Решение задач Коши, интерполирования и аппроксимирования для обыкновенного дифференциального уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Индивидуальное задание

1. Решить задачу Коши с помощью одного из численных методов.

Дифференциальное уравнение у'= x · sin(x + y), с начальными условиями Х₀ = 0 и У₀ = 0.5 на интервале [0 ; 0.8] с шагом h= 0,1.

2. Оценить погрешность вычислений при решении задачи Коши.

3. Полученные данные представить в виде таблицы 1.1

Таблица 1.1

i	Хi	Уi	(Хi)
0
1
…..
n

4. Построить график решения дифференциального уравнения.

5. По узлам с чётными номерами таблицы 1.1 построить интерполяционный многочлен, с помощью которого сгустить таблицу 1.1 в пять раз, то есть увеличить количество расчетных значений таблицы 1.1 в 5 раз.

6. Рассчитать погрешность интерполирования.

7. Полученные данные представить в виде таблицы 1.2

Таблица 1.2

i	Хi	Pn(Xi)	(Хi)
0
1
….
5n

8. Построить графики решения дифференциального уравнения и интерполяционного многочлена в одних осях координат.

9. Аппроксимировать решение дифференциального уравнения методом наименьших квадратов.

10. Рассчитать погрешность аппроксимации.

11. Полученные данные представить в виде таблицы 1.3

Таблица 1.3

i	xi	y(xi)	F(xi)	F(xi)-yi	(F(xi)-yi)2
0
1
….
n
д=

12.Построить графики решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одних осях координат.

13. Провести анализ полученных результатов.

Примечание:

-дифференциальное уравнение решается методом Эйлера,

-интерполяционный многочлен строиться в форме Ньютона,

-аппроксимирование производиться квадратичной функцией.

Расчет курсовой работы должен осуществляться двумя способами:

1. Расчет вручную с описанием процесса выполнения расчета.

2. Расчет на компьютере с помощью программ MS Excel или MahtCad



Содержание

Введение

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера

1.1 Постановка задачи

1.2 Ручной расчет решаемой задачи методом Эйлера

1.3 Правило Рунге практической оценки погрешности

2. Интерполирование. Интерполяционная формула Ньютона. Погрешность интерполирования

2.1 Постановка задачи

2.2 Ручной расчет решения задачи интерполирования

3. Аппроксимирование

3.1 Постановка задачи

3.2 Ручной расчет коэффициентов системы линейных уравнений при квадратичном аппроксимировании

3.3 Решение системы уравнений методом Гаусса

3.4 Расчёт погрешности аппроксимации

Заключение

Список используемой литературы



Введение

В современных инженерно-технических задачах используется сложный математический аппарат и методы их решения.

Часто встречаются задачи, для которых аналитическое решение нецелесообразно. В этом случае применяются численные методы решения, которые реализуются на компьютере с помощью численных алгоритмов. К таким задачам, в частности, относится задачи Коши, задачи интерполяции и аппроксимации, которые осуществляются на основе полученных результатов данных.

Особенность численных методов заключается в том, что они легко реализуются на ПК, что делает их - мощным и универсальным вычислительным инструментом. Разработка самого численного метода предполагает - замену исходной математической задачи другой, сформированной терминах чисел и арифметических операциях.

В итерационных методах исходных данными для каждой последующей вычислительной процедуры являются результаты применения предыдущих процедур. Итерационные методы позволяют получить приближенное решение, мало отличающееся от точного решения. Но даже в этом случае результат не лишен некоторой доли погрешности.

Вычислительные процессы, выполняемые в ПК, содержат многие миллионы операций. В этих условиях даже небольшая погрешность может быть сильно увеличена последующими операциями. Поэтому анализ погрешности в численном методе должен являться непременной составной частью проводимых вычислений.



1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера

1.1 Постановка задачи

Задача курсовой работы сводится к численному расчету дифференциального уравнения первого порядка вида:

dy

У'= = f(x,y) (1.1)

dx

Здесь некая функция у(х) есть, так называемое решение дифференциального уравнения, так как если осуществить подстановку её в (1.1), в результате чего она превращает данное уравнение в тождество.

