Развитие аналитической геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самостоятельная работа

по предмету: Высшая математика

Развитие аналитической геометрии

1. Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую историю. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадратных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неоднократно. В классической! Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометрическая алгебра, в которой место вычислений занимали построения отрезков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Первоначально работы в этом направлении не выходили за пределы традиционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым последовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566--1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хороший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) и посмертно изданном труде «О математическом анализе и синтезе» (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Виета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение треугольников и так называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относительно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (sub algebram non cadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и показал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его корни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично иррациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит сравнительная простота уравнения. Эти соображения Декарта подробнее развиты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение принадлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574--1660), на книге которого, озаглавленной, подобно одному из сочинений ал-Каши, «Ключ математики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631) В первом издаиии этот весьма распространенный в XVII в. труд назывался «Основы арифметики в числах и видах» (Arithmeticae in numeris et speciebus institutio)., отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовляла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой является уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых корнями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхностей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или координатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной поверхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид координат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы (см. т. I, 130), выражали определяющие свойства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фигуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых координат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометрической алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диаметра от его конца до хорды -- «отсеченными на диаметре по порядку проведенными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у и x).

В своем упоминавшемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые выражения передал оборотом ordinatim applicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные) Еще в переводе арабского трактата Ибн ал-Хайсама о параболических зеркалах, сделанном в XII в., употребляется оборот linea secunduin ordinem, т. е. «линия по порядку». Н. Орем в середине XIV в. писал о перпендикулярно приложенных отрезках -- perpendiculariter applicatae., а второе -- quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, укоренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальерп (1635), становится техническим термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619--1692) ii особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геометрии (1636--1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических сечений» -- Франчсско Мавролико. Ферма пользовался термином applicata, Декарт -- appliquee par ordre, т. е. французским переводом ordinatim applicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое незадолго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латинском тексте 1644г.--ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.

В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геометрии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенными, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, die Abscisse» и «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математического словаря» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (ср. стр. 35).

Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендикулярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine -- «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; двадцатью годами ранее Я. де Витт писал об initium immutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических методов и идей.

2. Аналитическая геометрия Ферма

К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских математика XVII в.-- Ферма и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» -- термины греческой геометрии -- означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности уравнений.

Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitates ignotae), налицо имеется место, и конец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для установления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин» П. Ферма. Введение в изучение плоских и пространственных мест. В книге: Р. Декарт. Геометрия, стр. 137--138.. Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямолинейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZ и алгебраически буквой А, а вторую соответственно ZI и Е. Затем по порядку рассматриваются различные плоские и телесные места. Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма выводит в форме D на А равно В на Е, т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу состоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с dx = by Ферма переходит к d (r х) = by, где dr = с. Идею преобразования координат путем параллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в следующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть b2 x2 = у2, он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение

b2 2dx = у2 + 2rу.

Для этого он производит дополнение до квадрата

p1 (х + d)2 = (у + r)2, где р2 = r2 + b2 + d2,

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

p2 x2 = у2.

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрицательных координатах, какими оказываются координаты центра (d, r) в данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x2 = dy и симметричное у2 = dx, для эллипса (b2 x2)/y2 = const (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b2 + x2)/y2 = const. Любопытно, что на рисунке в последнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b2 2x2 = 2xy + у2 Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют переходу к новой системе координат X, Y с прежним началом и осью ординат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = х, Y = x + у, так что (2b2 -- X2)/Y2 = 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест» См. Р. Декарт. Геометрия, стр. 146.. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созданию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое нынешнее наименование лишь в самом конце XVIII в. Термин «аналитическая геометрия» в применении к любым геометрическим приложениям алгебры употреблялся в XVIII в. не раз. В более специальном смысле. совпадающем с общепринятыми в XIX в., его начал применять С. Ф. Лакруа, а первую книгу, озаглавленную «Начала аналитической геометрии» (Elements de geometric analytique. Paris, 1801), опубликовал профессор Политехнической школы Ж. Г. Гарнье (1766-1840).

3. Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в алгебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позднее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела решительные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял более развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего. Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Декарта в то, что единственным общим методом математики является алгебраический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выражениях: геометрические линии -- это те, которые «описаны непрерывным движением или же несколькими такими последовательными движениями. пз которых последующие вполне определяются им предшествующими.-- ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру» Р. Декарт. Геометрия, стр. 30. . Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются механические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить» Там же, стр. 30-31 . Примеры механических линий--спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описываемые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками

алгебра геометрия математика

а : x1 = x1 : x2 = x2 : х3 = ... = xn : b.

