Дифференциальное уравнение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка, его решение, геометрическое истолкование ОДУ и его решений

1) Определение: обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) (только одной функции!) и её производных (или дифференциалов):

Общий вид дифференциального уравнения с одой неизвестной функцией: F(x, y, y', y'', ... , y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

Порядком уравнения называется наивысший порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: y⁽⁴⁾ - y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.

Общий вид ОДУ первого порядка F(x, y, y')=0

2) Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение диффура называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений - интегрированием дифференциального уравнения.

Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Так, функция y(x) = e^x + x обращает уравнение : y⁽⁴⁾ - y + x = 0 в тождество на всей числовой оси(y⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x -(e^x +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

(2)

что:

1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);

2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n.

3) Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть является решением дифференциального уравнения . График функции называется интегральной кривой уравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в той же точке.

Если через обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точке и положительным направлением оси , то , а , следовательно, . Это означает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение равносильно заданию в области определения функции поля направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением одно и то же, называется изоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения , если положить , т.е. . Пример. Изоклинами уравнения является семейство окружностей.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Общее и частное решение

Уравнение F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) -- неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ? 0 для всех x из (a,b) .

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x₀) = y₀ -- начальное условие.

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1-го порядка, называется частным решением уравнения.

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Ц(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.

Пример ДУ 1-го порядка.

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева - табличный, интеграл справа - берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Выражаем общее решение:

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

частное решение:

Теорема существования и единственности.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, записанное в нормальной форме:

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ? R² .

Функция y = y(x) является решением задачи Коши



если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ? D для всех x из [a, b] , y(x₀) = y₀ , x₀?[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная f_y(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит области D.

Тогда :

-- в некоторой окрестности (x₀ ? д, x₀ + д) точки x₀ существует решение задачи Коши

-- если y = ц₁(x) и y = ц₂(x) два решения задачи Коши, то ц₁(x) = ц₂(x) на (x₀ ? д, x₀ + д) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = ц(x; x₀) -- семейство решений задачи Коши

элементы которого различны для разных значений x₀ . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = ц(x; x₀) .

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер -- существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x₀ . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

3. Интегрирование некоторых типов ОДУ первого порядка:

a. с разделяющимися переменными

b. однородные

c. линейные

d. Бернулли

e. в полных дифференциалах

а) Уравнения с разделяющимися переменными

Так называются уравнения вида

или(11)

f₁(x) g₁(y) dx + f₂(x) g₂(y) dy = 0 (12)

Примеры: 1.

.

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln|C₁|:

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.

Пример:

.

b) Однородные уравнения

.(13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой , или . Подставляя в (13) y = u, , получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

Пример:

-

общее решение уравнения. Примеры: 1. (y² - 2xy)dx + x²dy = 0. Здесь коэффициенты при дифференциалах - однородные функции второй степени, т.е. уравнение должно приводиться к виду (13). Решаем уравнение относительно производной: делим числитель и знаменатель правой части на x²: - это уравнении с однородной правой частью.

Это общий интеграл уравнения.

c) Линейные уравнения

ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:



.(14)

Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.

Для решения уравнения (14) представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x) v(x). Тогда

,

и уравнение приводится к виду

, или .

Пример:

.

Решение:

.

Теперь для u(x) получим: , и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение . Решение задачи: .

d) Бернулли

.(15)

где (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными).

Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y^1-m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, , ; после деления уравнения (15) на y^m получим , или - линейное уравнение.

Пример: (уравнение Бернулли, m = 2). Подстановка . Решаем полученное линейное уравнение:

.

e) В полных дифференциалах

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.(16)

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений

Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .

Пример: найти общее решение уравнения

.

Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь

;

,

т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u(x, y) такую, что Из первого уравнения

.

Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы:

.

Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя как , получим

Следовательно, , и общее решение уравнения имеет вид .

4. ОДУ высших порядков, допускающих понижение порядка

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

1) Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C₁x³ + C₂x² + C₃x + C₄.

2) Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y^(k), y^(k+1), y^(k+2), …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y^(k)(x). Тогда z^(n-k) = y⁽ⁿ⁾(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахождения z(x)последовательным интегрированием решается уравнение y^(k) = z(x).

Пример: решить задачу Коши:

.

Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции . Тогда , и уравнение примет вид . Это - уравнение Бернулли; пусть

z = uv,

тогда

,

следовательно,

.