Рисунок 1.1 дает представление о геометрической интерпретации множества решений дифференциального уравнения вида (1.1) и задание начального условия у(х) при х₀ (т.е. у(х₀)=у₀), что позволяет из множества решений выбрать одно. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Y(x) +Cn

Y(x)

Y(x) +C1

Рис.1.1 Множество решений дифференциального уравнения

Основная задача сводится к отысканию решения дифференциального уравнения при заданных условиях у(х₀)=у₀ на отрезке [а, в], где а=х₀, и называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Метод Эйлера является наиболее простым численным методом позволяющим решать дифференциальные уравнения. Принцип расчётов по данному методу довольно прост: каждое последующее значение решения Уi+1 соответствующее для узла (xi;yi) рассчитывается на основе предыдущей точки. При этом используется следующий порядок расчёта:

X_i+1 =X_i+h

Уi+1=Уi+h*f (xi; yi), где i=0,1,2……. (1.2)

где h- шаг интегрирования.

Расчёт начинается с узла X₀, для которого задано начальное условие У₀, и повторяется для каждого последующего узла Xi є [а, в].

Рис.1.2 Графическая интерпретация метода Эйлера на одном шаге интегрирования

На рисунке 1.2 приведена геометрическая интерпретация метода Эйлера. Переход от точки (х_i; у_i) к новой точке (х_i+1; у_i+1) осуществляется по прямой, которая является касательной к интегральной кривой.

Из рисунка видно, что У₁=У₀+У₀. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что У₀=h*tg .Тангенс угла наклона касательной в точке (Х₀,У₀) находится как tg = У (Х₀, У₀), а У(Х₀, У₀)=f(Х₀,У₀). Таким образом, получаем, что У₀= h*f(Х₀,У₀), и соответственно



У₁= У₀+h *f (Х₀, У₀).

Аналогично, проводя через точки (Х₁,У₁), (Х₂,У₂) и т.д. прямые в направлении касательных к интегральной кривой в соответствующих точках, получим решение задачи Коши на интервале [а, в], графическая интерпретация которого представлена в виде ломанной Эйлера на рисунке 1.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Рис. 1.3 Графическая интерпретация метода Эйлера на интервале [а, в]

Метод Эйлера обладает малой точностью. Погрешность вычислений метода Эйлера зависит от шага h и пропорциональна шагу h в первой степени. Поэтому метод Эйлера является методом первого порядка.

1.2 Ручной расчет решаемой задачи методом Эйлера

По условию задачи нужно решить дифференциальное уравнение у'=cos x+ cos y с начальными условиями Х₀= 0,7 и У₀= -2,1 на интервале [0,7; 1,5] с шагом h= 0,1.

Найдём решение этого уравнения методом Эйлера. Для этого воспользуемся формулами (1.2).



Х₁= Х₀+ h = 0,7 +0,1= 0,8

У₁= У₀+ h* (cos Х₀+ cos У₀) =-2,1+ 0,1*(cos(0,7)+ cos(-2,1))= -2,0740004

Аналогично найдём и остальные значения х и у.

Х₂= Х₁+ h = 0,8 +0,1= 0,9

У₂=У₁+h*(cosХ₁+cosУ₁)= -2,0740004+0,1*(cos(0,8)+ cos(-2,0740004))= -2,0525532

Х₃= Х₁+ h = 0,9 +0,1= 1,0

У₃=У₂+h*(cosХ₂+cosУ₂)= -2,0525532+0,1*(cos(0,9)+ cos(-2,0525532))= -2,0367259

Х₄= Х₃+ h = 1,0 +0,1= 1,1

У₄=У₃+h*(cosХ₃+cosУ₃)= -2,0367259+0,1*(cos(1,0)+ cos(-2,0367258))= -2,027621

Х₅= Х₄+ h = 1,1 +0,1= 1,2

У₅=У₄+h*(cosХ₄+cosУ₄)= -2,027621+0,1*(cos(1,1)+ cos(-2,0276208))= -2,0263715

Х₆= Х₅+ h = 1,2 +0,1= 1,3

У₆=У₅+h*(cosХ5+cosУ5)= -2,0263715+0,1*(cos(1,2)+ cos(-2,0252904))= -2,0341336

Х₇= Х₆+ h = 1,3 +0,1= 1,4

У₇=У₆+h*(cosХ6+cosУ6)= -2,0341336+0,1*(cos(1,3)+ cos(-2,0329554))= -2,0520773

Х₈= Х₇+ h = 1,4 +0,1= 1,5

У₈=У₇+h*(cosХ₇+cosУ₇)= -2,0520773+0,1*(cos(1,4)+ cos(-2,0507936))= -2,0813721



1.3 Правило Рунге практической оценки погрешности

Удобный и практический способ оценки погрешности вычислений дает правило Рунге. Вычислим решение, соответствующее Xi, дважды: сначала в результате одного шага величиной h, а затем в результате двух шагов величиной h/2. Тогда, согласно правилу Рунге, погрешность задается формулой: е= 2*(Уih-Уih/2).

