Специальные функции: функции Бесселя

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Уравнение Бесселя

2. Некоторые свойства бесселевых функций

2.1 Интегрирование уравнение Бесселя

2.2 Частные решения уравнения Бесселя

2.3 Реккурентные формулы для функции Бесселя

Заключение

Список литературы

Введение

Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка[2]

где - Z комплексное переменное, н параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.

Термин "цилиндрические функции" обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.

Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.

Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.

Уравнение Бесселя позволяет в процессе решения уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

2) теплопроводность в цилиндрических объектах;

3) формы колебания тонкой круглой мембраны;

4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.

Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.

Задачи:

1) изучить уравнение Бесселя

2) рассмотреть основные свойства функций Бесселя

3) исследовать решения уравнения Бесселя.

1. Уравнение Бесселя

Применяя к гипергеометрическому уравнению подстановку

, ;

приводим это уравнение к виду:

(- 1)

Или

и в пределе при

или [1].

Представляя искомое решение этого дифференциального уравнения в виде бесконечного ряда:

,

откуда



приводим уравнение к виду

= 0.

Применяя для определения постоянных . . . метод неопределенных коэффициентов, замечаем, что коэффициенты при всех степенях х должны быть по отдельности равны нулю. Приравнивая к нулю коэффициент при

r ( r - l)

и имея в виду, что без уменьшения общности рассуждения можно считать , получаем для определения r следующее уравнение:

, откуда .

Рассмотрим сначала частное решение уравнения, соответствующее значению при котором

и уравнение

= 0

заменяется уравнением:

= 0.

Приравнивая к нулю коэффициенты при ,… получим уравнения:

…………………………………...

Так как, по условию и

то для коэффициентов … коэффициентов из этих уравнений получаем следующие выражения:



Берем коэффициент в виде:

и замечая, что первое частное решение у? уравнения

существует при условии ,…, для этого частного решения получаем формулу:

Или

.

Обозначая второе частное решение уравнения через и полагая , откуда

 ;

приводим уравнение к виду:

или после сокращения на и после других очевидных упрощений,

,

откуда вытекает, что функция удовлетворяет уравнению

,

но при условии замены в нем на . Следовательно, с точностью до постоянного множителя , на основании формул

и

,

причем должно быть ,…

Возвращаясь к уравнению

,

применим к нему подстановку , где v обозначает какое угодно постоянное число; тогда

;

и уравнение

примет вид:

После сокращения на получим

.

Выберем теперь так, чтобы коэффициент при был равен единице: 2(, откуда

При таком выборе уравнение принимает вид: .

Это уравнение называется уравнением Бесселя[1].

2. Функции Бесселя

2.1 Интегрирование уравнение Бесселя

В п.1 мы получили уравнение Бесселя .

Выведем формулы для частных решений уравнения Бесселя путем непосредственного интегрирования этого уравнения.

Предположив, что искомое решение уравнения Бесселя

может быть представлено степенным рядом

,

Откуда

; ,

из уравнения

получаем равенство:

Применяя далее метод неопределенных коэффициентов и замечая, что в рассматриваемом случае мы, в соответствии с этим методом, должны приравнять к нулю коэффициенты при , , , …, для определения постоянных , , ,…, получаем следующую систему уравнений:

Или

Так как, не уменьшая общности рассуждения, можно считать, что , то, как показывает первое из уравнений системы

, откуда для получаем два значения:

; ,

подстановка которых в формулу

дает два частных решения уравнения Бесселя:

;

Беря первое из этих частных решений, то есть полагая ,

и следовательно,

, из уравнений системы далее имеем:

, , , то есть и

то есть

, ( k = 1, 2, 3, …)

или

и окончательно:



Таким образом, в ряде, выражающем первое частное решение уравнения Бесселя, равны нулю коэффициенты при всех нечетных степенях , а коэффициенты при всех четных степенях могут быть выражены через коэффициент , остающийся произвольным, то есть первое частное решение уравнения Бесселя, получаемое при , представляемое рядом:

или

Замечая, что

форму мы можем взять у? в виде:

или

или

и если воспользоваться тем, что постоянная может быть выбрана произвольно, и взять для нее значение , то окончательно:

- функция Бесселя.

Для второго частного решения уравнения Бесселя, соответствующего , при помощи рассуждений, но при дополнительном условии, что не является числом целым, получается формула:

или, если для постоянной взять значение

,

то окончательно:

- функция Бесселя.

Эти формулы и решают задачу о нахождении частных решений уравнения Бесселя, причем формула имеет место только при условии, что не является числом целым.

2.2 Исследование решений уравнения Бесселя

Обращаясь к исследованию решений уравнения Бесселя, рассмотрим, прежде всего, случай, когда v=0, то есть когда уравнение Бесселя имеет вид

В этом случае формулы, определяющие частные решения уравнения Бесселя, совпадают, принимая вид [1]:

то есть

,

причем легко убедиться при помощи признака Даламбера, что ряд, стоящий в правой части формулы

сходится при всех значениях х.

Отметим также, что если х = 0, то .