Относительно y(x) - это уравнение

.

Мы можем последовательно находить



и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постоянной C1: . Теперь . Из условия при x = 1 находим C2: ; из условия y = 3 при x = 1 находим C3:

.

Окончательный ответ: .

3)Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: . Старшие производные y по x вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции:

.

Аналогично,

Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k-1 -ую производную p по y. В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором y выступает как аргумент, p(y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p(y, C₁)этого уравнения решается уравнение , решение которого y = y(x, C₁, C₂) будет общим решением исходного уравнения.

Пример.

Решение:

.

Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при x = 0 должно быть , то получим

.

Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению

.

Находим : . Ответ: решение задачи Коши .

4) Применение интегрируемых комбинаций. Иногда удаётся заметить, что в уравнении правая часть является производной некоторой функции, т.е. уравнение имеет вид . Интегрируя по x, получим уравнение, порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения (так называемый первый интеграл уравнения): .
Пример: . Если переписать это уравнение в виде и сообразить, что справа стоит производная функции , то получим , откуда . Это уравнение не содержит явно y, поэтому

.

5. Линейные однородные ОДУ второго порядка

a. линейная зависимость и независимость функций

b. критерий линейной зависимости двух решений линейного однородного ОДУ второго порядка в терминах определителя Вронского

c. теорема о структуре общего решения

ЛДУ 2-го порядка называется ДУ 2-го порядка, линейное относительно у, у', у ", т.е.

(21.3)

Дифференциальное уравнение

(21.4)

получающееся из (21.3) при b(х) = О, называется линейным однородным ДУ 2-го порядка (ЛОДУ 2п). Если b(х)О, то уравнение называется линейным неоднородным (ЛНДУ 2п).

Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций в окрестности т.приуравнение (21.3) имеет в окрестности т.единственное решение.

Определение. Система функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) называется линейно зависимой, если существуют система постоянных c₁, c₂, … , c_n, такая, что , и для которой будет выполнено соотношение . В противном случае система функций будет называться линейно независимой.

Определение. Определитель вида

называется определителем Вронского.

Теорема. Если система функций линейно зависима, то определитель Вронского равен тождественно нулю.
Доказательство. Пусть система функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) линейно зависима, то есть не для всех одновременно равных нулю c₁, c₂, … , c_n выполняется соотношение

c₁ ·f₁(x) + c₂ ·f₂(x) + … + c_n·f_n(x) ? 0. (4)

Дифференцируя соотношение (4) n - 1 раз, составим систему алгебраических уравнений относительно c₁, c₂, … , c_n

(5)

Так как однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение, то её главный определитель тождественно равен нулю. Поскольку для системы (5) главный определитель совпадает с определителем Вронского, то отсюда и вытекает справедливость теоремы.

Теорема структуре общего решения: Пустьнепрерывны наЕсли решения уравнения

(21.4) образуют фундаментальную систему решений, тоявляется общим решением

уравнения (21.4) на Проверим выполнение условий из определения общего решения. По теореме о линейной комбинации решений является решением уравнения (21.4). Возьмем начальные условияПодставляя их в для определенияиполучаем систему

(21.5)

Ее определительявляется определите-

лем Вронского, вычисленным в т.Он не равен нулю по условию теоремы, поэтому система имеет единственное решение которое может быть записано по формулам Крамера. Таким образом, выполнены оба условия определения общего решения

6. Линейные однородные ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

d. характеристическое уравнение, характеристические числа

e. общее решение при и (вещ.)

f. общее решение при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения, его вещественная форма

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q ? постоянные коэффициенты.

А. характеристическое уравнение:

при помощи замены

- через , - через , - через 1

составляется характеристическое уравнение, соответствующее данному ЛОДУ; решается характеристическое уравнение, находятся корни: устанавливается характер корней (действительные или комплексные, различные или кратные) и определяется соответствующая этим корням фундаментальная система решений ;составляется общее решение ЛОДУ:

Б. Обшее решение OДУ зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением.След. случаи:

1.Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения r₁ и r₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ ? произвольные действительные числа

2 . Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

B. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = б + вi, k₁ = б ? вi. Общее решение записывается в виде

7.Особые точки систем ОДУ второго порядка. Линеаризация системы ОДУ в окрестности особой точки.

