Признаки делимости чисел с окончаниями 1, 3, 7, 9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Признаки делимости чисел с окончаниями 1, 3, 7, 9

Громова Людмила Фёдоровна



Введение

Данная работа предлагает несколько универсальных признаков делимости чисел с 1, 3, 7, 9 на конце.

Например, чтобы определить, делится ли число на 73, нужно разбить это число на группы по 4 цифры и поочерёдно их складывать и вычитать.

Если результат делится на 73, то и число делится на 73.

Так, 2173467897997367 делится на 73, т. к.

2173 - 4678 + 9799 - 7367 = - 73 делится на 73.

В этой статье показано, как подобным способом определить делимость любого нечетного числа, не оканчивающегося на 5.

Это один из семи новых универсальных правил определения делимости, которые представлены в данной статье.



Глава I. Коэффициент делимости D. Определение делимости по коэффициенту D

Для решения поставленной перед нами задачи введём понятия коэффициента делимости. Каждое число с окончанием 1, 3, 7, 9 имеет по два коэффициента делимости.

D - первичный коэффициент делимости

D' - вторичный коэффициент делимости

Запишем число B как

(10b + 1), (10b + 3), (10b + 7), (10b + 9),

где b - количество десятков.

Формулы коэффициентов делимости D и D':

Число B	Первичный коэффициент делимости D	Вторичный коэффициент делимости D'
(10b + 1)	(-b)	(9b + 1)
(10b + 3)	(3b + 1)	(-7b -2)
(10b + 7)	(-3b -2)	(7b + 5)
(10b + 9)	(b + 1)	(- 9b -8)

D' = D - B, если D имеет положительное значение

D' = D + B, если D имеет отрицательное значение

При этом D' и D всегда имеют противоположные знаки, а сумма их абсолютных величин равна абсолютной величине B:

| D| + | D'| = |B|



Коэффициенты D и D' одного и того же числа взаимозаменяемы при проведении тестов на делимость, которые рассматриваются в нашей статье.

Примеры коэффициентов делимости D и D':

Число (10b + 1)	D (-b)	D' (9b + 1)	Число (10b + 3)	D (3b + 1)	D' (-7b -2)
1	0	1	3	1	-2
11	-1	10	13	4	-9
21	-2	19	23	7	-16
31	-3	28	33	10	-23
41	-4	37	43	13	-30
Число (10b + 7)	D (-3b -2)	D' (7b + 5)	Число (10b + 9)	D (b + 1)	D' (- 9b -8)
7	-2	5	9	1	-8
17	-5	12	19	2	-17
27	-8	19	29	3	-26
37	-11	26	39	4	-35
47	-14	33	49	5	-44

Используя понятия коэффициентов D и D', сформулируем первое универсальное правило определения делимости:

Правило № 1:

Число А делится на B, если А без последней цифры плюс последняя цифра, умноженная на D или D', делится на B.

Например:

1. Делится ли число 738 на 41?

41 = (10b + 1)

D = (- b) = -4

D' = (9b + 1) = 37

73 + 8D = 73 + 8(- 4) = 73 - 32 = 41

4141 = 1

73 + 8D' = 73 + 837 = 73 + 296 = 369

36941 = 9

Да, делится.

2. Делится ли 354 на 59?

59 = (10b + 9)

D = (b + 1) = 6

D' = (- 9b -8) = -53

35 + 4D = 35 + 46 = 35 + 24 = 59

5959 = 1

35 + 4D' = 35 + 4 (-53) = 35 - 212 = -177

-17759 = -3

Да, делится.

3. Делится ли 428 на 17?

17 = (10b + 7)

D = (-3b -2) = -5

D' = (7b + 5) = 12

42 + 8D = 42 + 8(-5) = 42 - 40 = 2 (2 на 17 без остатка не делится)

42 + 8D' = 42 + 812 = 42 + 96 = 138 (138 на 17 без остатка не делится)

Нет, не делится.

Глава II. Определение делимости по периоду коэффициентов делимости

Используя коэффициенты делимости D, находим ряд остатков по схеме:

D1 = остаток от деления D1 на число B

D2 = остаток от деления D? на B

D3 = остаток от деления D? на B

…

DP = остаток от деления Dр на B

Ряд остатков конечен и циклически повторяется. Это период коэффициентов делимости. Обозначим его {D1, D2, ... DР}.

