Основы статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими предприятия проведена 10%-ная механическая выработка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число деталей, шт.
10 12 14 16 18	100 200 500 160 40
Итого	1000

Определите:

1) С вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и пределы, в которых будут находиться средние затраты времени на изготовление одной детали по всему предприятию;

2) С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и пределы, в которых будут находиться удельный вес деталей с минимальными затратами времени на их изготовление.

Решение

1) Для определения генеральной средней необходимо исчислить выборочную среднюю и дисперсию, расчёты которых приведены в таблице:

Xi	Fi	Xi Fi		(х - )2	(х - )2fi
10 12 14 16 18	100 200 500 160 40	1000 2400 7000 2560 720	- 3,68 - 1,68 0,32 2,32 4,32	13,5424 2,8224 0,1024 5,3824 18,6624	1354,24 564,48 51,2 861,184 746,496
?	1000	13680	-	-	3577,6

= 13,68 мин.

= 3,57 мин.

Средняя ошибка характеризует меру отклонений выборочных показателей от аналогичных показателей генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборки при определённых средних затрат времени на изготовление одной детали по всему предприятию составит:

а) при повторном отборе:

0,06 мин.

б) при бесповторном отборе:

0,06 мин.

Следовательно, при определении средних затрат времени на изготовление одной детали по всему предприятию в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности при повторном и бесповторном отборе составит 0,06 мин.

Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 составит:

0,12 мин.

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности, в общем виде может быть представлена следующим образом:

; или ;

Следовательно, средние затраты времени на изготовление одной детали по всему предприятию генеральной совокупности будет находится в следующих пределах:

= 13,680,06 мин. или 13,62 ? ? 13,74 мин.

С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средние затраты времени на изготовление одной детали по всему предприятию составят от 13,62 до 13,74 мин.

2) Доля затраченного времени в выборочной совокупности с числом деталей составит: или 1%.

Определим предельную ошибку доли при повторном отборе:

=0,003

Предельная ошибка доли с вероятностью 0,997 составит:

= = 0,009 или 0,9%

Вычисление пределов при установленной доли осуществляется аналогично установлению пределов для средних величин. В общем виде расчёты можно представить следующим образом:

или

где Р - доля единиц, образующих данным признаком в генеральной совокупности.

Таким образом, затраченного времени в генеральной совокупности находится в пределах: W = 0,010,9% или -0,89 ?P ? 0,91%.

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля затраченного времени в общем числе деталей составит от -0,89 до 0,91%.

Задача 2

Консервный завод по переработке овощей и фруктов в отчётном периоде выпустил продукцию в банках различной ёмкости:

Ёмкость, см3	100	250	400	500	1000	3000
Выпущено банок, тыс. шт.	1000	1200	1450	840	410	120

Определите общее производство консервов в тысячах условных банок, если за условную единицу принята банка ёмкостью 500 см³.

Решение

Абсолютные величины в зависимости от задач исследования и от характера общественных явлений могут быть измерены в натуральных, условно-натуральных и денежных единицах. Пересчёт натуральных единиц измерения в условно-натуральных производится с помощью специальных коэффициентов перевода.

Чтобы определить общее количество продукции, выработанной предприятием, необходимо исчислить коэффициенты перевода. Если условной единицей является банка ёмкостью 500 см³, то оно применяется равным единице. Тогда коэффициент перевода в условную банку (ёмкостью 500 см³) исчисляется:

- банка ёмкостью 100 см³: 200/500 = 0,2

- банка ёмкостью 250 см³: 250/500 = 0,5

- банка ёмкостью 400 см³: 400/500 = 0,8

- банка ёмкостью 1000см³: 1000\500 = 2

- банка ёмкостью 3000см³: 3000\500 = 6

Далее определим общий объём производства консервов (учитывая перевод в условные единицы в ёмкости 500см³):

Производство консервов в условно-натуральном измерении

Ёмкость, см3	Количество банок, тыс. шт.	Коэффициент перевода	Количество банок консервов в условном исчислении, тыс. шт.
100 250 400 500 1000 3000	1000 1200 1450 840 410 120	0,2 0,5 0,8 1 2 6	200 600 1160 840 820 720
Итого	-	-	4340

Общее производство консервов в 500 см³ исчислении составило 4340 тыс. шт.

Задача 3

Данные о возрасте сотрудников одного отдела

Табельный номер рабочего	001	002	003	004	005	006
Возраст, лет	28	35	48	39	25	49

Определите:

1) Средний возраст сотрудников отдела;

2) Размах вариации;

3) Среднее линейное и среднеквадратическое отклонение;

4) Дисперсию и коэффициент вариации.

Поясните рассчитанные показатели.

вероятность ошибка среднеквадратический предел

Решение

Средняя величина представляет собой обобщённую количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях времени и места.

1) Средний возраст сотрудников отдела рассчитывается по средней арифметической (простой) формуле:

37,3 (года)

2) Размах колебаний (размах вариации) показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака и рассчитывается по формуле:

R = X max - X min,

где X max и X min - соответственно максимальное и минимальное значения признака. Величина показателя зависит от величины только двух крайних вариантов и не учитывает степени колеблемости основной массы членов ряда.

R = 49 - 28 = 24 (года)

3) Среднее линейное отклонение и среднеквадратическое отклонение показывают, насколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

Для расчёта среднего линейного и среднеквадратического отклонения построим вспомогательную таблицу:



Х		(х - )2
28 35 48 39 25 49	9 2 11 2 12 12	81 4 121 4 144 144
?	48	498

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней и определяется по формуле для несгруппированных данных (первичного ряда):

8 (л.)

Среднеквадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонения отдельных значений признака от их средней

Среднеквадратическое отклонение () и дисперсия (2) определяются по формуле для несгруппированных данных:

;

у = 9,1 (г.)

Среднеквадратическое отклонение по своей величине всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством мажорантности средних.

4) Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от их средней величины:

у² = 83 (г.)

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической и чаще всего выражаются в процентах.

Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

.

н = 24,6%.

Задача 4

Данные о производстве продукции предприятием за два периода

Виды продукции	Количество произведённой продукции, тыс. ед.	Цена за единицу продукции, руб.
	Базовый период	Отчётный период	Базовый период	Отчётный период
А Б	30,0 60,0	30,5 53,0	160 240	156 302

Определите:

1) Индивидуальные индексы цен и количества произведённой продукции;

2) Общий индекс стоимости произведённой продукции;

3) Общий индекс физического объёма произведённой продукции (по агрегатной форме и форме среднего арифметического индекса)

4) Общий индекс цен (по агрегатной форме и форме среднего гармоничного индекса);

5) Общий прирост стоимости произведённой продукции, в том числе за счёт изменения цен и количества произведённой продукции.

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

Решение

1) Индивидуальный индекс служит для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления.

Индивидуальный индекс цен:

I_p = p₁: p_0,

где p₁ - цена текущего периода;

p₀ - цена базисного периода.

I_p = 156:160 = 0,975 = 97,5% (продукция А);

I_p = 302:240 = 1,258 = 125,8% (продукция Б).

Индивидуальный индекс количества произведённой продукции:

I_q =q_1: q_0,

где q₁ - объём реализованного товара в текущем периоде;

q₀ - объём реализации товара базисного периода.

I_q = 30, 5: 30, 0 = 1,017 = 101, 7% (продукция А);

I_q = 53, 0: 60, 0 = 0,883 = 88, 3% (продукция Б).

Взаимосвязь индексов: I_{p х} I_q = I_pq

I_pq = p₁ q_1: p₀ q₀

Для того чтобы увидеть взаимосвязь индивидуальных индексов построим вспомогательную таблицу

продукция	p0 q0	p1 q1
А Б	4800 14400	4758 16006
?	19200	20764

I_pq = 4758: 4800 = 0,992

0,975 х 1,017 = 0,992 - взаимосвязь индексов по продукции А выполняется;

I_pq = 16006: 14400 = 1,111

1,258 х 0,883 = 1,111 - взаимосвязь индексов по продукции Б выполняется.

2) Общий индекс стоимости произведённой продукции:

I_pq = ? p₁ q₁: ?p₀ q₀;

I_pq = 20764: 19200 = 1,081 = 108, 1%.

3) Общий индекс физического объёма произведённой продукции: по агрегатной форме и форме среднего арифметического индекса:

Агрегатный индекс физического объема продукции характеризует изменение выпуска всей совокупности продукции и исчисляется по формуле:

где - количество выработанных единиц отдельных видов продукции соответственно в отчетном и базисном периодах;

р₀ - цена единицы отдельного вида продукции в базисном периоде.

Для расчёта построим вспомогательную таблицу:

продукция	p0 q0	р0 q1
А Б	4800 14400	4880 12720
?	19200	17600

I_q = 0,917 = 91, 7%.

Средние взвешенные индексы физического объема продукции применяются в том случае, если известны индивидуальные индексы объема по отдельным видам продукции и стоимость отдельных видов продукции (или затраты на отдельные виды продукции) в базисном или отчетном периоде.

Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции определяется по формуле:

где - индивидуальный индекс по каждому виду продукции;

- стоимость продукции каждого вида в базисном периоде.

I_q = = = = 0,928 = 92,8%.

4) Общий индекс цен: по агрегатной форме и форме среднего гармоничного индекса:

Агрегатный индекс цен характеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции и исчисляется по формуле:



Для расчёта построим вспомогательную таблицу

Продукция	P1q1	р0q1
А Б	4758 16008	4880 12720
?	20764	17600

I_р = 1,180 = 118%.

Средние взвешенные индексы цен применяются в том случае, если известны индивидуальные индексы цен по отдельным видам продукции, а также стоимость отдельных видов продукции.

Средний взвешенный гармонический индекс цен

,

где - стоимость продукции каждого вида в текущем периоде.

I_p = = = = 1,137 = 113, 7%

Взаимосвязь индексов рассчитанных по агрегатной форме:

I_pq = p₁q_1: p₀q₀;

I_pq = 20764: 19200 = 1,081

0,917 х 1,180 = 1,081 - взаимосвязь выполняется.

5) Общий прирост стоимости произведённой продукции, в том числе за счёт изменения цен и количества произведённой продукции.

Абсолютное изменение стоимости продукции определяется по формуле:

20764 - 19200 = 1564 руб.

где - абсолютное изменение стоимости продукции за счет изменения выпуска продукции = -1600 руб.;

- абсолютное изменение стоимости продукции за счет изменения цен;

= 3164 руб.;

= 3164 - 1600 = 1564 руб., что и соответствует ранее полученной цифре.

Список литературы

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. «Общая теория статистики» - М.: Финансы и статистика, 2005.

2. Статистика: Курс лекций / Под ред. проф. В.Г. Ионина. - Новосибирск: изд-во НГАЭиУ, 1998.

3. Теория статистики / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Спирин И.А., Башина О.Э. «Общая теория статистики» - М.: Финансы и статистика, 2005.

5. Ефримова М.Р., Петрова З.В. «Общая теория статистики.» - М.: Финансы и статистика, 2005.

6. Елисеева И.И. «Статистика» - М.: Высшее образование, 2007.

7. Практикум по теории статистики / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2004.

Размещено на Allbest.ru