Для вычисления Уih/2 воспользуемся формулами:

У²_i+1=Уi+h/2*f(Xi,Уi) (1.3)

Уih/2=У²_i+1+h/2*f(Xi+h/2,У²_i+1)

У²₁= -2,1+0,05*(cos(0,7)+cos(-2,1))= -2,0870002

У₁h/2= -2,0870002+0,05*(cos(0,7+0,05)+cos(-2,0870002))= -2,0750949

е₁=2*(У₁h-У₁h/2)=2*(-2,0740004-(-2,0750949))= 0,0021889

Аналогично найдём и остальные значения Уih/2 и еi

У²₂= -2,0750949+0,05*(cos(0,8)+cos(-2,0750949))= -2,0644192

У₂h/2= -2,0644192+0,05*(cos(0,8+0,05)+cos(-2,0644192))= -2,055111

е₂=2*(У₂h-У₂h/2)=2*(-2,0525532-(-2,055111))= 0,0051156

У²₃= -2,055111+0,05*(cos(0,9)+cos(-2,055111))= -2,04731061

У₃h/2= -2,04731061+0,05*(cos(0,9+0,05)+cos(-2,04731061))= -2,0411607

е₃=2*(У₃h-У₃h/2)=2*(-2,0367259-(-2,0411607))= 0,0088696

У²₄= -2,0411607+0,05*(cos(1,0)+cos(-2,0411607))= -2,03680612

У₄h/2= -2,03680612+0,05*(cos(1,0+0,05)+cos(-2,03680612))= -2,0343938

е₄=2*(У₄h-У₄h/2)=2*(-2,0367259-(-2,0343938))= 0,0088696

У²₅= -2,0343938+0,05*(cos(1,1)+cos(-2,0343938))= -2,03407246

У₅h/2= -2,03407246+0,05*(cos(1,1+0,05)+cos(-2,03407246))= -2,0359922

е₅=2*(У₅h-У₅h/2)=2*(-2,0263715-(-2,0359922))= 0,0192413

У²₆= -2,0359922+0,05*(cos(1,2)+cos(-2,0359922))= -2,04030416

У₆h/2= -2,04030416+0,05*(cos(1,2+0,05)+cos(-2,04030416))= -2,0471604

е ₆=2*(У₆h-У₆h/2)=2*(-2,0341336-(-2,0471604))= 0,0260536

У²₇= -2,0471604+0,05*(cos(1,3)+cos(-2,0471604))= -2,05671302

У₇h/2= -2,05671302+0,05*(cos(1,3+0,05)+cos(-2,05671302))= -2,0691136

е ₇=2*(У₇h-У₇h/2)=2*(-2,0520773-(-2,0691136))= 0,0340727

У²₈= -2,0691136+0,05*(cos(1,4)+cos(-2,0691136))= -2,0845127

У₈h/2= -2,0845127+0,05*(cos(1,4+0,05)+cos(-2,0845127))= -2,1030584

е ₈=2*(У₈h-У₈h/2)=2*(-2,0813721-(-2,1030584))= 0,0433727

Все вычисления сведём в таблицу 1.4

Таблица 1.4

i	Хi	Уih	Уih/2	(Хi)
0	0,7	-2,1	-2,1	0
1	0,8	-2,0740004	-2,0750949	0,0021889
2	0,9	-2,0525532	-2,055111	0,0051156
3	1,0	-2,0367259	-2,0411607	0,0088696
4	1,1	-2,027621	-2,0343938	0,0135457
5	1,2	-2,0263715	-2,0359922	0,0192413
6	1,3	-2,0341336	-2,0471604	0,0260536
7	1,4	-2,0520773	-2,0691136	0,0340727
8	1,5	-2,0813721	-2,1030584	0,0433727

По значениям таблицы 1.4 построен график решения дифференциального уравнения(рисунок 1.4).



