Булева алгебра

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ЮЖНО-КАЗАХСТАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФАРМАЦВТИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра медицинской биофизики, информатики и математики

РЕФЕРАТ

Тема: Булева алгебра

ШЫМКЕНТ 2012

План

Введение

История Булева алгебра

Понятие Булева алгебра

Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма

Заключение

Список литературы

Введение

В данном реферате я попытаюсь раскрыть, некоторые аспекты булевой алгебры. Математическая логика является современной формой, так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. (Другие ее названия: символическая логика, теоретическая логика, логистика.) В формальной логике и, соответственно, в математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся (которые предполагаются правильными), без практических исследований. В действительности, новое открытие, полученное в результате вывода, (так называемый окончательный вывод) в скрытой форме находится в предварительно имеющихся знаниях, в так называемых предпосылках.

История Булева алгебра

Алгебра применяется во многих точных науках. Это физика, механика, сопромат, электричество. Закон Ома есть не что иное, как алгебраическое уравнение: достаточно вместо букв подставить их числовые значения, чтобы узнать какой ток будет протекать в нагрузке, или какое сопротивление имеет участок цепи.

Так вы познакомились с алгеброй чисел, или с элементарной алгеброй. Основная и почти единственная задача -- получить ответ на вопрос: «Чему равняется X? Сколько?»

В старших классах школы изучают начала векторной алгебры. Эта алгебра принципиально отличается от элементарной алгебры. В ней совершено другая природа изучаемого множества и другие правила действий. Решая векторное уравнение, получаем в ответе вектор, который не является обычным числом, отвечающим на вопрос «Сколько?»

Формулы векторной алгебры во многом отличны от формул элементарной алгебры. Например, и в элементарной алгебре и в векторной имеется операция сложения. Но выполняется она совершенно по-разному. Сложение чисел выполняется совсем не так, как сложение векторов.

Существуют и другие алгебры: линейная алгебра, алгебра структур, алгебра колец, алгебра логики, или, что то же самое, алгебра Буля. На школьных уроках вы, наверное, не слышали имени Джорджа Буля -- зато всем известно имя одной из его талантливых дочерей Этель Войнич (1864 - 1960). Она написала роман «Овод», где рассказывается о борьбе за свои права итальянских карбонариев.

Джордж Буль родился в Англии 2 ноября 1815 года. Всю свою жизнь он работал учителем математики и физики в школе. Из воспоминаний его учеников известно, какое огромное значение придавал Буль развитию творческих способностей учащихся. При изложении нового материала он стремился к тому, чтобы его ученики сами заново «открывали» некоторые формулы и законы.

Рассказывая ученикам о трудностях, с которыми ученые неизбежно сталкивались в поиске истины, учитель любил повторять одну восточную мудрость: даже персидский трон не может принести человеку столько наслаждений, как самое маленькое научное открытие. Буль никогда не терял надежды, что когда-нибудь и его ученики сделают настоящее открытие.

Диапазон научных интересов Буля был очень широк: в равной степени его интересовали математика и логика -- наука о законах и формах мышления. В те времена логика считалась гуманитарной наукой, и многих, кто знал Джорджа Буля, удивляло, как в одном человеке могли уживаться точные методы познания, присущие математике, и чисто описательные методы логики.

Но ученому захотелось сделать науку о законах и формах мышления такой же строгой, как и любая из естественных наук, скажем математика и физика. Для этого Буль стал обозначать буквами не числа, как это делается в обычной алгебре, а высказывания и показал, что такими уравнениями, очень схожими с алгебраическими, можно решать вопросы об истинности и ложности высказываний, сделанных человеком. Так возникла алгебра Буля.

Но еще задолго до Джорджа Буля немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц (1646--1716) впервые высказал идею о создании науки, которая обозначит все понятия обычной разговорной речи символами и установит некоторую новую алгебру для соединения этих символов. После создания такой науки, по мнению Лейбница, ученые и философы перестанут спорить и перекрикивать друг друга, выясняя истину, а возьмут в руки карандаш и спокойно скажут: «Давайте-ка вычислять!»

В наши дни алгебра логики стала важнейшей составной частью математики. Одна из ее задач -- это решение всевозможных уравнений, числовые соотношения в которых заменены буквенными. Каждый из вас, наверное, на всю свою жизнь запомнил, как решать уравнения второй и третьей степени с буквенными коэффициентами. Так вот, Буль в своей новой алгебре воспользовался всеми этими формулами и правилами.

Понятие Булева алгебра

Булева алгебра, область математики, содержащая правила обращения с множествами, а также с логическими утверждениями типа «и», «или». Например, в Булевой алгебре выражение ху означает «х и у», а х+у - это «х или у». Данный принцип широко применяется при создании компьютеров, где двоичная система (0 и 1) соответствует логическим утверждениям, на основе которых функционирует компьютер. Название этой отрасли алгебры дано по имени Джорджа Буля.

Это -- алгебра лотки. На рисунке проиллюстрированы пять основных логических утверждении. Для любого из них, если А верно, то в таблице появляется «1». Если А ложно, появляется «О». В утверждении типа «И» С верно (т.е. в таблице имеется 1), когда верны А и В, но ложно, если и А, и В ложны. В утверждении «ИЛИ» С верно, если верно либо А, либо В, и ложно только в том случае, если и А, и В ложны. Утверждение «НЕТ» имеет один вход и один выход, его функция заключается в перемене местами «верного» и «ложного»; применение его к выражениям «И» и «ИЛИ» дает соответственно «НЕ» и «НИ». Утверждения Булевой алгебры,показанные здесь, можно также изобразить как элементы электрического контура (ввод слева, выход справа) или, по способу и, как в теории множеств (результат обозначен на рисунке закрашиванием соответствующих участков).

Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее ДНФ, причем не единственную.

Например, для формулы А = х (х y) имеем:

А = х ( х y) = (х х) (х y) = х y, то есть

ДНФ А = (х х) (х y) и

ДНФ А = х y.

Среди многочисленных ДНФ А существует единственная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства. Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы А (СДНФ А).

Как уже указывалось, СДНФ А может быть получена с помощью таблицы истинности.

Другой способ получения СДНФ формулы А основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:

путем равносильных преобразований формулы А получают одну из ДНФ А.

если в полученной ДНФ А входящая в нее элементарная конъюнкция В не содержит переменную xi, то, используя закон B (xi xi) = B, элементарную конъюнкцию B заменяют на две элементарных конъюнкции (B xi) и (B xi), каждая из которых содержит переменную xi.

если в ДНФ А входят две одинаковых элементарных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью В В = В.

если некоторая элементарная конъюнкция В, входящая в ДНФ А, содержит переменную xi и ее отрицание xi, то, на основании закона xi xi = 0, В = 0 и В, таким образом, можно исключить из ДНФ А, как нулевой член дизъюнкции.

если некоторая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ А, содержит переменную xi дважды, то одну переменную можно отбросить, пользуясь законом xi xi = xi.

Ясно, что после выполнения описанной процедуры будет получена СДНФ А. Например, для формулы А = x y (x y) ДНФ А = x (x y) (y y). Так как элементарная конъюнкция В = х, входящая в ДНФ А, не содержит переменной у, то заменим ее на две элементарных конъюнкции (x y) и (x y), В результате получим ДНФ А = x y x y x y y y.

Так как теперь ДНФ А содержит две одинаковых элементарных конъюнкции x y, то отбросим лишнюю. В результате получим ДНФ A = x y x y y y.

Так как элементарная конъюнкция y y содержит переменную у и ее отрицание, то y y = 0, и ее можно отбросить как нулевой член дизъюнкции.

Таким образом, получаем СДНФ А = x y x y.

Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма

Элементарной дизъюнкцией п переменных называется дизъюнкция переменных или их отрицаний.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее КНФ, причем не единственную.

Например, для формулы А = (х у) х у имеем:

А = ( (х у) х у) (х у (х у)) =

= (х у х у) ( (х у) (х у)) =

= (х х у) (х у у) ( х у х) ( х у у) , то есть

КНФ А = (х х у) (х у у) ( х у х) ( х у у).

Но так как х х = х, у у = у, х х = х, у у = у, то

КНФ A = (х у) (х у) ( х у) ( х у).

А так как (х у) (х у) = х у, ( х у) ( х у) = ( х у), то

КНФ A = (х у) ( х у).

булева алгебра математическая логика

КНФ А называется совершенной конъюнктивной нормальной формой формулы А (СКНФ А), если для нее выполнены условия:

Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ А , различны.

Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ А, содержат все переменные.

Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, не содержит двух одинаковых переменных.

Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, не содержит переменную и ее отрицание.

Можно доказать, что каждая не тождественно истинная формула имеет единственную СКНФ.

Один из способов получения СКНФ состоит в использовании таблицы истинности для формулы А. Действительно, получив с помощью таблицы истинности СДНФ А, мы получим СКНФ А, взяв отрицание (СДНФ А), то есть СКНФ А = (СДНФ А).

Другой способ получения СКНФ, использующий равносильные преобразования, состоит в следующем:

Путем равносильных преобразований формулы А получают одну из КНФ А.

Если в полученной КНФ А входящая в нее элементарная дизъюнкция В не содержит переменную хi, то, используя закон В (xi xi) = В, элементарную дизъюнкцию В заменяют на две элементарные дизъюнкции В xi и В xi, каждая из которых содержит переменную xi.

Если в КНФ А входят две одинаковых элементарных дизъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь законом В В = В.

Если некоторая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, содержит переменную xi дважды, то лишнюю можно отбросить, пользуясь законом xi xi = xi.

Если некоторая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, содержит переменную xi, и ее отрицание, то xi xi = 1 и, следовательно, вся элементарная дизъюнкция имеет значение 1, а поэтому ее можно отбросить, как истинный член конъюнкции.

Ясно, что после описанной процедуры будет получена СКНФ А. Например, для формулы А = x y (x y) КНФ А = x (y (x y)) = (x y) (x x y). Так как обе элементарные дизъюнкции содержат все переменные (x и y), то первое и второе условие СКНФ выполнены. Элементарная дизъюнкция x x y содержит переменную х дважды, но x x = x, поэтому КНФ А = (x y) (x y); причем, ни одна из элементарных дизъюнкций не содержит переменную и ее отрицание. Значит, все условия СКНФ выполнены, и, следовательно, СКНФ А = (x y) (x y).

Заключение

Булеву алгебру образуют все подмножества некоторого множества. То, что они образуют решетчатую структуру, очевидно. Нетрудно доказать и выполнение дистрибутивности. Нулевым элементом является пустое множество, а единичным -- все основное множество. Для каждого подмножества существует дополнительный элемент -- дополнение к множеству в теоретико-множественном смысле. Булевы алгебры находят применение главным образом в теории множеств, в математической логике, в теории вероятностей и в функциональном анализе.

Список литературы

1. Малая математическая энциклопедия. Э. Фрид., И. Пастор., И. Рейман., П. Ревес., И. Ружа. Издательсво академии наук Венгрии. Будапешт 1976 г.

2. Математический анализ. ЧастьIII. В.А.Зоричь. Москва «наука». 1984 г.

Размещено на Allbest.ru