Построение круга, равновеликого по площади квадрату

Размещено на http://www.allbest.ru/

В данном исследовании показана возможность построение круга, равновеликого по площади квадрату, т. е. решена «кругатура квадрата», что дало возможность решить «квадратуру круга» с точностью на восемь знаков общепринятого числа р, и выразить длину окружности прямым отрезком.

Равновеликость квадрата и шестерёнки

квадрат шестерёнка круг

Около круга радиуса OR (рис. 1), величину которого принимаем за единицу длины, опишем правильную восьмиконечную звезду Q, образованную из двух равных квадратов, один из которых квадрат ABCD.

SABCD = (AB)2 = (2OR)2

Каждая сторона одного квадрата отсечёт от каждой прямоугольной вершины другого квадрата по треугольнику, один из которых треугольник PCP1

Отсюда SQ = SABCD + 4SPCP1

Рис. 1.

Радиусом CR из каждой прямоугольной вершины фигуры Q опишем дуги на её стороны, а точки пересечения сторон и дуг соединим прямыми. В треугольнике PCP1 такой прямой будет KK1. Пересекаясь с диагональю квадрата, прямая KK1 образует точку R1. В фигуре Q каждый выступающий прямоугольный треугольник, равный треугольнику PCP1 , будет делиться на две равновеликие фигуры, треугольник и трапецию, какими являются треугольник KCK1 и трапеция PKK1P1. Если удалить в фигуре Q все восемь одинаково выступающих прямоугольных треугольников, один из которых треугольник KCK1, то получим фигуру T - «шестерёнку» с выступающими трапециями по площади равной площади квадрата ABCD.

ST = SQ - 8SKCK1 = (SABCD + 4SPCP1) - 8Ч Ѕ SPCP1 =SABCD

ST = SABCD

Рис. 2

На рис.2, который представляет фрагмент рис.1, центр O соединим с точкой K. Получим треугольник OKR1, в котором проведём медиану ON. Радиусом OR1 проведём дугу, которая отсечёт от медианы ON отрезок MN, а от гипотенузы OK - отрезок LK.

Приводим расчёт полученных отрезков:

OR = 1

OC = ORЧ v2 = 1 Ч 1,4142135…

RC = OC - OR = 1,4142135… - 1 = 0,4142135…

KK1 = RC Ч v2 = 0,4142135…Ч 1,4142135…= 0,5857863…

RR1 = RC - (KK1/2) = 0,4142135…- 0,2928931…= 0,1213204…

OR1 = OR + RR1 = 1 + 0,1213204…= 1,1213204…

OK2 = OR12 + (KK1/2)2 = 1,1213204...2 + 0,2928931…2 = 1,1589416…2

LK = OK - OR1 = 1,1589416… - 1,1213204… = 0,0376212…

ON2 = OR12 + (KK1/4)2 = 1,1213204…2 + 0,1464465…2 = 1,130843…2

MN = ON - OR1 = 1,130843… 1,1213204… = 0,0095226…

Радиус круга равновеликого квадрату ABCD примем условно за ORX.

Находим его арифметическую величину из равенства площадей условного круга с радиусом ORX и квадрата ABCD

р Ч ORX2 = (2OR)2 3,1415926…Ч ORX2 = 4

ORX = 1,1283791…

Условную точку RX расположим произвольно на отрезке КК1 и соединим её пунктирной прямой с центром O. Получим условный прямоугольный треугольник OR1RX. Арифметическую величину условного катета R1RX получим из решения

R1RX2 = ORX2 - OR12 = 1,1283791…2 - 1,1213204…2 = 0,1260164…2

Эту же величину мы получим из пропорции составленную из величин отрезков, ранее полученных геометрически.

[(OR+MN) - LK] / (OR+MN) = RR1 / R1RX

R1RX = [(OR+MN) Ч RR1] / [(OR+MN) - LK] =[(1+0,0095226…)Ч0,1213204…] / [(1+0,0095226...) -0,0376212…] = = 0,1260164…

Арифметическую величину R1RX выразим геометрическим отрезком. Отрезки MN и LK перенесём на диагональ OC радиусами ON и OK. Отрезок MN отложится от точки R1 до точки E, а отрезок LK от точки R1 до точки F. Затем отрезок OR положим на продолжение диагонали OC так, чтобы началом отрезка OR была точка E, а концом - точка O1. Из точки F построим перпендикуляр к OO1, на котором отложим величину отрезка RR1, от точки F до точки F1. Через точки O1 и F1 проведём прямую до пересечения с прямой KK1 в точке R2. Таким образом, условная величина R1RХ выразилась геометрическим отрезком R1R2. Полученную точку R2 соединим прямой с центром O. Получим радиус OR2 круга равновеликого по площади квадрату ABCD

OR22 = OR12 + R1R22 =1,1213204…2+ 0,1260164…2= 1,1283791 … 2

Квадратура круга

Если принять квадрат равновеликий по площади кругу с радиусом OR за условный квадрат AXBXCXDX, то получим пропорцию

SOR / SOR2 = SAхBхCхDх / SABCD или

OR / OR2 = Ѕ AXBX / Ѕ AB

Которую положим в систему координат (рис. 3), чтобы выразить условную величину Ѕ AXBX геометрическим отрезком.

Рис. 3

Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую - на ось ординат. Точки M (OR2; Ѕ AB) и O дают луч, на котором абсциссой OR отразится новая точка M1,проекция которой на ось ординат, геометрически отразит Ѕ стороны искомого квадрата A1B1C1D1, равновеликого по площади кругу радиуса OR

Ѕ A1B1 = (ORЧ Ѕ AB) / OR2

Ѕ A1B1 = 1 / 1,1283791…= 0,8862269

A1B1 = 0,8862269…Ч 2 = 1,7724538…

Длина окружности

Нахождение стороны квадрата A1B1C1D1 даёт возможность выразить L OR - длину окружности круга радиуса OR прямым отрезком.

Рис. 4

Составим пропорцию

OR / OR2 = L OR / PA1B1C1D1 или OR / OR2 = ј L OR / A1B1,

Которую положим в систему координат (рис.4). Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую - на ось ординат.

Точки M (OR2; A1B1) и O дают луч, на котором абсциссой OR образуется новая точка M1, проекция которой на ось ординат геометрически отразит прямым отрезком ј LOR.

ј LOR = (ORЧ A1B1) / OR2

ј LOR = 1,7724538… / 1,1283791…= 1,5707963…

Ѕ LOR = 1,5707963…Ч 2 = 3,1415926…

LOR = 1,5707963…Ч 4 = 6,2831852…

В свою очередь, ј длины окружности круга, радиуса OR2, тоже выражена прямым отрезком A1B1, что видно на рис.4.

Если расчёт задачи вести на большее количество знаков, то результат величины стороны квадрата будет равен 1,7724538968686925718887244115238… , площадь квадрата при этом равна 3,1415928165250138836954861078059…

Размещено на Allbest.ru