Длину периода (количество остатков) обозначим P.

Поскольку каждое число вида (10b + 1), (10b + 3), (10b + 7), (10b + 9) имеет два коэффициента делимости, D и D', то и периодов коэффициентов у него тоже два.

D'n = Dn - B, если Dn имеет положительное значение

D'n = Dn + B, если Dn имеет отрицательное значение

Например:

1. Число 77 = (10b + 7)

D = (-3b -2) = -23

Первый период коэффициентов:

D1 = остаток от деления (-23)177 = -23

D2 = остаток от деления (-23)?77 = 67

D3 = остаток от деления (-23)?77 = -1

D4 = остаток от деления (-23)477 = 23

D5 = остаток от деления (-23)577 = - 67

D6 = остаток от деления (-23)677 = 1

Начиная с седьмого остатка цикл повторяется, значит, для числа 77 P = 6.

Второй период коэффициентов:

D'1 = D1 + B = -23 + 77 = 54

D'2 = D2 - B = 67 - 77 = - 10

D'3 = D3 + B = - 1 +77 = 76

D'4 = D4 - B = 23 - 77 = - 54

D'5 = D5 + B = -67 + 77 = 10

D'6 = D6 - B = 1 - 77 = -76

Итак:

{D1, D2 , ... DР}: -23 + 67 -1 + 23 -67 + 1

{D'1, D'2 , ... D'Р}: 54 -10 + 76 -54 + 10 -76

P = 6

Соответствующие цифры в обоих периодах во всех наших тестах взаимозаменяемы. Из двух периодов без ущерба для нашей задачи можно составить любые комбинации, заменяя числа в паре (D'1 и D1, D'2 и D2, D'n и Dn), не меняя последовательности членов периодов.

Например:

54 + 67 + 76 + 23 + 10 + 1 (только положительные числа)

-23 -10 -1 -54 -67 -76 (только отрицательные числа)

-23 -10 -1 + 23 + 10 + 1 (наименьшие по абсолютной величине числа)

И т. д.

Следующее универсальное правило определения делимости формулируется с использованием понятия периода коэффициентов:

Правило №2:

Число А делится на B, если число А без n последних цифр плюс n последних цифр, умноженных на Dn или D'n, делится на B.

Например:

Делится ли 196096204 на 31?

Для числа (10b + 1) = 31:

D = (- b) = (- 3)

{D1, D2 , ... DР}: -3 +9 -27 +19 -26 +16 -17 +20 -29 +25 -13 +8 -24 +10 -30

{D'1, D'2 , ... D'Р}: 28 -22 +4 -12 +5 -15 +14 -11 +2 -6 +18 -23 +7 -21 +1

P = 15

Применим Правило №2:

1) [19609620 + 4D1]31 = [19609620 + 4(-3)]31 = 632568

[19609620 + 4D'1]31 = [19609620 + 428]31 = 632572

2) [1960962 + 4D2]31 = [1960962 + 49]31 = 63258

[1960962 + 4D'2]31 = [1960962 + 4(-22)]31 = 63254

3) [196096 + 204D3]31 = [196096 + 204(-27)]31 = 6148

[196096 + 204D'3]31 = [196096 + 2044]31 = 6352

4) [19609 + 6204D4] : 31 = [19609 + 620419]31 = 4435

[19609 + 6204D'4]31 = [19609 + 6204(-12)]31 = -1769

5) [1960 + 96204D5]31 = [1960 + 96204(-26)]31 = -80624

[1960 + 96204D'5]31 = [1960 + 962045] : 31 = 15580

6) [196 + 96204D6]31 = [196 + 9620416]31 = 49660

[196 + 96204D'6]31 = [196 + 96204(-15)]31 = -46544

7) [19 + 6096204D7]31 = [19 + 6096204(-17)]31 = -3343079

[19 + 6096204D'7]31 = [19 + 609620414]31 = 85346875

8) [1+ 96096204D8]31 = [1+ 9609620420]31 = 61997551

[1+ 96096204D'8]31 = [1+ 96096204(-11)]31 = -34098653

Все 16 тестов показывают: да, делится.

