Метод Эйлера
Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений. Метод Эйлера как наиболее простой численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функции Эйлера.
| Рубрика | Математика |
| Вид | доклад |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.10.2012 |
| Размер файла | 95,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Метод Эйлера
Метод Эйлера - наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление». Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.
Описание метода
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка
эйлер интегрирование уравнение система
где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале (x0, b). На этом интервале введем узлы
Приближенное решение в узлах xi, которое обозначим через yi определяется по формуле
Пример:
у = у - х
у = 1 [1; 2]
х=1
1. Разобьем отрезок на 10 частей: x = = 0,1; х =1, у =1.
Уравнение касательной:
у = у + у (х) (х-х), т.е. у =у + (х, у) (х-х), тогда у=1+0 х= 1,
Удобно пользоваться таблицей:
|
і |
х |
у |
(х, у) |
(х, у) |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1.1 |
1 |
-0.21 |
-0.02 |
|
|
2 |
1.2 |
0.98 |
-0.48 |
-0.05 |
|
|
3 |
1.3 |
0.93 |
-0.82 |
-0.08 |
|
|
4 |
1.4 |
0.85 |
-1.24 |
- 0.12 |
|
|
5 |
1.5 |
0.73 |
-1.71 |
-0.17 |
|
|
6 |
1.6 |
0.56 |
-2.25 |
-0.23 |
|
|
7 |
1.7 |
0.33 |
-2.78 |
-0.28 |
|
|
8 |
1.8 |
0.05 |
-3.23 |
-0.32 |
|
|
9 |
1.9 |
-0.27 |
-3.53 |
-0.35 |
|
|
10 |
2 |
0.08 |
-3.99 |
-0.4 |
Метод Эйлера для дифференциальных уравнений второго порядка
Уравнение
(1)
называется неоднородным линейным уравнением Эйлера, а уравнение без правой части
(2)
называется однородным линейным уравнением Эйлера.
Уравнения (1) и (2) подстановкой приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Уравнения
и
приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи замены
Примеры
Делаем замену Находим производные по переменной x, с учетом того, что x= x(t) и
Подставляем в уравнение:
или значок t производных опущен. Получили уравнение с постоянными коэффициентами. Корни характеристического уравнения
,
Возвращаемся к переменной x ():
Делаем замену Производные были найдены в двух предыдущих
примерах:
Подставляем в уравнение:
Корни характеристического уравнения ,
Общее решение Возвращаемся к переменной x ():
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
курс лекций [871,5 K], добавлен 11.02.2012Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.
контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013