График функции , называемой цилиндрической или бесселевой функцией первого рода нулевого порядка [1] имеет вид:

Таким образом, при v = 0 мы располагаем пока только одним частным решением уравнения Бесселя; второе частное решение этого уравнения определим позже. Если в уравнении Бесселя v = n есть число целое и положительное, то имеет место формула:

, откуда следует, что при v = n целом и положительном частные решения, определяемые формулами

не являются линейно - независимыми, то есть что в этом случае мы располагаем только одним частным решением уравнения Бесселя

то есть

причем ряд, стоящий в правой части формулы сходится при всех значениях х; в этом легко убедиться при помощи признака Даламбера.

Отметим также, что если х = 0, то , то есть .

Выделим случай, когда v представляет собой половину целого нечетного числа, так как в этом случае цилиндрические функции и могут быть выражены через элементарные функции.

Предположим, что , и рассмотрим сначала случай, когда m = 0, то есть когда .

При формулы

принимают вид:

Но

;

следовательно,

;

,

откуда

; ,

что и доказывает наше утверждение для случая m = 0.

Применяя, далее, к первому из равенств

;

Формулу

,

в которой , имеем

;

;

Откуда

,

что доказывает наше утверждение для случая любого целого положительного m.

Случай отрицательного целого m можно отдельно не рассматривать, так как он легко сводится к рассмотренному случаю положительного m.

2.3 Реккурентные формулы

Для дальнейшего исследования частных решений уравнения Бесселя

,

определяемых формулами [1],



целесообразно вывести некоторые соотношения между цилиндрическими функциями различных порядков, называемые обычно рекуррентными формулами и значительно упрощающее указанное исследование.

Если в этих формулах есть число целое и положительное, то во второй из этих формул суммирование фактически начинается со значения k, равного n, так как все члены суммы, соответствующие значениям k от 0 до n -- 1, оказываются равными нулю. Это следует из того, что Г (а) обращается в бесконечность при а, равном нулю или целому отрицательному числу.

Беря поэтому вторую из формул в виде:

и полагая k - n = l, откуда

k = n + l ; k + 1 = n + l + 1; - n + k + 1 = l + 1; - n + 2k = + 2l, l = 0 при k = n и l = при k = , приводим эту формулу к виду:

или

то есть при целом, положительном v = n цилиндрическая функция порядка -n всегда может быть выражена через цилиндрическую функцию порядка n.

Считая теперь по-прежнему v произвольным числом, возьмем первое из равенств в виде:

и обе его части продифференцируем по х:

[ ] =

Полагая k = l , откуда k + l = l + 2; v + k + l = v + l + 2; 2k - 1 = 2l + 1; v + 2k = v + 2l + 2; Г( k + 1) = Г( l + 2) = ( l + 1) Г( l + 1); l = 0 при k = 1 и l = при k = , имеем:

[ ] =

откуда

[ ] =

и, в частности, при v = 0:

Беря формулу [ ] = в виде:

видим, что дифференцирование по x дроби с последующим делением на х сводится к изменению знака и к замене v через v + 1.

Выполняя в этом равенстве дифференцирование:

получаем соотношение между цилиндрическими функциями и :

или

.

Дифференцируя, далее, равенство:

и замечая, что на основании формулы , справедливой, очевидно, для цилиндрических функций любых двух соседних порядков,

,

имеем:

то есть правило, устанавливаемое формулой для первой производной, оказывается справедливым и для второй производной.

Повторяя это рассуждение еще m - 2 раза, придем к следующей общей формуле:

которую можно взять также и в виде:

так как и .

Беря, далее, первое из уравнений



в виде:

дифференцируя его по х:

и применяя формулу

после несложных преобразований получим:

то есть

или

откуда следует, что дифференцирование по x произведения с последующим делением на х сводится к замене v через v - 1.

Выполняя в равенстве

дифференцирование:

получаем соотношение между цилиндрическими функциями и

Дифференцируя далее равенство

, откуда

и замечая что на основании формулы , справедливой, очевидно, для цилиндрических функций любых двух соседних порядков,



имеем

и окончательно

или

то есть правило, устанавливаемое формулой

для первой производной, оказывается справедливым и для второй производной.

Повторяя это рассуждение еще m - 2 раза, придем к следующей общей формуле:

Соединяя, наконец, формулы и , получаем соотношение между цилиндрическими функциями трех последовательных порядков

Заключение

В данной курсовой работе были изучены функции Бесселя, основные свойства функций Бесселя, гипергеометрическая функция и решения уравнений Бесселя, а также исследование решений уравнения Бесселя.

Основным содержанием курсовой работы является знакомство с самим понятием функции Бесселя и изучение некоторых их свойств. Рассмотрено интегрирование уравнения Бесселя. Также изучены частные решения уравнения Бесселя и реккурентные формулы для функции Бесселя.

При написании курсовой работы были расширены представлениях о специальных функциях, а именно функциях Бесселя, полученные ранее в курсе математического анализа, и продолжено изучение математического аппарата, необходимого для успешного решения задач математической функции.

цилиндрический гипергеометрический уравнение бессель реккурентный

Список литературы

1. Кузнецов Д.С. Специальные функции. - М.: Высшая школа, 1962г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления- М., Наука, 1970г.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.). М.: Наука, 1977

Размещено на Allbest.ru