Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Формирование современного понимания функциональной зависимости. Достаточные условия экстремума функции. Нахождение экстремума с помощью производной. Определение предела функции в теореме Коши. Эквивалентность различных определений предела функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.10.2012 |
| Размер файла | 23,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. «Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства».
В тексте реферата раскрываются понятия функции и дифференцируемость функции, пределы и непрерывность функции в точке.
Общее понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появилась в 1692г. у Г. Лейбница, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу в 1698г. швейцарский учёный И. Бернулли.
В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики.
В аппарате изучения различных свойств функции особое место занимает теорема Лагранжа, благодаря этой теореме можно установить условия постоянства и монотонности функции. Также в теоремах Лагранжа доказываются достаточные условия экстремума.
Не менее знаменитый математик Ферма Пьер, один из создателей аналитической геометрии и дифференциального исчисления. Открыл правило нахождения экстремума с помощью производной. Автор многих теорем теории чисел. Знаменитая теорема Ферма из теории чисел, которую Ферма сформулировал без доказательства, не доказана до сих пор. Формулировка Ферма гласит: «Разделить куб на два других куба и вообще какую-нибудь степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашёл воистину замечательное доказательство этого, но поля слишком узки, чтобы вместить его» .
Большой вклад в математику также внёс Коши. Его определение предела функции является эквивалентным и по Гейне и доказывается одной теоремой.
Но даётся два определения предела функции (по Коши, по Гейне). Общее понятие предела функции выглядит так: «Число b называется пределом функции f в точке а (или: при стремящемся к а, при а) и пишут
lim f (v) =b,
а
если для любого положительного числа можно подобрать такое положительное число , что
f(
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда
f (а)-f(b) т.е. когда секущая AB параллельна оси ОЖ. И рассматривается там подробно.
1. Теорема Коши
функция экстремум теорема коши
Предел и непрерывность функции в точке. Эквивалентность различных определений предела функции.
Пусть функция y =f(х) определена на некотором бесконечном множестве Х и пусть R - предельная точка множества Х. (т.е. любая окрестность этой точки содержит бесконечно много точек множества Х, при этом сама точка может и не принадлежать множеству).
Обозначим:
Дадим два определения предела функции.
1. Определение предела функции по Коши.
Число b называется пределом функции y= f(х) в точке , если для любой - окрестности точки b найдётся - окрестность точки , такая, что для всех из области определения функции, содержащихся в проколотой - окрестности точки , соответствующие значения функции f(x) содержатся в - окрестности точки b.
( и b могут быть как конечными, так и бесконечными).
В частности , если и b конечные , определение можно переформулировать следующим образом:
Если же, = а b - конечное, то:
lim f (x)=b>0 ?
Аналогично определяются остальные случаи.
2. Определение предела функции по Гейне.
Число b называется пределом функции y = f(x) в точке , если для любой последовательности значений аргумента x
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Теорема Ролля и ее доказательство, структура и геометрический смысл. Сущность теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу, использование в ней результатов теоремы Ролля. Отражение и обобщение работы Лагранжа в теореме Коши, методика ее доказательства.
реферат [208,2 K], добавлен 15.08.2009Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.
презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Понятие непрерывности функции. Понятие, физический и геометрический смысл производной. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля о нулях производных. Формула конечных приращении Лагранжа. Обобщенная формула конечных приращении (формула Коши).
курсовая работа [812,7 K], добавлен 17.03.2015Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Теория задач на отыскание наибольших и наименьших величин. Достаточные условия экстремума. Решение гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств. Конечномерная теорема об обратной функции. Доказательство теоремы Вейштрасса.
курсовая работа [148,9 K], добавлен 19.06.2012
