Применение полиномов Чебышева при расчете коэффициента концентрации для трещин в однородной бесконечной (полубесконечной) упругой среде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение полиномов Чебышева при расчете коэффициента концентрации для трещин в однородной бесконечной (полубесконечной) упругой среде

Мовчан Игорь Борисович,

кандидат геолого-минералогических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного горного университета.



По определению [1], полином Чебышёва первого рода n-го порядка имеет вид:

(1.1)

откуда . Рекуррентные формулы и ортогональные свойства полинома следуют из некоторых тригонометрических соотношений. Так из равенства

(1.2)

следует

, (1.3)

то есть ,  ,  и т.д. Из отношения:

, (1.4)

где  или , полагая при этом

, (1.5)

можно получить:



. (1.6)

В частном случае, при

. (1.7)

В связи с соотношениями (1.6), (1.7) утверждаем для любой функции, определенной на интервале , возможность следующего полиномиального разложения:

. (1.8)

Тогда для интеграла (1.6) с учетом (1.7) имеем

. (1.9)

С другой стороны, рассматривая сумму значений  в узлах , представляющих корни уравнения , получим:

, (1.10)

а используя следующее тождество:



, (1.11)

имеем

(1.12)

и известную формулу Эрмита:

. (1.13)

Формула (1.13) представляет частный случай интегрирования методом Гаусса и дает достаточно точный результат для полинома порядка меньше или равного . Используя формулу Эрмита для произведения функции  на полином Чебышёва первого рода произвольного порядка

, (1.14)

получим выражение для всех коэффициентов Чебышёвского полиномиального разложения:

, (1.15)



где  и . При этом использовалось тождество вида:

при (1.16)

Значения функции  на концах интервала  могут быть рассчитаны по следующим формулам:

, (1.17.1)

. (1.17.2)

По определению [1], полином Чебышёва второго рода порядка :

, (1.18)

корни полинома порядка : . (1.19)

Без дополнительного обоснования, подобного (1.2), введем рекуррентную формулу:

т.е. (1.20)

и опуская рассуждения, подобные (1.4) и (1.5), опишем ортогональные свойства как



. (1.21)

Рассмотрим приложение полиномов Чебышёва к аппроксимации сингулярных интегралов типа Коши:

. (1.22)

Очевидно, аппроксимация интеграла (1.22) возможна при замене самого интеграла на его собственное значение:

. (1.23)

Заменим собственное значение в (1.23) на собственное значение интеграла типа Коши вида:

, (1.24)

где  - дифференцируемая функция, ограниченная на интервале . Здесь без вывода даем частный случай (24):

. (1.25)



Кроме того, полезна формула сведения конечной суммы к отношению ортогональных полиномов го порядка:

, где . (1.26)

Перепишем (1.24) в виде суммы двух интегралов: регулярного и собственного значения интеграла типа Коши:

. (1.27)

К первому интегралу применим формулу Эрмита (1.13), а второй интеграл сводится к нулю в силу соотношения (1.25). Окончательно, применяя формулу для конечной суммы (1.26), запишем:

,

(1.28)

Здесь использовалось элементарное соотношение вида . В дополнение к (1.28) приведем дополнительные формулы для полиномиальной аппроксимации интегралов типа Коши [2]:



, (1.29.1)

. (1.29.2)

Сингулярные интегралы захватывают широкий спектр задач, в частности, обратные задачи теории потенциала и задачи расчета полей смещений, напряжений и коэффициента концентрации напряжений для разных типов трещин. Применение рассмотренного выше подхода допускает получение аналитического решения в явной форме.

Применение полиномов Чебышева при расчете коэффициента концентрации для трещин в однородной бесконечной (полубесконечной) упругой среде. Трещина Гриффитса

Согласно [1], поле напряжений имеет разрыв в каждой вершине трещины, представляемой в виде эллиптического выреза в нагружаемой среде. Напряжения сжатия-растяжения прикладываются к бесконечно удаленным от трещины границам этой среды. Берега самой трещины считаем ненагруженными. Процесс роста трещины представляет как увеличение семейства софокусных эллипсов. На каждом этапе роста трещина представляется в виде линии дислокаций (краевых - в случае плоского сжатия-растяжения, винтовых - в случае сдвиговой нагрузки). При обходе вокруг этой линии вектор смещения имеет конечное приращение - вектор Бюргерса b:

(2.1)



Существование, например, краевых дислокаций не приводит к дополнительным нагрузкам:

, (2.2)

где ,  - комплексные потенциалы, связанные с компонентами поля напряжений:

(2.3)

Объединим (2.1) и (2.2):

=> (2.4)

Для единичной дислокации, размещенной в начале координат:

(2.5)

Пусть эта дислокация помещена в произвольную точку комплексной плоскости, тогда



(2.6)

Тогда согласно (2.3) в окрестности единичной дислокации справедливо:

. (2.7)

Для простоты положим, что большая полуось эллиптического выреза расположена вдоль вещественной оси, т.е.  - координата дислокации  - чисто вещественная, а вектор Бюргерса имеет лишь мнимую составляющую . Рассматривая линию краевых дислокаций вместо одной, перепишем (2.7) в виде интегрального соотношения:

. (2.8)

Заменой переменных в (2.8) , где выводим

, (2.9)

где  - большая полуось эллиптического выреза. Применим к (2.9) аппроксимационную формулу (1.28) (Мовчан И.Б. «Аппроксимационный подход …», 2012), упрощая ее до вида, известного в виде интегральной формулы Гаусса-Чебышёва:



. (2.10)

