Логарифмы в природе
Изобретение логарифмов Ж. Кондорсе для упрощения арифметических операций и их историческое значение. Явление логарифмической спирали и понятие о золотом сечении. Биологические примеры функционирования логарифма в ухе и его психологическая трансформация.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.10.2012 |
| Размер файла | 148,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
ВВЕДЕНИЕ
Гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом, расширяет сферу всех наук, в которых эти численные применения, частные случаи искомой истины являют с одним из способов сравнения с фактами результатов гипотезы или теории и путём этого сравнения позволяют дойти до открытия законов природы. В самом деле, в математике протяженность и усложнение чисто практических вычислений имеют предел, который ни время, ни даже силы не позволяют переходить, и без помощи этих удачных сокращений время отметило бы границы самой науки и предел, который усилия гения не могли бы преодолеть.
Ж. КОНДОРСЕ. ИЗ ИСТОРИИ ЛОГАРИФМОВ
В течение XVI в. резко возрос объём работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звёздам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления.
Попытки частичного упрощения этих операций путём сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство - таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. А уже через девять лет (1623 г.) английский математик Д. Гунтер изобрёл первую логарифмическую линейку, ставшую рабочим инструментом для многих поколений пока на её место не пришла электронная вычислительная техника.
Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Джоном Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 -1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ
Самолёт, вылетевший из какой - нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернётся в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолёт будет лететь, пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т. е. держась, всё время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадёт в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облёта он окажется ещё ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.
Уравнение этой спирали r=aekv,где r - расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, v - угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох, a и k -постоянные. Решая его, получу ln ekv = ln r/a , kv = ln r/a,
v = 1/k ln r/a.
Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической.
В математике особо распространены три вида спирали:
|
б) |
В) |
а) архимедова спираль, б) гиперболическая спираль, в) логарифмическая спираль. Рассмотрю более подробно логарифмическую спираль. Логарифмическую спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Если выражаться точнее, то в логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. Эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс, под одним и тем же углом.
Первым учёным, открывшим эту удивительную кривую, был Р. Декарт (1596 - 1650г.). Уже в конце XVII в. многие свойства «изумительной спирали» были исследованы Якобом Бернулли.
Золотой прямоугольник (то есть прямоугольник, стороны которого находятся в «золотом отношении») обладает многими необычайными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, будем получать всё меньшие и меньшие золотые прямоугольники.(а)
а) б)
Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь. Полюс спирали лежит на пересечении пунктирных диагоналей.
Логарифмическая спираль возникает и во многих других геометрических построениях, связанных с числом «золотое сечение» Один из изящных способов вычерчивания логарифмической спирали основан на использовании равнобедренного треугольника, стороны которого находятся в золотом отношении к основанию (б). Полюс этой спирали лежит на пересечении двух медиан, проведённых пунктиром.
Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Её геометрические свойства, в частности инвариантность (сохранение угла ), удивляет и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.
ЛОГАРИФМ И БИОЛОГИЯ
Логарифмическая спираль - единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.
Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходиться скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. Например, по мере роста моллюска Nautilus раковина его, разделённая внутренними перегородками, увеличивается в своих размерах, закручиваясь по логарифмической спирали. При этом домик его не меняет формы: если центральную часть раковины посмотрим под микроскопом, увидим в точности такую же спираль, какая получилась бы, если бы раковина выросла до размеров галактики, и мы разглядывали бы её с большого расстояния. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали, и т. д. По логарифмической спирали формируется и тело циклона. Можно сказать, что спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.
ЛОГАРИФМ И В УХЕ
Начну с описания уха. Оно по своему устройству напоминает музыкальный инструмент. От ушной раковины идёт наружный слуховой проход, имеющий форму воронки
Схема строения уха:1-наружныйслуховой проход, 2- барабанная перепонка,
3 - плоскость среднего уха, 4 - молоточек, 5 - наковальня, 6 -
стремечко, 7- полукружные каналы, 8 - «улитка», 9 -
евстахиева труба.
Слуховой проход служит резонатором, собственная частота которого близка к 3000гц.
В так называемом среднем ухе помещаются три мелкие косточки - молоточек, наковальня и стремечко. Они преобразуют колебания воздуха в колебания жидкости, находящейся в лабиринте внутреннего уха. Мне даже кажется, первые две косточки это отдельные части фортепиано. Ведь во время игры звук возникает при ударах молоточков по струнам. Далее, рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Она представляет собой спирально закрученную трубку, образованную из 2,5 витка.
ЗВЁЗДЫ, ШУМ И ЛОГАРИФМЫ
Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звёзд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.
По логарифмической спирали закручена Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Астрономы делят звёзды на видимые и абсолютные звёздные величины - звёзды первой величины, второй, третьей и т. д. Последовательность видимых звёздных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звёзд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5.Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм её физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звёзд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.
Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приёмы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит «бел» (в честь изобретателя телефона А. Г. Белла), но практически используются единицы громкости, равные его десятой доле, - так называемые «децибелы». Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т. д. Составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.
ЛОГАРИФМ « НА СЛУХУ»
Одно из наиболее важных понятий акустики - тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука.
Сила звука - это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Это физическая величина не выражает величины нашего звукового ощущения - громкости. Если будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты.