Если в окрестности точки (x₀, y₀) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x₀, y₀) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y(x₀) = y₀ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением.



Для примера рассмотрим уравнение . Здесь - непрерывна в любой точке (x, y), но - не имеет конечного предела при , т.е. в любой точке (x, y) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной . Следовательно, любая точка (x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения:

.

Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.



дифференциальный уравнение интегральный система

8. Линейные однородные ОДУ 2-го порядка. Характер поведения интегральных линий системы уравнений в окрестности особой точки

a. при действительных собственных значениях

b. при

c. при

d. при комплексных собственных значениях ;

e. при комплексных собственных значениях ;

f. при комплексных собственных значениях ;

Линейное однородное ОДУ 2-ого порядка - это уравнение вида:

где p, q ? постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:



Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

Характер поведения интегральных линий системы уравнений в окрестности особой точки.

Особая точка дифференциального уравнения -- точка, в которой одновременно обращаются в нуль и числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения

где Р и Q -- непрерывно дифференцируемые функции.

Предполагая О. т. расположенной в начале координат, можно представить уравнение (1) в виде

,

где P1(x, у) и Q1(x, у)-- бесконечно малые по отношению к

Если D > 0, то О. т. называется изолированной. Если D < 0, то О. т. называется узловой.

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых. Характер поведения интегральных кривых около О. т. зависит от корней л1 и л2 характеристического уравнения

а) при действительных собственных значениях

Неустойчивый узел

б) при

Седло.

в) при

Устойчивый узел



г) при комплексных собственных значениях ;

Неустойчивый фокус

д) при комплексных собственных значениях ;

Устойчивый фокус

е) при комплексных собственных значениях ;

Центр



9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения вида

где a,b,c - числа, называют линейными неоднородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

где yо - общее решение однородного уравнения, а yч - какое-нибудь решение неоднородного уравнения (частное решение).

Пример 7. Решить задачу Коши

Решение. Найдем сначала общее решение однородного уравнения

Для этого составим характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет два различных вещественных корня:

Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция

Найдем теперь какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения

Будем искать его в виде

Тогда

Подставив эти выражения в уравнение, получим:



Теперь можно выписать общее решение неоднородного уравнения:

Вычислим производную:

Воспользовавшись начальными условиями, получим систему уравнений:

Искомое решение задачи Коши имеет вид:

(Как мне кажется, в последней строчке здесь ошибка, т.к. наши найденные C1 и C2 здесь подставили в y', а не в y)

10. Отыскание частного решения линейных неоднородных ОДУ для правой части специального вида методом неопределенных коэффициентов

Рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений вида



,

где p и q - действительные числа.

Нам уже известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме квадратного трехчлена. В случае уравнения с постоянными коэффициентами общее решение линейного однородного уравнения, как мы уже знаем, находится легко. Остановимся теперь на проблеме отыскания частного решения y^* линейного неоднородного уравнения.

а) .

Если , то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

,

где

- неопределенные коэффициенты.

Отсюда

.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, мы получим тождество

,

Откуда

.

Так как , то из последней системы для коэффициентов получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение y^* будет вполне определено.

Если , то частное решение y^* ищем в виде , когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде

,

когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если f(x) - многочлен P(x) произвольной степени.

б) .

Частное решение ищем в виде

,

где A - неопределенный коэффициент.

Отсюда

.



Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на e ^bx будем иметь

.

Отсюда видно, что если b не является корнем характеристического уравнения, то

.

Если b - корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y^* = Axe^bx , когда b - однократный корень, и в виде y^* = P(x) e^bx , когда b - двукратный корень.

Аналогично будет, если f(x) = P(x) e^bx , где P(x) - многочлен.

в) . (a и b не нули одновременно).

В этом случае частное решение y^* ищем также в форме тригонометрического двучлена

,

где A и B - неопределенные коэффициенты.

Отсюда

.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

.

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому

.

Эти уравнения определяют коэффициенты A и B , кроме случая, когда

(или когда - корни характеристического уравнения).

В последнем случае частное решение исходного уравнения ищем в виде

.

11. Обобщение результатов на линейные уравнения n-го порядка

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Взять уравнение , откинуть правую часть: - и найти общее решение.

2) Необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

3) На третьем этапе надо составить общее решение неоднородного уравнения. .

