Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО Уральский государственный экономический университет

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей

Екатеринбург, 2012

Задачи:

1. Имеется две урны. В первой урне а белых и в черных шаров, во второй с белых и d черных шаров. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность, что они будут белыми?

Решение

Пусть событие А - из первой урны взяли белый шар.

Вероятность взять из первой урны белый шар составит

Пусть событие B - из второй урны взяли белый шар.

Вероятность взять из второй урны белый шар составит

Событие, что оба шара будут белыми можно записать как . Поскольку события A и B независимы, то вероятность события составит

2. 12 рабочих получили путевки в 4 дома отдыха: трое - в первый дом отдыха, трое - во второй, двое - в третий и четверо - в четвертый дом отдыха. Найти вероятность того, что данные двое рабочих попадут в один дом отдыха.

Решение

Первый способ

Поскольку нужно распределить 2 человека, то подойдут дома отдыха под номерами 1,2,3, 4.

Найдем вероятность того, что 2 определенных человека поедут в первый дом отдыха.

Вероятность того, что первому человеку дадут путевку в дом отдыха №1 составит , т.к. мест 3, а желающих 12. Вероятность того, что второму человеку дадут путевку в дом отдыха №1 составит уже , т.к. мест осталось только 2, а желающих 11. Тогда вероятность того, что 2 конкретных человека поедут в дом отдыха №1 составит

Для дома отдыха №2 вероятность будет такой же, т.к. кол-во мест тоже самое.

Для дома отдыха №3 рассчитаем аналогично

Аналогично рассчитаем для дома отдыха №4

Для того чтобы два определенных человека оказались в одном доме отдыха необходимо, чтобы они оказались либо в доме отдыха №1, либо в доме отдыха №2, либо в доме отдыха №3, либо в доме отдыха №4. Тогда вероятность этого события составит

Второй способ

Выбрать 2 из 12 можно способами. Это общее число исходов.

Выбрать 2 из 3 можно способами. Это число способов, которыми можно разместить 2 человек доме отдыха №1 на три места.

Для дома отдыха №2 такое же кол-во способов.

Для дома отдыха №3 всего один способ. Т.к. 2 человека на 2 места можно разместить 1 способом.

Для дома отдыха №4 способов

Тогда вероятность того, что два конкретных человека будут отдыхать в одном доме отдыха составит

3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрел 2 билета. Найти вероятность, что он 1) выиграет хотя бы по одному билет, 2) выиграет по одному билету - деньги, а по другому - вещи.

Решение

Пусть событие билет выигрывает денежный приз.

Вероятность денежного выигрыша составит

Пусть событие билет выигрывает вещевой приз

Вероятность вещевого выигрыша составит

Пусть событие А состоит в появлении хотя б одного из событий или .

Вероятность наступления события А состоящего в появлении хотя бы одного из событий или независимых в совокупности. Равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

,

Подставим значения в формулу

Вероятность того, что некто выиграет, хотя бы одному билету составит 0,03376.

Выбрать 2 билета из 1000 можно

вероятность независимый событие лотерея

способами. Это общее число исходов.

Выбрать 1 выигрышный билет из 24 выигрышных билетов с денежным призом можно 24 способами.

Выбрать 1 выигрышный билет из 10 выигрышных билетов с вещевым призом можно 10 способами.

Число благоприятствующих исходов составит

Тогда по определению вероятности, вероятность события найдем как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов.

4. В сборочный цех завода поступили детали с 3-х автоматов. 1-ый автомат дает 3 % брака, 2-й - 1 %, 3-ий - 2%. Определить вероятность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило 500 деталей от 1-го автомата, 200 от 2-го и 300 от 3-го.

Решение

Всего пришло 500+200+300=1000 деталей.

Введём три гипотезы:

- взятая деталь с первого автомата

взятая деталь со второго автомата

- взятая деталь с третьего автомата

Выполним проверку 0,5+0,2+0,3=1

Расчеты выполнены верно.

Случайное событие А - взятое наугад изделие бракованное.

Вероятность того, что деталь с браком, если она поступила с первого автомата

Вероятность того, что деталь с браком, если она поступила со второго автомата

Вероятность того, что деталь с браком, если она поступила с третьего автомата

По формуле полной вероятности найдем вероятность взять деталь с браком

5. В специализированную больницу поступают в среднем 70 % больных с заболеванием К а остальные - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.8, болезни М - 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность, что он болел болезнью К?

Решение

Пусть гипотеза поступивший пациент имеет заболевание K

Пусть гипотеза поступивший пациент имеет заболевание M

Пусть событие А пациент полностью излечился.

Вероятность излечится при заболевании K

Вероятность излечится при заболевании M

По формуле полной вероятности найдем вероятность полного выздоровления пациента

Найдем по формуле Байеса вероятность того, что пациент болел болезнью К

Вероятность, что пациент болел болезнью К составит 0,67.

Размещено на Allbest.ru