Проведу эксперимент: буду увеличивать силу, какого - нибудь звука в 2, 3, 4 раза и вижу, что моё звуковое ощущение не увеличивается во столько же раз. Оказывается, в 1846 году физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. Им было доказано отношение прироста раздражения к его первоначальной величине всегда остаётся постоянным. Названное отношение можно выразить в процентах.
В дальнейшем (в 1860г.) уже другой учёный - Фехнер подверг закон Вебера математической обработке. По результатам исследования был сформулирован общий психофизический закон Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения:
S =k lg(J/J0),
логарифм ухо психологический биологический
где S -ощущение, J0 - первоначальное раздражение, J - последующее раздражение, k - коэффициент пропорциональности.
Единица измерения децибел используется в звуковой технике.
Связано это с тем, что мы реагируем не на абсолютные, а на относительные изменения уровня какого-либо воздействия, в том числе и звукового.
Если сила звука (интенсивность, I, Вт/м2) изменится в 10 раз, то субъективное ощущение громкости -- всего лишь на одну ступеньку, при 100-кратном увеличении силы звука -- на две (lg100 = 2), при 1000-кратном -- на три (lg1000 = 3). Поэтому увеличение или уменьшение силы звука принято измерять в логарифмических единицах и каждое десятикратное изменение силы звука оценивается единицей, называемой Бел (Б). На практике используется в основном единица, равная десятой части Бела - децибел.
Значение в децибелах равно десяти десятичным логарифмам отношения интенсивностей двух сигналов.
ЛОГАРИФМ И ПСИХОЛОГИЯ
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы, раз превосходит яркость какой - ни будь слабой звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, т. е. величина ощущений приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
Работая над темой, я раскрыла для себя много интересного, полезного и этим поделилась с Вами.
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. - М.: Интеллектцентр, 1998, - 112с.
2. Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы. - М.: Интеллектцентр, 1998, - 94с.
3. Берман В.П. Внеклассная работа по математике в училищах. - М.: Интеллектцентр, 1978, - 165с.
4. Воронцов Б.А. Астрономия. - М.: Просвещение, 1987, - 224с.
5. Гарднер Мартин. Математические головоломки и развлечения. - М.: Интеллектцентр, 1971, - 154с.
6. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. - М.: Просвещение, 1981, - 154с.
7. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. - М.: Просвещение, 1993, - 240с.
8. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. - М.: Просвещение, 1981, - 130с.
9. Пышкало А.М. Учебно-наглядные пособия по математике. - М.: Просвещение, 1968, - 147с.
10. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям. - М.: Просвещение, 2005, - 165с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение и назначение логарифмов, история их изобретения. Непер - изобретатель первых логарифмических таблиц. Свойства логарифмов, основные и дополнительные соотношения. Примеры выполнения некоторых заданий по вычислению логарифмов и таблица ответов.
презентация [687,4 K], добавлен 01.03.2012Общая терминология и история изобретения логарифма. Характеристики натурального и обычного логарифма, определение дробного числа и мантиссы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов. Логарифмическая и экспоненциальная кривая, понятие функции логарифма.
реферат [211,2 K], добавлен 05.12.2011Понятие логарифма как числа, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Введение логарифмов математиками Дж. Непером и Иостом Бюрги. Логарифмические свойства и тождества. Различие таблиц натуральных и обычных лагорифмов.
презентация [370,0 K], добавлен 26.11.2012Краткие биографические данные от Джоне Непере - шотландском математике, изобретателе логарифмов и замечательного вычислительного инструмента - таблицы логарифмов. Математические заслуги Брадиса; его Таблицы. Изобретение первой логарифмической линейки.
презентация [5,3 M], добавлен 30.10.2013Шотландский барон Джон Непер как первый изобретатель логарифмов. Пропорции Непера для логарифмирования. Применение логарифмов Кеплером в Марбурге в 1624-1625 гг. Таблица положительных, отрицательных степеней числа 2. Гиперболические логарифмы, применение.
доклад [120,5 K], добавлен 24.12.2011История открытия логарифмов. Определение логарифма. Натуральные, десятичные, двоичные логарифмы и их применение в теории информации и информатике. Логарифмические функции и их графики. Логарифмическая спираль. Риманова поверхность. Свойства функции.
презентация [316,0 K], добавлен 20.02.2011Характерные особенности логарифмов, их свойства. Методика определения логарифма числа по основанию a. Основные свойства логарифмической функции. Множество всех действительных чисел R. Анализ функций возрастания и убывания на всей области определения.
презентация [796,3 K], добавлен 06.02.2012Алгебраические спирали в полярной системе координат. Построение первого витка спирали Архимеда. Интересные свойства логарифмической спирали. Семейство роз Гранди. Геометрические и механические свойства лемнискаты Бернулли. Способ построения кардиоиды.
статья [4,3 M], добавлен 08.05.2011Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Свойства логарифмической функции, методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств логарифма. Решение показательных уравнений.
курсовая работа [265,0 K], добавлен 12.10.2010Логарифм как многозначная функция. Обозначение главного значения логарифма. Свойства логарифма на случай комплексного аргумента. Понятие обратных тригонометрических функций (арккосинуса, арктангенса, арккотангенса), практические примеры их вычисления.
презентация [171,6 K], добавлен 17.09.2013