Пример

Решение:

1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:

- получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения

Частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени:

,

где - пока ещё неизвестные коэффициенты (числа).

Найдём первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Далее работаем с последним равенством - необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения

:



Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Проверим метод неопр. Коэффициентов, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

- получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно.



12. Основные понятия о дифференциальных уравнениях n-ого порядка

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

.

Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая уравнение на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

(20)

;

дальше мы будем рассматривать уравнение (20).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным.

. (21)

(1)

(2)

Если уравнение разрешимо относительно старшей производной то имеет вид (1). Так же уравнение n-го порядка можно представить в виде системы из n уравнений первого порядка.

(3)

Для уравнения n-ого порядка выполнены условия теоремы о существовании и единственности для системы так как (1)~(2)~(3).

Простейшие случаи понижения порядка.

1. Уравнение не содержат искомой функции и ее производной до порядка k-1 включительно, то есть

. (4)

В этом случае порядок может быть понижен до заменой . Если из этого уравнения выразить тогда решение y можно определить k-кратным интегрируемым функции p.

Пример.

.

2. Уравнение, не содержащие неизвестного переменного (5)

В этом случае порядок можно понизить на единицу подстановкой

.



Пример.

3. Левая часть уравнения

(6)

есть производная некоторого дифференциального выражения (n-1)-го порядка. . Если - решение последнего уравнения, следовательно, существует . Мы получили первый интеграл уравнения (6) и понизили на единицу степень решаемого уравнения.

Замечание. Иногда левая часть (6) становится производной дифференциального уравнения (n-1)-го порядка только при умножении на поэтому здесь могут появиться лишнее решения (обращающие в ноль) или мы можем потерять решение, если разрывная функция.

Пример.

4. Уравнение

(7)

однородно относительно и его производных.

.

Или , где показатель определяется из условий однородности.

Порядок этого уравнения может быть понижен на единицу заменой:

.

Если подставить эти соотношения в (7) и учесть однородность функции F , то в итоге в получим:

.

Пример.

.

13. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости системы решений однородного ОДУ

1) Определителем Вронского W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_m(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x),y₂(x), ..., y_m(x) из C_m-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Доказательство: Так как функции линейно зависимы на , то существуют такие не все равные нулю числа , при которых выполняется тождество на . Дифференцируя его раз, получим систему уравнений

Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение (т. е. хотя бы одно ) при . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского , тождественно равен нулю. Теорема доказана.

2) Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно независимыми на отрезке [a,b], если существуют постоянные б₁, б₂, ..., б_n равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество

Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функции y₁(x), y₂(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:

14. Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка

Функции называются линейно зависимыми на , если существуют числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что . (4)

Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда все , то функции называются линейно независимыми на . Система из линейно независимых на интервале решений однородного дифференциального уравнения -го порядка (3) с непрерывными на коэффициентами называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка (3) с непрерывными коэффициентами , надо найти его фундаментальную систему решений.

Согласно теореме, произвольная линейная комбинация из решений , т. е. сумма

, (5)

где - произвольные числа, есть в свою очередь решение уравнения (3) на . Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения (3) имеет вид (5), где - произвольные постоянные, а - частные решения (3), образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения.

15. Разностные уравнения, определение порядка уравнения

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [difference equations] -- уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов x₁, x₂, ..., x_n.) В экономических исследованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени. Напр., о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины df/dt приходится брать среднюю скорость за определенный конечный интервал времени Дf/Дt. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна 1, то скорость изменения величины можно представить как разность

y = y(t+1) - y(t),

которую часто называют первой разностью. При этом различают правую и левую разности, в частности

y = y(t) - y(t-1)

-- левая, а приведенная выше -- правая. Можно определить вторую разность:

Д(Дy) = Дy(t + 1) - Дy(t) = y(t + 2) -

- 2y(t + 1) + y(t)

и разности высших порядков

Дⁿ⁼Д(Д(n-1)*y(x)).

Теперь можно определить Р. у. как уравнение, связывающее между собой конечные разности в выбранной точке:

f [y(t), Дy(t), ..., Дⁿy(t)] = 0.

Р. у. всегда можно рассматривать как соотношение, связывающее значения функции в ряде соседних точек

y(t), y(t+1), ..., y(t+n).