Уравнения описываемых этим прибором линий

r2 (x2 + у2)2n-1 = x4n (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движениями, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно перемещать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии» Р. Декарт. Геометрия, стр. 30.. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоминавшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), согласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно описать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометрические и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитическую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,-- пишет он,-- которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обязательно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии» Там же, стр. 33. В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у,-- первой координатой у него служила у.

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраическими, а механические -- трансцендентными, мотивируя отказ от терминологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исключению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зависимости от степени их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п -- 1 и 2п. Классификация требовалась прежде всего для всеобщей математики Декарта (стр. 30), а также была нужна в аналитической геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее, чем с уравнением степени 2п -- 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, приводятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью,-- к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда мимоходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предложение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямолинейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, чтобы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать» Р. Декарт. Геометрия, стр. 34. Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолженной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона которой KL движется вдоль данной прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую при этом через точку L.

Приняв GA, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = b, NL = с, выбрав АВ за ось х и точку А за начало,

Декарт обозначает «неопределенные и неизвестные величины» СВ = у, ВА = х.

Тогда на основании подобия треугольников СВК и NLK, с одной стороны, и CBL и GAL -- с другой, быстро выводится уравнение линии ECG

уу = су ху + ау ас,

так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Декарт, гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания «Геометрии»).

Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637): начало вывода уравнения линии ЕС

Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким образом бесконечное множество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром L, то будет описана конхоида (несомненно, что прием Декарта является как раз обобщением античного определения конхоиды), а если CNK есть парабола с диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та, которую Ньютон впоследствии назвал трезубцем (ср. далее стр. 108). Вообще, заявляет Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет рода п -)- 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел, видимо, до конца легкие, по его собственным словам, вычисления. На самом деле, если в подвижной системе координат СВ = у, BL = х', уравнение линии CNK есть

f(x',y) = 0,

то кривая ECG имеет в прежних координатах уравнение

Неточность Декарта показал на частном примере еще Ферма. В рассмотренном только что примере нарисованы две взаимно перпендикулярные координатные оси, хотя и не в обычном для нас положении. Однако чаще всего Декарт, так же как Ферма и ближайшие поколения их последователей, чертил только одну ось с начальной точкой и указывал направление других координат, вообще говоря наклонных. Отрицательные абсциссы lie рассматривались, что иногда приводило к неточным или неполным чертежам. Эти замечания не относятся к Ньютону или Лейбницу. но правильное различение знаков координат и применение обеих осей стало обычным делом уже в XVIII в.

Силу своего метода Декарт затем демонстрирует на предложенной ему Я. Гоолем задаче Паппа о геометрическом месте к 2п или 2n 1 прямым, которое определяется следующим образом: даны 2п (или 2n 1) прямых, требуется найти геометрическое место таких точек, чтобы произведение отрезков, приведенных от них под данными углами к п из этих прямых, находилось в данном отношении к произведению аналогичных отрезков. проведенных к остальным п (или n 1) прямым. Древние знали, что при п = 2 геометрическое место есть коническое сечение, но не оставили анализа и этого случая: случай же n > 2 остался нерассмотренным. Если мы запишем уравнение прямых в виде аkх + bkу + ck = 0, то длины проведенных к ним отрезков dk пропорциональны левым частям этих уравнений, и для нас отсюда ясно, что уравнение места будет, вообще говоря, кривой порядка п. Декарт, получив выражения для dk в выбранной им косоугольной координатной системе из геометрических соображений, приходит к тому же общему результату. Более подробно он рассмотрел случаи n = 2 и п = 3. Это прежде всего место к трем или четырем прямым, исследование которого дает ему повод исследовать уравнение второго порядка, весьма общего, хотя и не самого общего вида. Пусть данные прямые суть АВ, AD, EF и GH, причем углы, образуемые с ними отрезками СВ, CD, CF и СH, проведенными из точек С искомого геометрического места, определяемого условием CB -CF = CD CH, известны (рис. 8). Декарт принимает одну из данных и одну из проведенных линий, именно АВ и ВС, за оси А В = х, ВС = у и обозначает данные длины отрезков ЕА = k, AG = l. Данными являются также углы треугольников на рис. 8, а значит, отношения их сторон

АВ : BR = z : b, CR : CD = z : с и т. д., где z, b, с, ... суть данные отрезки (Декарт не вводит синусы углов). После этого нее нужные отрезки выражаются через x, у, z, b, с, ..., k,l, линейно относительно х и у:

CB = y, ,

а условие CB·CF = CD·CH выражается уравнением второй степени без свободного члена, решение которого относительно у, после введения некоторых сокращенных обозначений, дает

Однородность полученного уравнения объясняется принятыми для отношений сторон выражениями и, в сущности, не была в глазах Декарта обязательной (ср. стр. 42), но представляла в данном случае то удобство, что в принципе позволяла сразу строить одни отрезки по другим. В приводимом несколько далее числовом примере однородность относительно буквенных величин не соблюдается в отличие от примера Ферма, в алгебре примыкавшего к Виету (ср. стр. 102).