Объединяя (2.9) и (2.10), получим

. (2.11)

Здесь

, . (2.12)

Для получения замкнутой системы линейных уравнений введем условие совместности, пригодное как трещины Гриффитса, так и для приповерхностной трещины:

. (2.13)

Это означает, что при обходе трещины по замкнутому контуру получаем нулевое приращение смещения. Рассматривая (2.10), (2.11) и (2.10), запишем

. (2.14)

Окончательно выводим следующую систему линейных уравнений:



,

где (2.15)

а также . (2.16)

На основании формул (1.17.1), (1.17.2) (Мовчан И.Б. «Аппроксимационный подход …», 2012) запишем

, (2.17.1)

. (2.17.2)

Для вывода выражения коэффициента концентрации напряжений применим известное теоретическое решение . Тогда, учитывая (2.17.1), (2.17.2) и (2.11), имеем

. (2.18)

Например, для концов единичной трещины формулы (2.18) дают 0.1253D+01, что совпадает с теоретическим решением для различных длин трещины Гриффитса. Последнее демонстрирует правильность соотношений (2.18), которые применим теперь для приповерхностной трещины и поверхностного выреза.



Приповерхностная трещина

полином чебышев квазипериодический композит

Предполагается существование вертикальной границы раздела двух сред, причем в правой задана краевая дислокация [2,3]. Среды слева от границы раздела соответствует отрицательной полуоси , а справа - положительной. Условие непрерывности полей напряжений на границе раздела приобретает форму:

. (2.19)

Следовательно, на самой поверхности раздела:

, (2.20)

где индекс d определяет комплексные потенциалы краевой дислокации, а индекс 0 - комплексные потенциалы вмещающей среды. Простейшие преобразования (2.20) с объединением членов аналитических с правой и с левой стороны от поверхности раздела, получаем

.(2.21)

Поскольку поверхность раздела свободна от напряжений, то , т.е.

=>  . (2.22)



Комплексно сопряженные функции будут аналитическими только при соблюдении условия . В этом случае

(2.23)

Тогда используя (2.22) для вывода  и  получаем следующие выражения:

, (2.24)

, (2.25)

. (2.26)

Причем в (2.25) условие  более не применимо. Для проверки справедливости (2.24)-(2.26) применим их при  при стремлении z к границе раздела, т.е. когда , тогда как  - произвольная. Тогда

для любой точки на границе раздела. Таким образом, формулы (2.24)-(2.26) верны. Используем их для вывода (2.8):

. (2.27)

Аппроксимируя трещину линией краевых дислокаций и обращаясь вновь к (2.11), можем записать

, (2.28)

где  и  определяются формулой (2.12). Завершая вывод системы линейных уравнений, как и в предыдущем случае, добавим условие совместности (2.13) и дополнительное уравнение (2.14). Затем применим (2.15)-(2.18) для получения коэффициента концентрации напряжений на левой и правой вершинах горизонтальной приповерхностной трещины. Окончательно, мы можем рассчитать безразмерную функцию F(c/d):

(2.29)



где d - наикратчайшее расстояние от границы раздела до центра трещины.

Поверхностный вырез

В рамках настоящей статьи имеется два аргумента к рассмотрению этой задачи:

прослеживание изменения безразмерной функции F(c/d) в момент, когда приповерхностная трещина выходит на границу раздела, становясь поверхностным вырезом [4];

проверка выводов в (2.27) и (2.28) при сравнении приблизительных значений коэффициента концентрации напряжений на вершинах трещины со значениями этого коэффициента, полученными из теоретической формулы

. (2.30)

Здесь  - длина большой полуоси эллиптического выреза (длина всей трещины) или расстояние от границы раздела (свободной поверхности) до вершины трещины. Отличие от приповерхностной трещины в том, что условие совместности (2.13) более не применимо. Рассматривая случай раскрытия трещины в виде круглой дырки, возможно поместить одну дислокацию внутрь нее для компенсации процесса раскрытия. Математически это означает:

. (2.31)



Составляя алгоритм, прибегнем к (2.28) для получения коэффициентов  линейных уравнений. Применяя первое уравнение из (2.31) получим -е уравнение с коэффициентами, легко выводимыми из (2.17.2):

. (2.32)

Затем следует лишь использовать (2.16)-(2.18) для трещины, распространяющейся вглубь материала. В результате получаем коэффициент концентрации напряжений как функцию от  и функцию вида

. (2.33)

Можно видеть, что   и равна .119847D+00. Справедливость данного результата подтверждается формулой (2.30).



Резюме

Нами рассмотрены аппроксимации трех классических в теории трещин случаев на основе ортогональных полиномов Чебышёва. Существование теоретических решений позволило подтвердить достоверность предложенных аппроксимаций. В качестве перспективы развития этой задачи сформулируем построение аналитической модели полей напряжений в вершине трещины, возникающей в периодическом и квазипериодическом композитах.



Литература

1. H.Liebowitz (ed.): Fracture. An advanced treatise. Vol.2, Mathematical Fundamentals. NY, 1968.

2. T.S.Cook, F.Erdogan: Stresses in bonded materials with a crack perpendicular to the interface. Int.J.Engineering Science., Vol.10, 1972, p.677.

3. D.O.Swenson, C.A.Rau: The stress distribution around a crack perpendicular to an Interface between Materials. Int.J.Fracture Mechanics, Vol.6, No4, 1970, p.357.

4. D.Nowell, D.A.Hills: Open cracks at or near free edges. J.Strain Analysis, 1987, Vol.22, p.177-185.

Размещено на Allbest.ru