При этом разность между последним и первым моментами времени называется порядком уравнения.

При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р. у. стремится к решению соответствующего дифференциального уравнения, когда интервал Дt стремится к нулю.

16. Общий вид решения уравнения вида y(t+1) - y(t) = f(t)

y(t+1) - y(t) = f(t)

?y(t)=f(t)

t=0: y(1)-y(0)=f(0) => y(1)=f(0)+y(0)

t=1: y(2)-y(1)=f(1) => y(2)=f(1)+y(1) t=k: y(k)=y(0)+=C+

17. Общий вид решения уравнения y(t+1) = y(t)*p(t)

y(t+1) = y(t)*p(t)

y(1)=p(0)*y(0)

y(2)= p(1)*y(1)= p(1)*p(0)*y(0)

k-1 k-1

y(k)= p(m)*y(0)= C* p(m)

m=0 m=0

18. Общий вид решения уравнения y(t+1) = y(t) * p(t) + f(t)

y(t+1) = y(t) * p(t) + f(t)

y(t)=u(t)*v(t)

u(t+1)*v(t+1)-p(t)*u(t)*v(t)-f(t)=0

u(t+1)*(v(t+1)-v(t)-v(t)*(p(t)u(t)u(t)-u(t+1)-t(t)=0

u(t+1)=p(t)u(t)

k-1

u(k)=C* p(m)

m=0

t

v(t+1)-v(t)=f(t)/u(t+1)= f(t)/ C*?(m)=g(t)

m=0

v(t+1)=v(t)+g(t)

t

v(t+1)=C₂ + Уg(k)

k=0

t k

v(t+1)=C₂ + У f(k)/C₁ ? p(m)

k=0 m=0

t-1 k

v(t)=C₂ + У f(k)/C₁ ? p(m)

k=0 m=0

k-1

u(t)=C₁ ? p(m)

m=0

t-1 k-1

y(t)=u(t)*v(t)= (C₂ + У f(k)/C₁ ? p(m)

k=0 m=0

19. Фундаментальная система решений однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

Фундаментальной системой решений однородного линейного разностного уравнения называется упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения или, проще говоря, Фундаментальными решениями уравнения называют такие решения, из которых можно сконструировать все остальные решения.

Между линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка и линейными разностными уравнениями n-го порядка много общего.

Фундаментальная система решений
1) решения л.о, D:y 2) л.н.з., т.е Необходимое и достаточное условие	1) решение л. о. Р. у 2) л.н.з Необходимое и достаточное условие

Рассмотрим следующие случаи для построения фундаментальной системы решений(ф.д.м.)

1) -различные вещественные корни

Ф.С.Р,

2) Среди вещественных корней есть кратные q_i-кратность r_i

соответствующие частные решения

3) Если

4. Если -корни кратности «r», то получаем «2r» частных решений:

Заметим, что в любом случае Ф.С.Р. состоит из «n» частных решений

Тогда общее решение однородных уравнений:

20. Общий вид решения неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

Пусть задано неоднородное разностное уравнение /см.(2)/

Требуется определить решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ....,

Последовательность решения разностного уравнения (2) такова:

Найти общее решение однородного уравнения

Найти частное решение неоднородного уравнения.

Записать общее решение неоднородного уравнения

,

где - общее решение однородного уравнения

Определить постоянные С₁ , С₂ , ... , С_k, используя заданные начальные условия.

Пример 7. Найти решение неоднородного уравнения

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. 1.Частное решение неоднородного уравнения имеем в виде

подставляем в уравнение

;

;

,

Следовательно .

2. Общее решение однородного уравнения:

, , ;

частное решение ;

общее решение: .

3. Общее решение неоднородного уравнения:

.



Определяем постоянную С:

.

Искомое решение имеет вид

.

Пример 8. Найти решение неоднородного разностного уравнения

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. 1.Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

подставляем в исходное уравнение

;

Следовательно .

2. Общее решение однородного уравнения:

, , ;

.

3. Общее решение неоднородного уравнения:

.

Определяем постоянную С:

, т.е. С=1.

Искомое решение имеет вид

.

21. Разностные схемы для приближения решений ОДУ

Разберем идею разностного метода решения .краевых задач на примере взаимодействия световых пучков (см. рис. 12.1), переобозначив в системе(12.1-1) интенсивность излучения вправо на Y, а интенсивность излучения влево на у (просто в целях удобства, чтобы не писать индекс).