Правило №3

Число A делится на B, если число А без n последних цифр плюс n последних цифр, умноженных на Dn , делится на B.

Например:

1. Делится ли 90369828241 на 7

7 = (10b + 7)

D = (-3b -2) = -2

Если n = 5, то

903698 + 28241(-2)5 = 903698 - 2824132 = -14

-147 = -2

Да, делится.

2. Делится ли 11975009 на 37?

37 = (10b + 7)

D = (-3b -2) = -11

Если n = 3, то

11975 + 009 (-11)3 = 11975 - 9 1331 = -4

Нет, не делится.

В Приложении приведены периоды {D1, D2 , ... DР} и {D'1, D'2 , ... D'Р} для чисел от 3 до 99.



Глава III. Определение делимости по длине периода коэффициентов P

Если число имеет окончание 1, 3, 7 или 9, то при делении 1 на это число получается периодическая десятичная дробь.

Чтобы найти P числа, не высчитывая весь цикл {D1, D2 , ... DР}, нужно разделить единицу на это число. Количество циклически повторяющихся цифр в получившейся десятичной дроби равно P числа.

Например:

1. Для числа 4649 P = 7, т. к.:

14649 = 0, 0002151 0002151 …

2. Для числа 265371653 P = 13, т. к.:

1265371653 = 0, 0000000037683 0000000037683 …

3. Для числа 231 P = 6, т. к.:

1231 = 0, 004329 004329 …

В Приложении даны P для чисел с окончанием 1, 3, 7, 9.

Правило №4 :

Чтобы определить, делится ли число A на число B, нужно разбить делимое А на части по P цифр в каждой, получившиеся числа сложить. Если результат делится на В, то и число А делится на В.

В первой слева части количество цифр может быть меньше или равно P. Если в последней части цифр меньше, чем P, то дописать в конце столько нулей, чтобы было P цифр.

Например:

Делится ли число 6059315457162 на 111?

Для числа 111 Р = 3, следовательно, разбиваем делимое в группы по 3:

1) 605 + 931+ 545 + 716 + 200 = 2997

2 + 997 = 999

999111 = 9

Или:

2) 6 + 059 + 315 + 457 + 162 = 999

999111 = 9

Или:

3) 60 + 593 + 154 + 571 + 620 = 1998

1 + 998 = 999

999111 = 9

Да, делится.

Правило №5 :

Если простое число В имеет чётное P, то нужно разбить делимое А на части по половине P цифр в каждой, получившиеся числа последовательно по очереди складывать и вычитать. Если результат делится на В, то и число А делится на В.

В первой слева части количество цифр может быть меньше или равно половине P. Если в последней части цифр меньше, чем половина P, то дописать в конце столько нулей, чтобы было половина P цифр.

Например:

1. Делится ли число 69964106514 на 73?

73 - простое число

Р = 8

699 - 6410 + 6514 = 803

803 73 = 11

Да, делится.

2. Делится ли число 1300151524644518 на 101?

101 - простое число

Р = 4

13 - 00 + 15 - 15 + 24 - 64 + 45 - 18 = 0

Да, делится.

3. Делится ли число 2618 на 11?

11 - простое число

Р = 2

Таким образом, если поочерёдное сложение и вычитание цифр даёт результат, который делится на 11, то и всё число делится на 11.

2 -6 + 1 -8 = -11

-11 11 = -1

Да, делится.

Это известный частный случай применения данного правила.

Правило №5 применимо ко всем простым числам и к некоторым составным.

делимость число коэффициент

Глава IV. Определение делимости по полному периоду коэффициентов делимости

Правило №6:

Цифры делимого А (начиная с первой слева) последовательно умножить на цифры периода D1... DP делителя В (начиная с любой слева направо, цифры циклически повторять, сколько необходимо), а результаты сложить. Если сумма делится на В, то А делится на В.

Например: делится ли 437617206 на 39?

