Уравнения с модулями
Понятие модуля (абсолютной величины) действительного числа. Основные свойства модуля и его геометрический смысл. Графическое решение квадратных уравнений. Схемы решений основных типов уравнений. Особенности решения уравнения со "сложным" модулем.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.10.2012 |
| Размер файла | 74,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Основные сведения
Определение. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х (обозначается |x|) называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное:
x, если х ? 0
- х, если х < 0.
Основные свойства модуля.
1. Число неотрицательно тогда и только тогда, когда оно равно своему модулю, т.е. х ? 0 |x|= x.
2. Число рано нулю тогда и только тогда, когда его модуль равен нулю, т.е. х = 0 |x|= 0.
3. Число не положительно тогда и только тогда, когда его модуль равен противоположному числу, т.е. х ? 0 |x|= - x.
4. Модуль числа есть число неотрицательное, т.е.
|x| ? 0 для любого x
5. Модуль числа не меньше, как самого числа, так и числа ему противоположного, т.е.
|x| ? x для любого x
|x| ? - x для любого x
6. Модули противоположных чисел равны, т.е.
|x| = |-x| для любого x
7. Квадрат модуля равен квадрату под модульного выражения, т.е. |x|2 = x2 для любого x.
8. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е. |a b| = |a| · |b|.
9. Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. .
10. |am| = |a|m для любого целого значения m.
11. Если n - целое число, то |a|n = an.
12. Квадратный корень из квадратного числа равен модулю этого числа, т.е. .
13. Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства:
| |a| - |b| | ? |a + b| ? |a| + |b|
| |a| - |b| | ? |a - b| ? |a| + |b|
2. Геометрический смысл модуля
Каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, для которой это число явилось координатой. Абсолютная величина этого числа - это расстояние от соответствующей точки оси до начала координат.
Таким образом, абсолютная величина (модуль) действительного числа есть расстояние от точки, изображающей это число на числовой оси, до начала координат. Например, уравнению |x| = 3 соответствуют две точки: x1 = -3 и x2 = 3, уравнению |x| = 0 - одна точка 0 - начало координат, а уравнению |x| = c (c < 0) не отвечает ни одно число, т.е. это уравнение не имеет корней, т.е. x Є O.
3) Если a = b, то S = a - b = b - a = 0
Все эти случаи можно объединить одной формулой
S = |a - b|, которая читается следующим образом: |a - b| - это расстояние на числовой (координатной) оси между точками a и b.
Рассмотрим теперь связь соотношений |х| = c, |х| < c,
|х| ? c, |х| > c, |х| ? c, (c > 0) с соответствующими множествами на числовой (координатной) оси.
3. Графическое решение уравнений
Решить графически уравнение | |x - 1| - 1 | = x2 - 4.
1) Строим y = |x|
2) y = | x - 1| - сдвигаем график y = |x| вправо вдоль оси ОХ на 1 единичный отрезок.
3) y = | x - 1| - 1 - сдвигаем график y = | x - 1| на 1 единичный отрезок вниз по оси OY.
4) y = | x - 1| - 1| - отражаем симметрично относительно оси ОХ ту часть, которая ниже оси абсцисс, и оставляя без изменения ту часть, для которой y ? 0.
5) y = x2 - 4 - график парабола, полученная сдвигом графика
y = x2 на 4 единичных отрезка вниз вдоль оси OY.
Графики функций y = | x - 1| - 1| и y = x2 - 4 пересекаются в точках x1 и x2=2.
Найдем x1. x1 < 0. x1 - это точка пересечения параболы y = x2 - 4 и прямой y = - x (x < 0), т.е. найдём отрицательный корень уравнения
x2 - 4 = - x,
x2 + x - 4 = 0,
Д = 1+ 16 = 17, .
Значит, x1<0, то .
Ответ: 2, .
Схемы решений основных типов уравнений.
1. Уравнение |x| = c (c - действительное число).
x = ± c, если c > 0,
|x| = c x = 0, если c = 0,
x Є O, если c < 0.
2. Уравнение | ±f | = f.
| ±f | = f f ? 0.
3. Уравнение вида | f | = g.
модуль графический уравнение сложный
4. Уравнения со «сложным» модулем
Будем называть «сложным» модулем такое выражение, в котором под знаком модуля находится функция, в записи которой - один или несколько модулей. Уравнения, указанного в названии вида, решаются, как правило, методом интервалов или применением рассмотренных выше свойств модуля.
7) Решить уравнение:
| | x + 1 | + 2 | = 1.
Т.к. | x + 1 | ? 0, то | x + 1 | + 2 ? 2, значит, уравнение не имеет решений.
Ответ: x Є O.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.
контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009История развития формул корней квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Решение квадратных уравнений Диофантом. Квадратные уравнения в Индии, в Хорезмии и в Европе XIII - XVII вв. Теорема Виета, современная алгебраическая запись.
контрольная работа [992,3 K], добавлен 27.11.2010Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012Изучение истории квадратных уравнений. Анализ общего правила решения квадратных уравнений, изложенного итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, с помощью номограммы, способом "переброски".
презентация [840,6 K], добавлен 16.01.2011Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений.
курсовая работа [134,3 K], добавлен 01.07.2008Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010