рис 12.1

Суть метода заключается в покрытии расчетного интервала сеткой из N точек. Тем самым определяются (N-i) шагов (рис. 12.7). Затем надо заменить дифференциальные уравнения исходной краевой задачи аппроксимирующими их уравнениями в конечных разностях, выписав соответствующие разностные уравнения для каждого 1-го шага. В нашем случае достаточно просто заменить первые производные из (12.1-1) их разностными аналогами (такой метод называется еще методом Эйлера):

Рис. 12.7. Сетка, покрывающая расчетный интервал

Примечание

Существует множество способов аппроксимации дифференциальных уравнений разностными. От выбора конкретного варианта зависит не только простота, быстрота и удобство вычислений, но и сама возможность получения правильного ответа.

Получилась система (по числу шагов) 2-(м-1) разностных линейных алгебраических уравнений с 2-N неизвестными YI и yi. Для того чтобы она имела единственное решение, надо дополнить число уравнений до 2-м. Это можно сделать, записав в разностном виде оба граничных условия:

Y₀=1O, y_N=R-Y_N.

Сформированная полная система алгебраических уравнений называется разностной схемой, аппроксимирующей исходную краевую задачу. Обратите внимание, что правые части разностных уравнений системы на каждом шаге записаны для левой границы шага. Такие разностные схемы называют явными, т. к. все значения Y_I+I и y_i+i находятся в левой части уравнений. Полученную явную разностную схему легко записать в матричной форме

A._Z=B,



где z - неизвестный вектор, получающийся объединением векторов Y и у. Решив систему (3), мы получим решение краевой задачи.

Примечание

На самом деле, все несколько сложнее, поскольку, вообще говоря, необходимо еще доказать, что, во-первых, разностная схема действительно аппроксимирует дифференциальные уравнения и, во-вторых, при м-*» разностное решение действительно сходится к дифференциальному.

22. Устойчивые и асимптотически устойчивые решения разностных уравнений

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Пусть некоторое фиксированное решение y = ц(x) этого уравнения существует при всех x? x₀ .

Решение y = ц(x) уравнения называется устойчивым по Ляпунову при x ? x₀ , если для любого е > 0 существует число д > 0 (зависящее, вообще говоря, от е ) такое, что:

-- решение y = y(x) задачи Коши с начальным условием y(x₀ ) , |y(x₀) ? ц(x₀) | < д , существует при всех x ? x₀ ;

-- для всех таких решений справедливо неравенство |y(x) ? ц(x) | < е , при всех x > x₀ .

Геометрически это означает, что интегральные кривые y = y(x), близкие в момент x = x₀ к интегральной кривой y = ц(x), остаются близкими к ней и на всем промежутке [x₀, ?) .

На рисунке красным изображено устойчивое решение задачи Коши y' = ? y, y(1) = 1.

Видно, что все интегральные кривые, близкие к этому решению в начальный момент x = 1, остаются вблизи него и при x > 1 .

Решение y = ц(x) называется неустойчивым по Ляпунову при x ? x₀ , если существует число е > 0 такое, что для любого д > 0

найдутся решения y = y_д(x) и значение x₁ = x₁(д) > x₀ такие, что хотя | y_д( x₀) ? ц( x₀) | < д , но |y( x₁) ? ц( x₁) | ? е .

На рисунке красным изображено неустойчивое решение y = 0 задачи Коши y' = sin² y, y(0) = 0.

Видно, что интегральные кривые, близкие к y = 0 в начальный момент x₀ = 0, удаляются от y = 0 с ростом x > 1 .

2f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=0

2л^2-2л+1=0

D= - 4

л(1)=(2+2i)/4=(1+i)/2

л(2)=(2-2i)/4=(1-i)/2

y=(e)^0.5x*(C1*cos0.5x+C2*sin0.5x)

(0.5)^n*(C1*cos(n*pi)/4+C2*sin(n*pi)/4)

л=a+ib

л=sqr(a*a+b*b)>=1

1) Если л1 и л2 <1, то решение устойчиво

2) Если л1 и л2 >1, то решение неустойчиво

3) Если л1 и л2 =1, то решение устойчиво (но не ассимптотически)

4) Если хотя бы одно л>1, то неустойчиво

Размещено на Allbest.ru