Опираясь на теоремы I книги «Конических сечений» Аполлония, Декарт показывает, что полученное уравнение принадлежит коническому сечению, а в особых случаях, когда радикал обращается в нуль или корень извлекается нацело, оказывается прямой линией: в самостоятельном виде уравнение прямой отсутствует и о «вырождении» кривой второго порядка в пару прямых ничего не говорится. В ходе анализа выясняется, при каких знаках коэффициентов получаются парабола, гипербола и эллипс, в частности окружность, и определяются положение и форма конического сечения -- в случае параболы вершина, диаметр и «прямая сторона» «Прямая сторона» -- термин, восходящий к древности, есть отрезок, равный нашему удвоенному параметру. Слово «параметр» (измеряю) предложил в этом смысле употреблять друг Декарта Кл. Мидорж во «Введения в катоптрику и диоптрику или труде о конических сечениях» (Prodromus catoptricorum et dioptri-corum sive conicoruni opus, Parisiis, 1631)., а в случае центральных кривых--центр вершины, «прямая сторона» и диаметры. Здесь же Декарт разбирает числовой пример, беря ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR и т. д., а угол ABR равным 60°, так что уравнение есть уу = 2у -- ху + 5x -- хх: кривая при этом оказывается окружностью. Общее заключение гласит, что к первому роду принадлежат круг, парабола, гипербола и эллипс. Прямая не упоминается, -- ее принадлежность к первому роду подчеркнул Дебон, который рассмотрел также случай, когда в уравнении нет членов с х2 и у2, но есть ху, оставленный Декартом в стороне.

Вслед за тем Декарт изучает еще место к пяти прямым и специально случай, в котором четыре прямые суть эквидистанты АВ, IH, ED, GF, а пятая GA к ним перпендикулярна (рис. 9), причем CF·CD·CH = СВ·СМ·а, где а -- расстояние между соседними эквидистантами. Здесь появляется первое в истории аналитической геометрии уравнение кривой третьего порядка. Обозначив СВ = у, СМ = х, Декарт находит

у3 -- 2ay2 -- аау + 2а3 = аху,

т. е. уравнение трезубца (см. стр. 106), и показывает, что эта кривая CEG может быть, как он утверждал ранее, описана пересечением параболы CKN, диаметр которой KL = а движется по АВ, и линейки GL, вращающейся вокруг точки G и постоянно проходящей через точку L В подвижной системе координат ЕВ = у, LB = х' уравнение параболы CKN есть у² = а (a -- х'), при этом х' = ху/(2а -- х).. Он не упускает из виду, что искомым местом служит также кривая NIo, описанная пересечением GL с другой ветвью параболы (HKN), можно взять и сопряженные линии cEGc и пI0, получающиеся, если подвижная парабола обращена вершиной в другую сторону. Чертеж в «Геометрии» недостаточно отчетливо изображает вторую часть трезубца, который состоит из двух отдельных линий, имеющих каждая -- в терминологии Ньютона -- гиперболическую ветвь с асимптотой АВ и параболическую ветвь, лишенную асимптоты. Как и должно быть, кривая пересекает на чертеже горизонтальную ось при значениях у = -- а, у = а, у = 2а, но точка перегиба у части, лежащей справа от асимптоты, не обозначена.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и проведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на пространственные кривые посредством проектирования их точек на две взаимно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий» Р. Декарт. Геометрия, стр. 73.

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действительно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналитическая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая геометрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка.

Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочисленных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследования -- комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуждыми аналитической геометрии, в особенности поскольку последняя стремилась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисления» Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. Перевод П. С. Юшкевича. М.-- Л., 1938, стр. 138.. И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометрическая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометрическим построением, и изыскивалось древними» И. Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод А. Н. Крылова. Собрание трудов А. Н. Крылова, т. VII. М.-- Л., стр. 122.. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический метод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на алгебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у Декарта Помимо трезубца Декарт рассмотрел (в переписке 1638 г.) так называемый декартов лист x³ + y³ = 3axy и еще некоторые высшие кривые. (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система координат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные координаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, присущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к тому же менее совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в латинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслуживающие упоминания вещи.

Размещено на Allbest.ru