Рис.1.4 Решение дифференциального уравнения у'=cos x+cos y с начальными условиями Х₀= 0,7 и У₀= -2,1 на интервале [0,7; 1,5] с шагом h= 0,1



2. Интерполирование. Интерполяционная формула Ньютона. Погрешность интерполирования

2.1 Постановка задачи

Задача интерполирования возникает в случаях, когда известны результаты измерения у_i= f(х_i) некоторой физической величины f(x) в узлах х_i є[a;b], i=0,1,2,…,n и требуется восстановить значение этой функции в остальных точках этого отрезка [a;b].

Пусть известные значения некоторой функции f(x) образуют таблицу 2.1:

Таблица 2.1

x	x0	x1	x2	…..	xn
f(x)	y0	y1	y2	…..	yn

При этом требуется получить значение функции f(x) для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок [х₀;х_n], но не совпадает ни с одним значением х_i (i=0,1,2,….,n).

По исходным данным таблицы 2.1 отыскивают приближающую функцию F, которая близка к функции f(x). Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(x)? F(x) в точках x_i (i=0,1,2,…,n). Эта задача называется интерполяцией, а точки х₀,х₁,х₂,…,х_n узлами интерполяции.

Как правило, интерполирующую функцию F(x) отыскивают в виде полинома P_n(x) степени не выше n:

P_n(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x¹+a_n (2.1)

значение, которого совпадают со значениями заданной функции в узлах интерполяции, то есть

y₀=P_n(x₀); y₁=P_n(x1); …y_n=P_n(x_n) (2.2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=ш(x), некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек М_i(x_i,y_i), i=0,1,..,n

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Рис 2.1 Геометрическая интерпретация метода интерполяции

Пусть на отрезке [a;b] заданы точки Хi, i = 0, 1, 2,…., n (узлы интерполирования), в которых известны значения функции f(x). Тогда интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид:

Pn(Х) = f (Х₀)+(Х-Х₀)*f(Х₀,Х₁)+(Х-Х₀)*(Х-Х₁)*f(Х₀,Х₁,Х₂)+…

..+(Х-Х₀)*(Х-Х₁)…(Х-Хn)*f(Х₀,Х₁,…,Х_n), (2.3)

где f(Х₀,Х₁,…,Хn)- разделенная разность n-го порядка.

Размещено на http://www.allbest.ru/

27



Для подсчёта погрешности интерполирования используется формула (2.4):

е(Х) = |(Х-Х₀)(Х-Х₁)…(Х-Хn)f(Х,Х₀,Х₁,…,Х_n)| (2.4)

2.2 Ручной расчет решения задачи интерполирования

Пусть на отрезке [0,7;1,5] даны пять узлов интерполирования.

Таблица 2.2

i	xi	yi
0 1 2 3 4	0,7 0,9 1,1 1,3 1,5	-2,1 -2,0525532 -2,027621 -2,0341336 -2,0813721

Приведенные данные соответствуют приближенному решению задачи Коши методом Эйлера в точках с номерами 0,2,4,6,8 (табл.1).

Построим по таблице 2.2 интерполяционный многочлен Ньютона. По полученному многочлену определим значение f(x) в точках 0,7;0,72;0,74….1,5 и оценим погрешность интерполирования в этих точках.

Для построения интерполяционного многочлена Ньютона используем формулу (2.3).



(2.5)

Подставляем значение таблицы 2.2 в формулу 2.5, далее раскрыв скобки и приведя подобные получаем:

P₄(x)= -2,1+0,237234*(x-0,7) - 0,2814325*(x-0,7)(x-0,9)-0,1860458*

*(x-0,7)(x-0,9)**(x-1,1)-0,0091376*(x-0,7)(x-0,9)(x-1,1)(x-1,3) (2.6)

С помощью построенного интерполяционного многочлена найдем приближенное значения и сведем все вычисления в таблицу 2.3

Для подсчета погрешности используем формулу 2.4 и получаем:



(2.7)

Подставляя значения Х и У из таблицы 2.3 в формулу (2.7) определим погрешность интерполирования. Полученные результаты сведем в таблицу 2.3