39 = (10b + 9)

D = (b + 1) = 4

{D1, D2 , ... DР}: 4 16 25 22 10 1

1. Умножим последовательно цифры числа 4 3 7 6 1 7 2 0 6 на цифры цикла

4 16 25 22 10 1:

4 3 7 6 1 7 2 0 6

4 16 25 22 10 1 4 16 25

16 48 175 132 10 7 8 0 150

Результаты сложим:

16 + 48 + 175 + 132 + 10 + 7 + 8 + 0 + 150 = 546

2. Умножим последовательно цифры получившегося числа 5 4 6 на цифры цикла 4 16 25 22 10 1 (начиная с любой, например, с пятой):

5 4 6

10 1 4

50 4 24

Результаты сложим:

50 + 4 + 24 = 78

3. Умножим последовательно цифры получившегося числа 7 8 на цифры цикла 4 16 25 22 10 1 (начиная с любой, например, с шестой):

7 8

1 4

7 32

Результаты сложим:

7 + 32 = 39

39 39 = 1

Да, делится.

Правило №7:

Чтобы определить, делится ли число A на число B, нужно разбить делимое А на части с произвольным количеством n цифр в каждой. В первой слева части цифр может быть меньше или равно n. Если в последней части цифр меньше, чем n, то дописать в конце столько нулей, чтобы было n цифр.

Получившиеся числа из n цифр, начиная с первой слева, последовательно умножить на каждую n-ную по счёту цифру периода {D1, D2, ...DP}, начиная с любой. Результаты сложить. Если сумма делится на В, то А делится на В.

Например: делится ли 26560068364660420190268 на 17?

17 = (10b + 7)

D = (-3b -2) = -5

Р = 16

{D1, D2 ... DP}: -5+8-6+13-14+2-10+16+5-8+6-13+14-2+10-16

{D'1, D'2 ... D'Р}: 12-9+11-4+3-15+7-1-12+9-11+4-3+15-7+1

Поскольку соответствующие цифры в обоих периодах взаимозаменяемы, составим период из наименьших по абсолютной величине чисел:

-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1

1. Разбиваем число 26560068364660420190268, например, по 7 цифр:

196 5600683 6466042 0190115

Умножаем последовательно каждую группу из семи цифр на каждый седьмой член периода (начиная с любого, например, со второго)

-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1-5+8-6-4+3+2-10:

196 5600683 6466042 0190115

8 5 1 -10

1568 28003415 6466042 -1901150

Результаты сложим:

1568 + 28003415 + 6466042 - 1901150 = 32569875

2. Разбиваем получившееся число 32569875, например, по 4 цифры:

3256 9875

Умножаем последовательно каждую группу из четырёх чисел на каждый четвёртый член периода (начиная с любого, например, с первого)

-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1:

3256 9875

-5 3

-16280 29625

Результаты сложим:

29625 - 16280 = 13345

3. Разбиваем получившееся число 13345, например, по 3 цифры (допишем 0 в последней группе):

133 450

Умножаем последовательно каждую группу из трёх чисел на каждый третий член периода (начиная с любого, например, с пятого)

-5+8-6-4+3+2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1:

133 450

3 -1

399 - 450

Результаты сложим:

399 - 450 = -51

4. Разбиваем получившееся число -51 по 1 цифре:

Умножаем последовательно каждую группу из одного числа на каждый первый член периода (начиная с любой, например, с пятой)

-5+8-6-4+3 +2-10-1+5-8+6+4-3-2+10+1:

-5 -1

3 2

-15 -2

Результаты сложим:

-15 - 2 = -17

-1717 = -1

Да, делится.



Заключение

Итак, мы рассмотрели несколько универсальных правил определения делимости чисел. Стоит отметить, что частные случаи приведённых правил использовались ранее для определения делимости некоторых чисел. В статье же представлены универсальные системы и формулы, которые позволяют применить эти правила для всех чисел, оканчивающихся на 1, 3, 7, 9.

Можно предположить, что дальнейшее изучение периодов чисел может дать новые возможности в изучении свойств чисел.

Так, в конце Главы III упоминалось, что Правило №5 применимо ко всем простым числам. Составные числа не все подчиняются этому правилу.

Например:

Числа 91 и 21 составные и имеют одинаковое значение Р = 6.

Делимость на число 91 можно определить, применив

1. Правило №4 (Сложить части числа А по P цифр в каждой. Если результат делится на В, то и А делится на В).

