пропорцию

.

Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность, систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его:

Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения: 1) векторы линейно независимы; 2) векторы образуют базис; 3) векторы не коллинеарны; 4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; + 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения: 1) векторы линейно зависимы; 2) векторы не образуют базиса; 3) векторы коллинеарны; 4) векторы можно линейно выразить друг через друга; + 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения.

Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскостиколлинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю:. Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители.

Решим. Пример 1 вторым способом:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов:, значит, данные векторы коллинеарны.

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов:, значит, векторылинейно независимы и образуют базис.

Ответ: а), б) образуют.

Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями.

Проверка векторов на коллинеарность - простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание подробно рассмотрено на уроке.

С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами.

Пример 3

Даны вершины четырёхугольника. Доказать, что четырёхугольникявляется параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма: Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Таким образом, необходимо доказать: 1) параллельность противоположных сторони;2) параллельность противоположных сторони.

Доказываем:

1) Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов:, значит, данные векторы коллинеарны, и.

2) Найдём векторы:

Получился один и тот же вектор («по школьному» - равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов:, значит, данные векторы коллинеарны, и.

Вывод: Противоположные стороны четырёхугольникапопарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению.Что и требовалось доказать.

Больше фигур хороших и разных:

Пример 4

Даны вершины четырёхугольника. Доказать, что четырёхугольникявляется трапецией.

Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит.

Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока.

А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство:

Как определить коллинеарность векторов пространства?

Правило очень похоже. Для того чтобы два вектора пространствабыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны

.

Пример 5

Выяснить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:

а);б)в)

Решение: а) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:

Система не имеет решения, значит, векторыне коллинеарны.

«Упрощёнка» оформляется проверкой пропорции. В данном случае:- соответствующие координаты не пропорциональны, значит, векторыне коллинеарны.

Ответ: векторыне коллинеарны.

б-в) Это пункты для самостоятельного решения. Попробуйте его оформить двумя способами.

Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов.

Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых.

Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.

Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый - лишний.

И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы, они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться.

Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений - высота. Такие векторы являются компланарнымии, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают.

Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали.

Определение: три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.

Компланарные векторы всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторымало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторыне коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом:(а почему - легко догадаться по материалам предыдущего раздела).

Справедливо и обратное утверждение: некомпланарные векторы всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.

Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов,взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису, где- координаты векторав данном базисе

Напоминаю, также можно сказать, что векторпредставлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

координата базис коллинеарность вектор плоскость афинная система

Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координатной любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал.

Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства:

Точкапространства, которая называется началом координат, и ортонормированный базисзадают декартову прямоугольную систему координат пространства. Знакомая картинка:

Перед тем, как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем информацию:

Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения:1) векторы линейно независимы;2) векторы образуют базис;3) векторы не компланарны;4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Противоположные высказывания, думаю, понятны.

Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5). Оставшиеся практические задания будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Пора повесить на гвоздь геометрическую клюшку и орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:

Три вектора пространствакомпланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю:

.

Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.

Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков:Как вычислить определитель?

Пример 6

Проверить, образуют ли базис трёхмерного пространства следующие векторы:

а)б)

Решение: Фактически всё решение сводится к вычислению определителя.

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов(определитель раскрыт по первой строке):



,

значит, векторылинейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.

Ответ: данные векторы образуют базис

б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Встречаются и творческие задачи:

Пример 7

При каком значении параметравекторыбудут компланарны?

Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю:

По существу, требуется решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков - определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке:

Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:

Ответ: при

Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значениев исходный определитель и убедиться, что

, раскрыв его заново.

В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что заслуживает отдельного топика:

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространстваи найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Пример 8

Даны векторы. Показать, что векторыобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты векторав этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис - нас не интересует. А интересует следующая вещь: три векторавполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторылинейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов:



,

значит, векторылинейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторыобразуют базис, то любой векторможно единственным способом разложить по данному базису:, где- координаты вектора в базисе.

Поскольку наши векторыобразуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то векторможно единственным образом разложить по данному базису:, где- координаты векторав базисе.

По условию и требуется найти координаты.

Для удобства объяснения поменяю части местами:. В целях нахожденияследует расписать данное равенство покоординатно:

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя, в правую часть записаны координаты вектора.

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее - дело техники:

Таким образом:- разложение векторапо базису.

Ответ:

Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены - это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу, решение будет намного проще. Однако на практике мне такое задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в предыдущем разделе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Пример 9

Даны векторы. Показать, что векторыобразуют базис и найти координаты векторав этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев - чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье. Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2:Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:Ответ: при

Пример 4:Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.1) Проверим параллельность противоположных сторони.Найдём векторы:Вычислим определитель, составленный из координат векторов:, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороныне параллельны.2) Проверим параллельность противоположных сторони.Найдём векторы:Вычислим определитель, составленный из координат векторов:

Размещено на Allbest.ru