Таблица 2.3

i	Xi	Pn(Xi)	еi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	0,7 0,72 0,74 0,76 0,78 0,8 0,82 0,84 0,86 0,88 0,9 0,92 0,94 0,96 0,98 1,0 1,02 1,04 1,06 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 1,2 1,22 1,24 1,26 1,28 1,3 1,32 1,34 1,36 1,38 1,4 1,42 1,44 1,46 1,48 1,5	-2,1 -2,0944894 -2,0891263 -2,0839192 -2,0788765 -2,0740067 -2,0693185 -2,0648204 -2,060521 -2,056429 -2,0525532 -2,0489022 -2,0454849 -2,04231 -2,0393863 -2,0367229 -2,0343285 -2,0322121 -2,0303827 -2,0288493 -2,027621 -2,0267069 -2,026116 -2,0258576 -2,0259408 -2,0263749 -2,0271691 -2,0283327 -2,0298751 -2,0318056 -2,0341336 -2,0368686 -2,0400201 -2,0435975 -2,0476104 -2,0520683 -2,056981 -2,062358 -2,068209 -2,0745438 -2,0813721	0 2,883*10-10 4,662*10-10 5,538*10-10 5,699*10-10 5,312*10-10 4,534*10-10 3,5*10-10 2,332*10-10 1,136*10-10 0 1,003*10-10 1,815*10-10 2,397*10-10 2,724*10-10 2,788*10-10 2,596*10-10 2,173*10-10 1,559*10-10 8,105*10-11 0 -7,839*10-11 -1,436*10-10 -1,836*10-10 -1,846*10-10 -1,313*10-10 -6,657*10-12 2,078*10-10 5,322*10-10 9,885*10-10 0 2,39177*10-09 3,39046*10-09 4,62433*10-09 6,12326*10-09 7,91875*10-09 1,00439*10-08 1,25335*10-08 1,54237*10-08 1,87527*10-08 0

По таблице 2.3 построим график решения дифференциального уравнения и интерполирования(рис.2.2).

Рисунок 2.2 График решения интерполирования



3. Аппроксимирование

3.1 Постановка задачи

Пусть в результате численного решения была получена таблица некоторой зависимости f(x):

Таблица 3.1

X	X0	X1	X2	….	Xn
f(x)	У0	У1	У2	….	Уn

Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. Обязательно учитывается характер исходной функции, а именно требуется найти функцию заданного вида F(x), которая, как можно более близкие к табличным значениям У₀,У₁,У₂,…,Уn. Такая задача называется аппроксимацией.

Практический вид приближающей функции можно определить следующим образом. По таблице 3.1 строится точечный график функции f(x) а затем проводится плавная кривая, по возможности, наилучшим образом отражающая характер расположения точек (рисунок 3.1). По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции.

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Рисунок 3.1 Графическая интерпретация задачи аппроксимирования

Нахождение приближающей функции методом наименьших квадратов с тремя параметрами вида:

F(x, a, b) = ax²+bx+c (3.1)

Функция вида (3.1) называется квадратичной, поэтому задача называется квадратичным аппроксимированием.

Сумма квадратов разностей соответствующих значениям функции f(x) и F(x), будет иметь вид:

n

? (у_i-А(xi, a, b, c))²=ш (a, b, c) => min (3.2)

i=0

Эта сумма является функцией трех переменных (параметров a,b,c). Задача сводится к отысканию ее минимума. Функция трех переменных имеет минимум, когда все ее частные производные равны нулю, т.е. когда

DF/dA=0 DF/dB=0 DF/dC=0

Подставляя в формулу (3.2) приближающую функцию (3.1) получаем:

N n

(yi- (Axi²+ Bxi+ C))² = (yi²- 2Axi²yi- 2Bxiyi- 2Cyi+

i=0 i=0

+ A²xi⁴+ 2ABxi³+ 2ACxi²+ B²xi²+ 2BCxiC²) =F(x)

После преобразований получим систему линейных уравнений вида:



а₁₁А+ а₁₂В+ а₁₃С =в₁

а₂₁А+ а₂₂В+ а₂₃С =в₂ (3.3)

а₃₁А+ а₃₂В+ а₃₃С =в₃

n n n n

где а₁₁ = xi⁴, а₁₂ = а₂₁ = xi³, а₁₃ = а₂₂ = а₃₁ = xi^2, а₂₃ = а₃₂ = xi, а₃₃ = n+1

i=0 i=0 i=0 i=0

n n n

в₁= xi² yi, в₂= xi yi, в₃= yi (3.4)

i=0 i=0 i=0

3.2 Ручной расчет коэффициентов системы линейных уравнений при квадратичном аппроксимировании

Для расчётов коэффициентов А,В,С приближающей функции F(x,A,B,C)=Ax²+Bx+C, аппроксимирующей решение дифференциального уравнения, найденного в п.1 необходимо, составить систему уравнений вида (3.3). Для этого вычисляем коэффициенты а_ij и свободные члены в_i этой системы уравнений по формулам (3.4). Производимые расчёты приведем в таблице 3.2.