Например:

Число 2639002457 делится на 91, т. к.

2639 + 002457 = 5096 делится на 91 (509691 = 56)

2. Правило №5 (Поочерёдно складываем и вычитаем части числа А по половине P цифр в каждой. Если результат делится на В, то и А делится на В).

Например:

Число 2639002457 делится на 91, т. к.

2 - 639 + 002 - 457 = - 1092

- 109 + 200 = 91 делится на 91 (9191 = 1)

Делимость на число 21 определяются с применением:

1. Правила №4 (Сложить части числа А по P цифр в каждой. Если результат делится на В, то и А делится на В).

Например:

Число 12902148 делится на 21, т. к.

129 + 021480 = 21609 делится на 21 (2160921 = 1029)

2. Не определяются Правилом №5. (Последовательное сложение и вычитание по 3 цифры):

Например:

Число 79086 делится на 21 (79086 : 21 = 3766), но

79 - 086 = 7 (на 21 не делится)

Исследования причин неоднородности свойств чётных Р составных чисел, а также другие свойства периодов коэффициентов будут приведены в следующей статье.



Приложение

Периоды коэффициентов делимости

Условные обозначения:

P - длина периода

- (-"-) - повторяется содержание предыдущей скобки с противоположным знаком. (Делимость этих чисел может определяться с помощью складывания и вычитания по половине P цифр).

