Размещено на http://allbest.ru/

Какие бывают геометрии

Работу выполнила ученица 10 «Б» класса Пильнявина Анастасия

Работу проверила: Яицкая Валентина Александровна

Риманова геометрия

Риманова геометрия -многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами области). Риманова геометрия получила своё название по имени Б.Римана, который заложил её основы в 1854 г.

Простейший пример риманова пространства представляет любая гладкая поверхность. Действительно, в достаточно малой окрестности любой точки она совпадает (с точностью до величин высшего порядка малости) с касательной плоскостью в этой точке; поэтому в такой окрестности соотношения длин на поверхности будут такими же, как на плоскости (конечно, с точностью до малых величин высшего порядка). Таким образом, в малых областях поверхности имеет место (с точностью до малых величин высшего порядка) евклидова геометрия.

Например, при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию. Однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии.

Таким образом, поверхность, рассматриваемая с точки зрения измерений, проводимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия которого (т. н. внутренняя геометрия поверхности), будучи евклидовой в бесконечно малом, в целом не является евклидовой; к тому же, как правило, такое пространство неоднородно по своим геометрическим свойствам. Внутренняя геометрия поверхности есть не что иное, как риманова геометрия в случае двух измерений, а поверхность, рассматриваемая с точки зрения её внутренней геометрии, есть двумерное риманово пространство.

Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей римановой геометрии. Именно, рассматривается абстрактное пространство n измерении, в котором задаётся закон измерения расстояний, совпадающий вблизи каждой точки с обычным евклидовым с точностью до бесконечно малых высшего порядка.

В основе рассматриваемой геометрии лежат три идеи. Первая идея - признание того, что вообще возможна геометрия, отличная от евклидовой, была впервые развита Н.И. Лобачевским.Вторая - это идущее от К.Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитический аппарат в виде квадратичной формы, определяющий линейный элемент поверхности. Третья идея - это понятие об n-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в простейших случаях в 1-й половине 19 в. рядом геометров.

Б.Риман, соединив и обобщив эти идеи, ввёл, во-первых, общее понятие о пространстве как о непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые служат точками этого пространства. Во-вторых, Б.Риман перенёс на эти абстрактные пространства представление об измерении длин бесконечно малыми шагами, т. е. дал общее понятие о метрике, определяемой формулойds = f(x¹, x², ..., xⁿ; dx¹, dx², ..., dxⁿ.

Б.Риман специально исследовал метрику, задаваемую формулой , чем и положил начало такой геометрии; кроме того, он наметил возможные связи предложенной геометрии со свойствами реального пространства. Таково коротко содержание его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 г. и опубликованной лишь после его смерти, в 1868 г. Помимо этого Б.Риман в другой работе дал приложение аналитического аппарата своей теории к задаче о распространении тепла в анизотропном теле. Эта работа также была издана лишь после его смерти, в 1869 г. Следует отметить, что риманова геометрия возникла и развивалась в работах Б.Римана в связи с физикой. После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат римановой геометрии и устанавливали в ней новые теоремы геометрического характера. Были даны также применения такой геометрии, например, в механике. Важным шагом было создание Г.Риччи-Курбастро и Т.Леви-Чивита на рубеже 20 в. тензорного исчисления, которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки римановой геометрии. Решающее же значение имело применение такой геометрии в создании общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии и её аналитического аппарата, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Н.И.Лобачевским и Б.Риманом. Это привело к бурному развитию неевклидовых геометрий и её разнообразных обобщений. В настоящее время риманова геометрия вместе с её обобщениями представляет обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться в разных направлениях.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Проективная геометрия

геометрия риман плоскость пространство

Это раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощьюоднородных координат) и с алгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полем. Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как Евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности».

Тогда как свойства фигур, с которыми имеет дело Евклидова геометрия, являются метрическими (конкретные величины углов, отрезков, площадей), а эквивалентность фигур равнозначна их конгруэнтности (т.е. когда фигуры могут быть переведены одна в другую посредством движения с сохранением метрических свойств), существуют более "глубоко лежащие" свойства геометрических фигур, которые сохраняются при преобразованиях более общего типа, чем движение. Проективная геометрия занимается изучением свойств фигур, инвариатных при классе проективных преобразований, а также самих этих преобразований.

Проективная геометрия дополняет Евклидову, предоставляя красивые и простые решения для многих задач, осложнённых присутствием параллельных прямых. Особенно проста и изящна проективная теория конических сечений.

Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе таких древнегреческих геометров, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из прямой перспективы в живописи и архитектурном черчении. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.

В XIX веке интерес к этой области возродился благодаря трудам Жана-Виктора Понселе и Мишеля Шаля. Понселе вывел проективное пространство из Евклидова, добавив прямую в бесконечности, на которой пересекаются все плоскости, параллельные данной, и доказал принцип дуальности. Шаль продолжил и значительно углубил труды Понселе. Позже фон Штаудт создал чисто синтетическую аксиоматизацию, объединяющую эти прямые с остальными.

В конце XIX века Феликс Клейн предложил использовать для проективной геометрии однородные координаты, которые ранее ввели Мёбиус, Плюккер, и Фейербах.

Важные теоремы

Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии. Она формулируется следующим образом:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.

Обратное тоже верно:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.

Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы, то есть точку, в которой пересекаются три прямые, проходящие через пары соответственных вершин. И только тогда, когда они имеют ось перспективы, то есть прямую, на которой пересекаются прямые, содержащие соответственные стороны.»

Теорема Дезарга была открыта французским геометром Дезаргом: она, вместе с двумя другими, из которых одна есть её обратная, была помещена в конце сочинения Traite de perspective, составленного Боссом согласно началам и методу Дезарга и появившегося в 1636 году. В этом сочинении было отмечено, что это утверждение очевидно, когда треугольники находятся в двух разных плоскостях; рассмотрение же случая, когда они лежат в одной плоскости, доставляет один из первых примеров употребления теореме Менелая у новых геометров. Известность теорема Дезарга получила в начале XIX века благодаря её употреблению в работах Брианшона и Понселе.

Теорема Паппа

Формулируется следующим образом:

Пусть A, B, C -- три точки на одной прямой, A' , B' , C' -- три точки на другой прямой. Пусть три прямые АВ' , BC' , CA' пересекают три прямые A'B, B'C, C'A, соответственно в точках X, Y, Z. Тогда точки X, Y, Z лежат на одной прямой.

Пусть прямые  проходят через точку A,  проходят через точку A'.  пересекает  и  в точках B и C, a_2 пересекает  и  в точках C' и Z,  пересекает  и  в точках B' и X. Тогда прямые BC', B'C и XZ пересекаются в одной точке (на чертеже -- Y) или параллельны.

Теорема Паппа является вырожденным случаем в теореме Паскаля: если заменить в теореме Паскаля вписанный в конику шестиугольник на вписанный в пару пересекающихся прямых, то она станет эквивалентной теореме Паппа. Сам Паскаль считал пару прямых коническим сечением (то есть считал теорему Паппа частным случаем своей теоремы).

Формулировка и доказательство этой теоремы содержатся в «Математическом собрании» Паппа Александрийского (начало IV века н. э.). В Новое время теорема была опубликована издателем и комментатором работ Паппа Федерико Коммандино в 1566 году.

Теорема Паскаля

Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем.

Теорема Брианшона

Теорема Брианшона является классической теоремой проективной геометрии. Она сформулируется следующим образом:

Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.

В частности, в вырожденном случае:

Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку.

Теорема была доказана Брианшоном в 1810 году.

Размещено на Allbest.ru