Таблица 3.2

i	xi	yi	xi4	xi3	xi2	xi2yi	xiyi
0 1 2 3 4 5 6 7 8	0,7 0,8 0,9 1.0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5	-2,1 -2,0740004 -2,0525532 -2,0367259 -2,027621 -2,0263715 -2,0341336 -2,0520773 -2,0813721	0,2401 0,4096 0,6561 1 1,4641 2,0736 2,8561 3,8416 5,0625	0,343 0,512 0,729 1 1,331 1,728 2,197 2,744 3,375	0,49 0,64 0,81 1 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25	-1,029 -1,3273602 -1,662568 -2,0367259 -2,4534214 -2,9179749 -3,4376857 -4,0220715 -4,6830872	-1,47 -1,6592003 -1,8472978 -2,0367259 -2,2303831 -2,4316458 -2,6443736 -2,8729082 -3,1220581
	9,9	-18,484855	17,6037	13,959	11,49	-23,5698948	-20,3145928
а33=9	а23=а32	в3	а11	а12=а21	а13=а22=а31	в1	в2

Подставляем полученные значения в систему уравнений (3.3) и получаем систему:

17,6037А+ 13,959В+ 11,49С= -23,5698948

13,959 А+ 11,49В+ 9,9С= -20,3145928 (3.5)

11,49А+ 9,9В+ 9С= -18,484855

Теперь нужно решить эту систему методом Гаусса и найти коэффициенты А, В, С.

3.3 Решение системы уравнений методом Гаусса

Суть этого метода состоит в том, что систему линейных уравнений преобразуют к системе с треугольной матрицей, а потом решают уравнения, начиная с последнего. Решим систему уравнений, полученную в п. 3.2.

Первое уравнение считается основным, его мы не изменяем. Второе уравнение нужно преобразовать так, чтобы первый его коэффициент стал равен нулю. Для этого второе уравнение необходимо умножить на такой множитель, чтобы первые коэффициенты первого и второго уравнения стали равны.

1-й шаг: =а_i1/а₁₁ (i=2,3,….n) (3.6)

По формуле (3.6) найдём множители первого шага:

₂₁=а₂₁/а₁₁=13,959/17,6037=0,7929582

₃₁=а₃₁/а₁₁=11,49/17,6037=0,6527036

Умножим первое уравнение на ₂₁ и получим:

13,9589982 А+11,0689035 В+9,1110897 С= -18,6899413

Вычтем это уравнение из второго уравнения системы (3.5), исключив тем самым А из второго уравнения системы:

_13,959 А+11,49 В+ 9,9 С= -20,3145928

13,959 А+11,0689035 В+9,1110897 С= -18,6899413

0,4210965 В+0,7889103 С= -1,6246515

Умножим первое уравнение на ₃₁ и получим:

11,4899983 А+9,1110895 В+7,499563 С= -15,3841551

Вычтем это уравнение из третьего уравнения системы (3.5), исключив тем самым А из третьего уравнения системы:

_11,49 А+ 9,9 В+ 9 С= -18,484855

11,49 А+9,1110895 В+7,499563 С= -15,3841551

0,7889105 В+1,5004357 С= -3,1006999

После выполнения первого шага получим систему:

17,6037 А+ 13,959 В+ 11,49 С= -23,5698948

0,4210965 В+ 0,7889103 С= -1,6246515 (3.7)

0,7889105 В+ 1,5004357 С= -3,1006999

2-й шаг: =а_i2/а₂₂ (i=3,4,….n) (3.8)

По формуле (3.8) вычислим множитель второго шага:

₃₂=а₃₂/а₂₂= 3.6/ 2.04= 1.764705

Умножим второе уравнение на ₃₂ и получим:

0,7889104 В+1,4779975 С= -3,0437312

Вычтем это уравнение из третьего уравнения системы (3.7), исключив тем самым В из третьего уравнения системы:

_0,7889105 В+1,5004357 С= -3,1006999

0,7889104 В+1,4779975 С= -3,0437312

0,0224382 С= -0,0569687

После выполнения второго шага получим систему:



17,6037А+ 13,959В+ 11,49С= -23,5698948

0,4210965 В+ 0,7889103 С= -1,6246515 (3.9)

