Вычисление математических функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Даны координаты вершин треугольника

.

Требуется найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол при вершине в радианах с точностью до ;

4) уравнение медианы ;

5) уравнение и длину высоты ;

6) уравнение прямой, проходящей через параллельно стороне и точку ее пересечения с высотой ;

7) уравнение окружности с центром в точке , проходящей через вершину .

треугольник медиана уравнение высота

Построить в прямоугольной системе координат заданный треугольник и полученные линии

Решение. 1. Расстояние между точками и определяется по формуле

(1)

воспользовавшись которой находим длину стороны :

.

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и , имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек и , получаем уравнение стороны :

.

Угловой коэффициент прямой найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

.

У нас

,

то есть

откуда

.

Аналогично получим уравнение прямой и найдем ее угловой коэффициент:

.

Далее

т.е.

3. Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

(3)

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых и . Подумайте, как бы Вы стали искать внутренние углы и треугольника ?

Подставив ранее вычисленные значения и в (3), находим

Теперь, воспользовавшись калькулятором, получаем рад.

4. Для составления уравнения медианы найдем сначала координаты точки , которая лежит на середине отрезка :

Подставив в уравнение (2) координаты точек и , получаем уравнение медианы:

.

5. Для составления уравнения высоты воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом , которое имеет вид

(4)

и условием перпендикулярности прямых и , которое выражается соотношением

,

откуда

Подставив в (4) вместо значение

а вместо соответствующие координаты точки , получим уравнение высоты :

.

Для вычисления длины высоты воспользуемся формулой отыскания расстояния от заданной точки до заданной прямой с уравнением , которая имеет вид

(5)

Подставив в (5) вместо координаты точки , а вместо коэффициенты уравнения прямой , получаем

.

6. Так как искомая прямая параллельна прямой , то

.

Подставив в уравнение (4) вместо координаты точки , а вместо значение , получаем уравнение прямой :

.

Для отыскания координат точки решаем совместно уравнения прямых и :

Таким образом,

7. Поскольку окружность имеет центр в точке и проходит через вершину , то по формуле (1) ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

(6)

В нашем примере искомое уравнение выглядит следующим образом:

Треугольник , высота , медиана , прямая , точка и окружность построены в системе координат на рисунке 1.

14 Найти указанные пределы

a)

Решение. Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной :

Объяснение. Вторые и третьи слагаемые скобок числителя и знаменателя при являются бесконечно малыми величинами, поэтому их пределы равны 0.

2)

Решение. В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и его очевидные следствия:

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

24 Вычислить производные заданных функций

a.

Решение



b.

Решение.

c.

Решение

34. Провести полное исследование заданных функций и построить их графики:

1)

Решение

1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента , то есть

,

а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2. Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение , делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода

.

Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:

	+				+
		max		min

3. Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

		0	+
			т.п.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

4. Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами



Имеем

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5. Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба , и точку пересечения графика с осью . С учетом результатов предыдущих исследований строим кривую.

2)

Решение

1. Область определения.

2. Исследование функции на непрерывность и классификация точек разрыва. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки . Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Итак, точка точка разрыва второго рода заданной функции, а прямая вертикальная асимптота графика.

3. Исследование функции на экстремум и промежутки монотонности.

Так как

,

то функция не имеет точек экстремума. Так как для всех точек из , то функция возрастает во всей области определения.

4. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Поскольку , график не имеет точек перегиба.

Очевидно, что при , а при . Следовательно, график функции вогнутый при и выпуклый при

.

5. Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой графика.

6. Построение графика.

Очевидно, график пересекает оси координат в точках

и имеет указанный на чертеже схематический вид.

44. Задача. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна

(м).

Решение. Объем конуса зависит от радиуса основания и высоты , которые выражаются через длину образующей следующим образом:

Здесь

-

угол между образующей и плоскостью основания. Рассмотрим объем конуса как функцию угла и исследуем ее на экстремум в заданной области определения угла.

Получаем уравнение

Случай нам не интересен, поскольку соответствует вырождению конуса в отрезок, при этом объем стремится к нулю.

Случай дает



Докажем, что это искомый максимум. Вторая производная объема по углу

Если

, а , то

Поэтому найденный экстремум - максимум.

Следовательно, при подстановке

получаем окончательное выражение для максимального объема

54. Вычислить частные производные первого порядка функции

(добавить в формулу после 5x³- y)

Решение. При вычислении частной производной переменную рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилами дифференцирования функции одного аргумента и, в частности, правилом дифференцирования сложной функции, получаем

Аналогично поступаем при вычислении . Считая постоянной величиной, получаем

64. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим частные производные первого порядка заданной функции:



Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки заданной функции. Для этого решаем систему уравнений

откуда получаем

. Таким образом, стационарной является точка .

Находим значения частных производных второго порядка в точке :

Составляем выражение

Так как и , делаем вывод об отсутствии экстремума в точке .

74. С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры и линейной функции

,

приближенно описывающей следующие опытные данные:

	1	3	5	6	8	9
	6	4	3	2	3	2

Построить полученную модель (прямую) вместе с исходными данными в системе координат .

Решение.

Составим систему нормальных уравнений

в нашем примере,



И система уравнений приобретает следующий вид

Решая ее, получаем , то есть искомая модель получена: . Остается построить ее и исходные данные на координатной плоскости.

84. Найти способом замены переменной (подстановки) следующие неопределенные интегралы

Решение

Применим подстановку

.

Тогда

и .

Интегрируем

.

94. Найти способом замены переменной (подстановки) следующий неопределенные интегралы

Решение.

Применим подстановку

.

Тогда

,

откуда

.

104. Следующий неопределенный интеграл найти способом интегрирования по частям

Решение

Положим

.

Тогда

.

Отсюда

.

Применяя в последнем интеграле подстановку

,

получаем

,

следовательно,

Отсюда

.

114. Вычислить площадь, ограниченную параболами

и .

Решение

1. Находим абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

.

Отсюда

, .

Далее ищем ординаты точек пересечения парабол, воспользовавшись, например, вторым из заданных уравнений

.

Теперь cтроим полученные точки

на координатной плоскости, проектируем их на ось Ох и в пределах полученного коридора проектирования изображаем схематически искомую площадь, указав на чертеже графики



2. Площадь фигуры вычисляем по формуле

,

где

()

кривые, ограничивающие фигуру, а отрезок оси Ox, в который она проектируется. В нашем случае площадь равна



Анастасия Рафальская

31.10.2010

Размещено на Allbest.ru