Решение уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов

Чеканов Николай Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Флоринский Вячеслав Владимирович,

аспирант кафедры математического анализа.

Белгородский государственный университет.

Для многих потенциалов даже в одномерном случае уравнения Шредингера не допускает решения в явном виде. Например, ангармонический осциллятор с различной степенью нелинейности. Поэтому применяются различные приближенные методы и прямые численные расчеты. Ангармоническому осциллятору, особенно с четвертой степенью нелинейности посвящено большое число работ (см., например [1] и ссылки в ней). Это связано с тем, что, несмотря на кажущуюся простоту, эта модель, с одной стороны, имеет полезные приложения в атомной и молекулярной физике, в квантовой теории поля, в теории твердого тела, а, с другой стороны, не имеет общего решения в явном виде для собственных значений и функций, поэтому является испытательным тестом для проверки новых приближенных методов решения задачи на собственные значения [2]. Причина сложности нахождения спектра и волновых функций ангармонического осциллятора в том, что он имеет неизолированную особую точку по параметру нелинейности, если рассматривать его в комплексной плоскости [5].

В данной работе двумя способами решается одномерное уравнение Шредингера для ангармонического осциллятора с потенциалом четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности:

(1)

(2)

где - пространственная координата, - степень нелинейности, -параметр, - волновая функция и - спектр оператора (2).

Вначале задачу (1)-(2) приближенно решим с помощью метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори [6]. Для этого рассмотрим классический аналог оператора гамильтониана (2), т.е. следующую функцию Гамильтона

(3)

и представим его в виде ряда:

где числовые коэффициенты находятся из выражения (3).

Классическую функцию Гамильтона (3) приведем к нормальной форме, т.е. найдем такую функцию , что

(4)

где - скобка Пуассона. В выражении (4) предполагается, что старые переменные и зависят от новых переменных и .

Производящую функцию канонического преобразования и саму нормальную форму будем искать в виде степенных рядов

(5)

Неизвестные величины и в выражении (5), удовлетворяют равенству

(6)

где и - компоненты классической гамильтоновой функции (3), а величины определяются выражением

(7)

где - биномиальные коэффициенты, - оператор Ли, который определяется через скобки Пуассона:

.

Чтобы найти неизвестные компоненты и , основное уравнение (6) дополним равенством (4), которое определяет нормальную форму. Полученный в результате полином представим в виде суммы двух однородных полиномов , удовлетворяющих условиям , . Тогда из основного уравнения (6) с учетом условия (4) неизвестные компоненты производящей функции и нормальной формы можно определить следующим образом

, .

Для решения поставленной задачи на собственные значения (1)-(2) удобно ввести новые комплексные канонически сопряжённые переменные

и перепишем классическую нормальную форму в виде .

В настоящей работе классические нормальные формы Депри-Хори функции (3) вычислены с помощью программы LINA [6] в среде REDUCE, которая позволяет получить классическую нормальную форму любом заданном порядке по степени , ограничиваясь возможностями компьютера.

Для нахождения квантовой нормальной формы [3] воспользуемся правилом Вейля

,

где , . Тогда собственные значения задачи

(8)

приближенно равны собственным значениям исходной задачи (1)-(2). Ниже представлены полученные описанным выше методом формулы для энергетических спектров гамильтониана (при соответственно):

(9)

(10)

(11)

maple ангармонический осциллятор нелинейность

Для решения задачи (1)-(2) составлена программа QuantaWeyl в среде Maple, с помощью которой получены формулы (9)-(11).

Теперь решим уравнение Шредингера (1)-(2) с помощью степенных рядов. Задача (1)-(2) эквивалентна краевой задаче

(12)

где - потенциальная функция.

Будем искать фундаментальную систему решений задачи (12) в виде рядов

(13)

где неизвестные коэффициенты и зависят от энергии и находятся подстановкой рядов (13) в уравнение (12). Первые члены разложения линейно независимых решений уравнения (12) и имеют вид:

:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Чтобы общее решение задачи (12) в виде удовлетворяло краевым условиям, необходимо выбрать произвольные постоянные и так, чтобы система

(14)

имела нетривиальные решения.

На практике подбором значений параметра добиваемся совпадения собственных значений в первых семи десятичных знаков, в частности, для нижних уровней энергии в наших расчетах . Приравнивая к нулю определитель системы (14), получим уравнение относительно , корни которого являются спектром задачи (1) - (2). Для каждого вычисленного корня система (14) имеет единственное решение и , поэтому волновая функция -го энергетического уровня имеет вид .

В следующих таблицах приведены сравнения значений энергетического спектра оператора Шредингера, вычисленных в данной работе, с результатами работы [4], в которой приведены наиболее достоверные значения спектров ангармонических осцилляторов.

Таблица 1

Сравнение собственных значений оператора (2), полученных различными методами, при , .

0	1,000748	1,000748	1,000748
1	3,00373	3,00374	3,00373	0
2	5,0097	5,0098	5,0097
3	7,0186	7,019	7,0186		0,017
4	9,0305	9,045	9,0305		0,165

Таблица 2

Сравнение собственных значений оператора (2), полученных различными методами, при , .

0	1,00018	1,00018	1,00018	0	0
1	3,0013	3,0013	3,0013	0	0
2	5,0046	5,0047	5,0046	0
3	7,011	7,012	7,011	0	0,014
4	9,023	9,033	9,023	0	0,1

Таблица 3

Сравнение собственных значений оператора (2), полученных различными методами, при , .

0	1,00006	1,00006	1,00006	0	0
1	3,00058	3,00059	3,00058	0
2	5,0026	5,0027	5,0026	0
3	7,0083	7,0095	7,0083	0	0,016
4	9,02	9,03	9,02	0	0,12

В таблицах 1-3 через обозначен номер уровня; - значения энергии, полученные по формулам (9)-(11); - значения энергии, полученные при помощи степенных рядов; - значения энергии, приведенные в работе [4]; и - относительные отклонения рассчитанных в настоящей работе уровней энергии от их значений работы [4]. Как видно из таблиц 1-3, имеется хорошее согласие результатов при данных значениях параметров.

В заключение отметим, что рассмотренный метод нормальных форм представляет некоторый вариант обычной теории возмущений и дает неплохие результаты при достаточно малых значений параметра в отличие от метода решения уравнения Шредингера с помощью степенных рядов, который пригоден при произвольных значениях этого параметра.

Литература

1. Турбинер А.В. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура “нелинеаризации». УФН, Том 144, вып. 1, 1984. -c.35-78.

2. Флоринский В.В., Чеканов Н.А. Квантование нелинейных одномерных осцилляторов по правилу Вейля. XLIVВсероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. - М.: РУДН, 2008. -с.46-47.

3. Чеканов Н.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона. ЯФ, т.50.вып.8., 1989-с.344-346.

4. K. Banerjee, S.P.Bhatnagar, V. ChoudhryandS.S. Kanwal. General anharmonic oscillators. Proc. R. Soc. Lond., A360, 1978. -pp.575-586.

5. Bender C.M. and Wu T.T. Anharmonic oscillator. Phys. Rev., v.184.No.5, 1969. - pp.1231-1260.

6. UkolovYu.A., Chekanov N.A., Gusev A.A., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I., Uwano Y. Comp. Phis. Commun.Vol.166. No1. 2005. -pp.66 - 80.

Размещено на Allbest.ru