Решение алгебраических задач

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Решение алгебраических задач

Задание №1. Даны координаты вершин треугольника А(1,3), В(2,8), С(6,6). Запишите общее уравнение прямой, на которой расположена медиана AM треугольника ABC

Решение

Найдем координаты точки М. Это средина отрезка ВС.

Уравнение прямой проходящей через 2 точки

Уравнение медианы АМ

;

;

4*(Х-1)=3*(Y-3);

4х - 4 =3y - 9

Уравнение медианы АМ : 4x - 3y + 5=0

Задание №2. Найдите координаты точки В, симметричной точке А(3,2) относительно прямой х + 2у - 2 = 0

Решение

Пусть точка М - точка пересечения прямой АВ и заданной прямой. Найдем координаты точки М решив систему уравнений

Получили, что точка М имеет координаты М(2,0). Обозначим координаты точки В через х и у. Точка М делит отрезок АВ пополам, поэтому

Искомая точка В(1,-2)

Задание № 3. Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,-1,1) перпендикулярно двум плоскостям: х-2y+3z-2=0 и x+4y-2z+1=0

Решение

Так как искомая плоскость перпендикулярным данным плоскостям, то она параллельна их номинальным векторам l₁=N₁={1,-2,3} l₂=N₂={1,4,-2} Поэтому уравнение искомой плоскости:

(x-2)*(4-12)-(y+1)*(-2-3)+(z-1)*(4+2)=0;

-8*(x-2)-5*(y+1)+6*(z-1)=0;

-8x+16+5y+5+6z-6=0;

Искомое уравнение плоскости -8x+5y+6z-15=0;

Задание № 4. Найдите то значение параметра р, при котором прямые и пересекаются

Решение

Уравнение прямой заданной параметрически приведем к симметричному виду



Если прямые и лежат в одной плоскости, то ,

если , то прямые параллельны, в противном случае пересекаются.

,

, прямые пересекаются.

,

8*(-4p-3)-(-4-2)-10*(3-2p)=0,

-32p-24+6-30+20p=0,

-12p-48=0,

12p=-48,

Искомое значение p = - 4

Задание № 5. Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси абсцисс плоскостью x-y + 3z + l=0, проходящей через прямую и точку М(1,1,0).

Решение

Запишем уравнение прямой в параметрический и канонической формах.

Т.к. , то неизвестное Z системы можно принять в качестве свободного и записать

, , ,

Полагая z = t записываем

Параметрическое и каноническое уравнение прямой или

Плоскость проходящая через точку и через прямую не проходящую через точку М₀ представляется уравнением

,

, ,

,

,

,

x-2y+13z+1=0 - Плоскость проходящая через точку М и данную прямую.

Ось абсцисс представляется уравнением

Решая эту систему совместно с уравнением прямой получим точку на оси абсцисс через которую проходит плоскость.

x - 2*0 + 13*0 + 1=0,

x+1=0, x = - 1

Точка пересечения оси абсцисс с плоскостью (-1,0,0)

Отрезок отсекаемый плоскостью от оси абсцисс d = 1

Задание № 6. Найдите расстояние между плоскостями х - 2y+2z+11 = 0 и х - 2у + 2z - 25 = 0

Решение

Данные плоскости параллельны. Зафиксируем на плоскости х - 2y+2z+11 = 0 любую точку М₀. Например положим X=1, Y=1, тогда 1-2+2z+10=0, 2z =-10, z = - 5

Точка

Расстояние d от точки до плоскости

Найдем расстояние от точки до плоскости х - 2у + 2z - 25 = 0

,

Искомое расстояние между плоскостями D=12

Задание № 7. Найдите радиус сферы х² + у² + z² - 2х - 2у - 6z + л= 0, если известно, что она касается плоскости 3х -2у + 6z + 23 = 0

Решение

Найдем координаты центра сферы

Координаты центра сферы

По условию задачи известно, что сфера касается плоскости, т.е. радиус сферы r - кратчайшее расстояние d между центром сферы и плоскостью. d=r

Расстояние D от точки до плоскости 3х -2у + 6z + 23 = 0.



Искомый радиус сферы r = 6

Задание 8. Дана кривая х² + у² - 8х - 2у = 47

8.1. Докажите, что эта кривая -- окружность

,

Уравнение окружности имеет вид - - это окружность

8.2 Найдите координаты её центра.

Координаты центра ,

8.3 Найдите её радиус.

R=8

Задание 9. Дана кривая 25x² - 16у² + 32у - 416 = 0.

9.1. Докажите, что эта кривая -- гипербола

Решение

Выделим полные квадраты

25x²-16*(y²-2y+1-1)-416=0

25x²-16*(y-1)²+16-416=0

25x²-16*(y-1)²=400

Уравнение гиперболы имеет вид

Обозначим x₁ = x, y₁ = y-1 и получим .

9.2. Найдите координаты её центра симметрии

, т.к. x=0, y-1=0, y=1

9.3. Найдите действительную и мнимую полуоси.

действительная полуось а = 4

мнимая полуось b = 5

9.4. Запишите уравнение фокальной оси

Общее уравнение фокальной оси : y=1

9.5. Постройте данную гиперболу

Перенесем центр симметрии гиперболы в точку и построим новую систему координат X₁ О` Y₁. В новой системе координат строим гиперболу.

,

- фокус гиперболы

Задание 10. Дана кривая 9х² + 16y² + 24ху - 40х + 30у = 0

10.1. Докажите, что данная кривая -- парабола.

10.2. Найдите координаты её вершины.

10.3. Найдите значение её параметра p.

10.4. Запишите уравнение её оси симметрии.

10.5. Постройте данную параболу.

Решение

Если о₂=3, то о₁=-4, то имеем единичный собственный вектор

Находим другой собственный вектор, отвечающий собственному числу л=25.

Если о₂¹=4, то о₁¹=-3, то имеем единичный собственный вектор

Перейдем к новому базису. Запишем матрицу перехода и обратную к ней

матрицу Запишем соотношения между старыми и новыми координатами

в новой системе координат уравнение параболы примет вид

Параметр р=-1.

уравнение координата отрезок расчет

Размещено на Allbest.ru

Размещено на Allbest.ru