0,0224382 С= -0,0569687

Обратный ход: Из последнего уравнения системы (3.9) находим С:

С= -0,0569687/0,0224382 = -2,5389157

Подставляем найденное значение С во второе уравнение системы (3.9),найдем из полученного уравнения В:

В= 0,3783252/0,4210965 = 0,8984288

Подставляем найденные значения С и В в первое уравнение системы (3.9), найдём из полученного уравнения А:

А= -6,938921/17,6037= -0,394174

Проверим результаты вычислений, подставив полученные значения корней в систему (3.5):

17,6037*(-0,394174)+ 13,959*0,8984288 + 11,49*(-2,5389157)=

= -23,5698948

13,959*(-0,394174)+ 11,49*0,8984288 + 9,9*(-2,5389157)= -20,3145928

11,49*(-0,394174)+ 9,9*0,8984288 + 9*(-2,5389157)= -18,484855

-23, 5698945 -23, 5698948

-20,3145933 -20,3145928

-18,484855 -18,484855

Таким образом, проверка подтвердила правильность найденных значений системы линейных уравнений, и искомая аппроксимирующая квадратичная функция имеет вид:

F(x) = -0,394174 х²+ 0,8984288 х-2,5389157 (3.10)



3.4 Расчёт погрешности аппроксимации

Для вычисления погрешности аппроксимации следует найти величину среднеквадратичного отклонения по формуле (3.11).

(3.11)

где Уi- значение некоторой физической величины f(x) в точке Хi, полученное в результате измерений в процессе опыта или в результате численного решения какой либо задачи, а F(Хi)- значение аппроксимирующей функции в соответствующей точке xi. Значение F(Хi)-Уi показывает величину отклонения аппроксимирующей от аппроксимируемой функции в узлах Хi. Возводя в квадрат эти отклонения (чтобы исключить знак отклонения), и суммируя их по всем значениям Хi, получаем сумму квадратов отклонений. Усреднив эту сумму по множеству значений n+1 и извлекая, квадратный корень, находим тем самым величину, которая показывает, насколько в среднем аппроксимирующая функция отклоняется от исходной функции.

Все необходимые вычисления удобно представить в виде таблицы 3.3.

Таблица 3.3

i	xi	y(xi)	F(xi)	F(xi)-yi	(F(xi)-yi)2
0 1 2 3 4 5 6 7 8	0,7 0,8 0,9 1.0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5	-2,1 -2,0740004 -2,0525532 -2,0367259 -2,027621 -2,0263715 -2,0341336 -2,0520773 -2,0813721	-2,1031608 -2,072444 -2,0496107 -2,0346609 -2,0275946 -2,0284117 -2,0371123 -2,0536964 -2,078164	-0,0031608 0,0015563 0,0029424 0,002065 0,0000264 -0,0020402 -0,0029787 -0,0016191 0,0032081	0,000999 0,0000024 0,0000086 0,0000042 0,0000006 0,0000041 0,0000088 0,0000026 0,0000102
					0,0000512

Таким образом, погрешность аппроксимации в данном случае равна

1

д= *0,0000512 = 0,0022646

9+1

По значениям таблицы 3.3 построен график аппроксимирующей функции (рис.3.2).

Рисунок 3.2 График решения квадратичной аппроксимации

На рисунке 3.3. показан график решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одних осях координат.



Рисунок 3.3 График решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции



Заключение

дифференциальный уравнение интерполяционный аппроксимирование

В данной курсовой работе для решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения был использован численный метод Эйлера, алгоритм решения которого реализован в среде Microsoft Excel. Этот метод обладает малой точностью. Погрешности вычислений, как видно из результатов расчета, достаточно велики. Также были решены задачи интерполирования и аппроксимирования.

Точность вычислений достаточно велика, поэтому графики почти сливаются.



Список используемой литературы

1. Александров В.В. Диаграммы в Microsoft Office Excel. Краткое руководство. - СПб.: Вильямс, 2004.

2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.Л. Численные методы. - М.: Просвещение, 1990.

3. Зелинский С.Э. Excel 2003.- СПб.: Питер,2004.

4. Леонтьев MS Office 2000: краткий курс. - СПб.: Питер, 2000.

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

6. Резак Е.В. Задание и методические указания к выполнению курсовой работы по информатике (цикл ”Численные методы”). Хабаровск 2007.

Размещено на Allbest.ru