{D1, D2,... DР} - полный период первичных коэффициентов делимости

{D'1, D'2,... D'Р} - полный период вторичных коэффициентов делимости

Число	{D1, D2,... DР}	P
	{D'1, D'2,... D'Р}
11	(-1) - (-"-)	2
	(10) - (-"-)
21	-2+4-8+16-11+1	6
	19-17+13-5+10-20
31	-3+9-27+19-26+16-17+20-29+25-13+8-24+10-30	15
	28-22+4-12+5-15+14-11+2-6+18-23+7-21+1
41	-4+16-23+10-40	5
	37-25+18-31+1
51	-5+25-23+13-14+19-44+16-29+43-11+4-20+49-41+1	16
	46-26+28-38+37-32+7-35+22-8+40-47+31-2+10-50
61	( -6+36-33+15-29+52-7+42-8+48-44+20-59+49-50+56-31++3-18+47-38+45-26+34-21+4-24+22-10+60) - ( -"-)	60
	(55-25+28-46+32-9+54-19+53-13+17-41+2-12+11-5+30- -58+43-14+23-16+35-27+40-57+37-39+51-1) - ( -"-)
71	-7+49-59+58-51+2-14+27-47+45-31+4-28+54-23+19-62+8- -56+37-46+38-53+16-41+3-21+5-35+32-11+6-42+10-70	35
	64-22+12-13+20-69+57-44+24-26+40-67+43-17+48-52+9-63+15-34+25-33+18-55+30-68+50-66+36-39+60-65+29-61+1
81	-8+64-26+46-44+28-62+10-80	9
	73-17+55-35+37-53+19-71+1
91	( -9+81-1)-(-"-)	6
	(82-10+90) (-"-)
3	1	1
	-2
13	(4+3+12) - (-"-)	6
	(-9-10-1) - (-"-)
23	(7+3+21+9+17+4+5+12+15+13+22) - (-"-)	22
	(-16-20-2-14-6-19-18-11-8-10-1) - (-"-)
33	10+1	2
	-23-32
43	13+40+4+9+31+16+36+38+21+15+23+41+17+6+35+25+ +24+11+14+10+1	21
	-30-3-39-34-12-27-7-5-22-28-20-2-26-37-8-18-19-32- -29-33-42
53	16+44+15+28+24+13+49+42+36+46+47+10+1	13
	-37-9-38-25-29-40-4-42-17-7-6-43-52
63	19+46+55+37+10+1	6
	-44-17-8-26-53-62
73	(22+46+63+72) - (-"-)	8
	(-51-27-10-1) - (-"-)
83	25+44+21+27+11+26+69+65+48+38+37+12+51+30+3+75+ +49+63+81+33+78+41+29+61+31+28+36+70+7+9+59++64+23+77+16+68+40+4+17+10+1	41
	-58-39-62-56-72-57-14-18-35-45-46-71-32-53-80-8-34-20-2-50-5-42-54-22-52-55-47-13-76-74-24-19-60-6-67-15-43-79-66-73-82
93	28+40+4+19+67+16+76+82+64+25+49+70+7+10+1	15
	-65-53-89-74-26-77-17-11-29-68-44-23-86-83-92
7	(-2+4-1) - (-"-)	6
	(5-3+6) - (-"-)
17	(-5+8-6+13-14+2-10+16) - (-"-)	16
	(12-9+11-4+3-15+7-1) - (-"-)
27	-8+10-26	3
	19-17+1
37	-11+10-36	3
	26-27+1
47	(-14+8-18+17-3+42-24+7-4+9-32+25-21+12-27+2-28+16-36+34-6+37-1)-(-"-)	46
	(33-39+29-30+44-5+23-40+43-38+15-22+26-35+20-45+19-31+11-13+41-10+46)-(-"-)
57	-17+4-11+16-44+7-5+28-20+55-23+49-35+25-26+43-47+1	18
	40-53+46-41+13-50+52-29+37-2+34-8+22-32+31-14+10-56
67	-20+65-27+4-13+59-41+16-52+35-30+64-7+6-53+55-28+24-11+19-45+29-44+9-46+49-42+36-50+62-34+10-66	33
	47-2+40-63+54-8+26-51+15-32+37-3+60-61+14-12+39-43+56-48+22-38+23-58+21-18+25-31+17-5+33-57+1
77	(-23+67-1) - (-"-)	6
	(54-10+76) - (-"-)
87	-26+67-2+52-47+4-17+7-8+34-14+16-68+28-32+49-56+64-11+25-41+22-50+82-44+13-77+1	28
	61-20+85-35+40-83+70-80+79-53+73-71+19-59+55-38+31-23+76-62+46-65+37-5+43-74+10-86
97	(-29+65-42+54-14+18-37+6-77+2-58+33-84+11-28+36-74+12-57+4-19+66-71+22-56+72-51+24-17+8-38+35-45+44-15+47-5+48-34+16-76+70-90+88-30+94-10+96) - (-"-)	96
	(68-32+55-43+83-79+60-91+20-95+39-64+13-86+69-61+23-85+40-93+78-31+26-75+41-25+46-73+80-89+59-62+52-53+82-50+92-49+63-81+21-27+7-9+67-3+87-1) - (-"-)
9	1	1
	-8
19	(2+4+8+16+13+7+14+9+18) - (-"-)	18
	(-17-15-11-3-6-12-5-10-1) - (-"-)
29	(3+9+27+23+11+4+12+7+21+5+15+16+19+28) - (-"-)	28
	(-26-20-2-6-18-25-17-22-8-24-14-13-10-1) - (-"-)
39	4+16+25+22+10+1	6
	-35-23-14-17-29-38
49	(5+25+27+37+38+43+19+46+34+23+17+36+33+18+41+9+45+29+47+39+48) - ( -"- )	42
	(-44-24-22-12-11-6-30-3-15-26-32-13-16-31-8-40-4-20-2-10-1) - (-"-)
59	(6+36+39+57+47+46+40+4+24+26+38+51+11+7+42+16+37+45+34+27+44+28+50+5+30+3+18+49+58) - (-"-)	58
	(-53-23-20-2-12-13-19-55-35-33-21-8-48-52-17-43-22-14-25-32-15-31-9-54-29-56-41-10-1) - (-"-)
69	7+49+67+55+40+4+28+58+61+13+22+16+43+25+37+52+19+64+34+31+10+1	22
	-62-20-2-14-29-65-41-11-8-56-47-53-26-44-32-17-50-5-35-38-59-68
79	8+64+38+67+62+22+18+65+46+52+21+10+1	13
	-71-15-41-12-17-57-61-14-33-27-58-69-78
89	(9+81+17+64+42+22+20+2+18+73+34+39+84+44+40+4+36+57+68+78+79+88) - (-"-)	44
	(-80-8-72-25-47-67-69-87-71-16-55-50-5-45-49-85-53-32-21-11-10-1) - (-"-)
99	10+1	2
	-89-98

Размещено на Allbest.ru