Действия с матрицами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Матрица - это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ - это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами 

Пример: рассмотрим матрицу «два на три

»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом - количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например:  - матрица «три на три».

Если в матрице один столбец  или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки  записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение:  и  - это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: 

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль - он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов - тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае - на тройку.

Еще один полезный пример:

 - умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если   - окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.  

Единственное, что желательно сделать в этом примере - это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление - это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу 

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

 - транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом  или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать - это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное. 

НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы

  и 

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:

Найти разность матриц 

, 

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

 

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание - это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  необходимо, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример: Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая записьРазмещено на http://www.allbest.ru/

 не имеет смысла 

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. 

Например, для матриц,  и  возможно как умножение , так и умножение 

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Пример:

Умножить матрицу  на матрицу 
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

 - попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу  на матрицу 

Формула: 

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение  (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу  на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу  на матрицу 

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу  на матрицу 

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Как найти обратную матрицу?

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно - в ходе изучения данной лекции Вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже, если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? …Если интересно, посмотрите в энциклопедии, суть не в определении. А суть чаще всего в том, что вот оно, злосчастное задание, где нужно найти обратную матрицу. И это задание нужно решить либо разобраться, как оно решается.

Прежде чем приступить к рассмотрению примеров на нахождение обратной матрицы, рассмотрим один важный вопрос. Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? Ответ. Вы должны уметь решать определители. Как вычислить определитель смотрите в соответствующей статье. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с матрицами.

Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если Вы что-то не знаете, я буду давать нужную ссылку по ходу объяснений.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу  можно найти по следующей формуле:

, где  - определитель матрицы ,  - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как Вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом 

Начнем с простейшего случая - матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Если с пониманием сего действа плоховато,  ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель. 

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ - обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров 

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в

данном случае . 

Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице 

Сначала рассмотрим левый верхний элемент

Как найти его минор?

А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Готово.

 - матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений 

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

 - матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

 - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу 
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение  либо 

Проверка: 

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Переходим к более распространенному на практике случаю - матрице «три на три».

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где  - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что , а значит, всё нормально - обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров 

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:



Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как Вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления - нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:

 - матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными - чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений 

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:

 - матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

 - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ:

Проверка: 

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи - и есть нахождение обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методических указаниях можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, но я Вам рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках - гораздо меньше. матрица транспонирование обратная

1. Размещено на www.allbest.ru