Векторы, векторные величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

При изучении естественных наук часто приходится иметь дело с так называемыми векторными величинами или просто - векторами. Знать, что это такое и умение работать с векторами (или можно сказать по-другому: знать основы векторной алгебры) является наиглавнейшим условием успеха в изучении любой дисциплины, где встречаются векторные величины.

Можно построить очень красивый дом, но будут ли уверены в своей безопасности его жильцы, если этот дом построен на песке? Векторная алгебра является фундаментом, на котором построено все здание классической физики.Объектом исследования являются векторы и действия над ними.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что и по математике и по физике школьникам о векторах рассказывают, но, во-первых, очень мало, во-вторых (и это - главное), учителя не подчеркивают, что эти знания являются ключом, которым открываются двери и в Механику, и в Электричество, и в Магнетизм, и в любую дисциплину, где фигурируют векторные величины. Ключ-то совсем небольшой, но воистину золотой!

Глава 1. Вектор

1.1 Понятие вектора

Вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков. Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске - латинские буквы с черточкой сверху. Той же буквой, но не жирной, а светлой обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками - как модуль (абсолютную величину) числа.

Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков следует помнить, что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.

Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор). Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление, уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов). Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE -- параллелограммы. Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще: свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC -- параллелограмм.

Говорят, что скользящие векторы и равны, если точки A,B,C,D располагаются на одной прямой, векторы и равны между собой как свободные векторы. Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

Замечание: «Скользящие векторы особо употребимы в механике.» Простейший пример скользящего вектора в механике -- сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D. Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы -- это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» и т. д.). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Вектор, представленный набором n элементов (компонент)

допустимо обозначить следующим способами:

.

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

.

Умножение на число -- просто написанием рядом, без специального знака, например: , причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака. Длина (модуль) вектора -- скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора. Обозначается или просто a.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:

Вектор называют противоположным вектору . Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка:

.

1.2 Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника). Построение суммы изображено на рис. 1.

рис. 1

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и (рис. 2). Отсюда сразу следует, что

.

рис.2

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).

рис.3

Разность двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что

.

Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если - число положительное, и противоположно вектору , если - число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. + = + - коммутативность;

2. + ( + ) = ( + ) + - ассоциативность (по сложению);

3. + = ;

4. 1 ? = ;

5. + (-) = - = + (-1) = ;

6. б(в) = (бв)

- ассоциативность (по отношению к числам);

7. (б + в) = б + в

- дистрибутивность (по отношению к умножению на вектор);

8. б( + ) = б + б

- дистрибутивность (по отношению к умножению на число), б, в - числа.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители. Свойства векторов незаменимы при сложении, вычитании векторов, при умножении векторов и умножении вектора на число, при упрощении выражений, при нахождении скалярного и векторного произведений векторов и много другого.

Глава 2. Действия над векторами. Произведение векторов

2.1 Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение можно обозначать различными способами, например, как ab, a · b, (a, b), (a · b). Таким образом, скалярное произведение равно:

a · b = |a| · |b| · cos ц.

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения:

Свойство перестановки:

a · b = b · a

(от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);

Свойство распределения:

a · (b · c) = (a · b) · c

(результат не зависит от порядка умножения);

Свойство сочетания (по отношению к скалярному множителю): (л a) · b = л (a · b).

Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны друг к другу) a + b;

Свойство квадрата:

a · a = a2 = |a|2

(скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);

Если координаты векторов

a = {x1, y1, z1} и b = {x2, y2, z2},

то скалярное произведение равно

a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Задача: даны вершины треугольника A(1,2,3), B(3,4,4), C(4,8,1). Определить угол между сторонами AB и AC.

Решение: косинус угла между векторами b и c равен

cosц = b · c / (|b|·|c|).

Найдем вектора через соответствующие вершины треугольника:

b = AB = {3-1, 4-2, 4-3} = {2, 2, 1} и c = AC = {4-1, 8 - 2, 1 - 3} = {3, 6, -2}.

Модули векторов равны

|b| = (22+22+12)1/2 = 3 и |c| = (23+32+(-2)2)1/2 = 7.

Скалярное произведение равно:

b · c = 2·3+2·6+1·(-2)=16.

Подставляя в формулу для косинуса угла, получим cosц = 16/21, следовательно, ц = arccos(16/21).

Ответ: ц = arccos(16/21).

2.2 Векторное произведение векторов и его свойства

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

модуль вектора равен , где - угол между векторами и

вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;

направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).

Свойства векторного произведения:

При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa). Векторы ахb и bха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, ахb и a, b, bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = - (bxa).

Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.

l(а хb) = (lа) х b = а х (lb).

Пусть l>0. Вектор l(ахb) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторыl(ахb) и (lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому

l(a хb)= lахb

Аналогично доказывается при l<0.

Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

а||b <=>ахb =0.

Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.

2.3 Смешанное произведение векторов

вектор линейная операция произведение

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и . Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и (рис.4).

рис. 4.

Свойства смешанного произведения:

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е.

(а х b)*с=(b х с)*а=(с х а)*b

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер;

Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е.

(ахb)*с=а*(bx с).

Действительно,

(ахb)*с=±V и а*(b хс)=(b хс)*а=±V

Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, b, с и b, с, а -- одной ориентации.

Следовательно,

(a хb)*с=a (b хс).

Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения;

Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е.

abc =-acb, abc =-bac, abc =-cba.

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак;

Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. Если abc =0, то а, b и с-- компланарны. Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V? 0. Но так как abc =±V, то получили бы, что abc?0. Это противоречит условию: abc =0. Обратно, пусть векторы а, b, с -- компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b,с, и следовательно, d^с. Поэтому d *с=0, т. е. abc=0.

Заключение

И в заключении хотелось бы отметить, что не следует думать, что всякая физическая величина, имеющая направление, обязательно является вектором. Электрический ток имеет направление, но это не вектор. Углу тоже придается направление (мы углы отсчитываем либо по ходу часовой стрелки, либо - против), но и угол - не вектор.

Так что же является основным признаком векторной величины, если числового значения и направления недостаточно? Главным признаком того, что данная величина есть вектор является то, что, если она с себе подобной складывается геометрически (например, по правилу параллелограмма), и в результате такого сложения мы получим величину, истинность которой подтверждается экспериментом, то, значит, складываемые величины - векторы.

Про углы следует сказать особо. Дело в том, что, хотя при сложении двух поворотов и не сохраняются правила сложения векторов, однако, сложение бесконечно малых поворотов подчиняется этим правилам. Поэтому ц и Дц - не векторы, а dц - вектор!

Таким образом, вектором называют величину, характеризуемую числовым значением, направлением в пространстве и складывающейся с другой, себе подобной величиной геометрически.

Следует знать, что последняя часть определения является не свойством вектора, что нередко утверждается, но именно неотъемлемой частью определения.

Список литературы:

Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007.

Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000.

Герасимович А.И., Пушкина-Варварчук Г.Т., Шарикова З.П., Цыганова В.К. Геометрия для подготовительных отделений втузов: Справ. Пособие - Мн.: Выш. Шк., 1987.

Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ,: ИНФРА-М, 2003.

Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003.

Кравцев С.В. Алгебра и начала анализа. Ответы на экзаменационные билеты. 11 класс: учебное пособие. - М.: Издательство «Экзамен», 2006.

Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004.

Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009.

Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973.

Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000.

Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1992.

Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979.

Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000.

Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.

Размещено на Allbest.ru