Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в компьютерной системе Mathematica

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

уравнение mathematica дифференциальный абель

В настоящее время существует достаточно много различных математических систем, например, MathCad, Maple, Mathematica и другие. В этой курсовой я расскажу как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения в системе Mathematica.

Mathematica -- компьютерная система символьной математики для ПК, обеспечивающая не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических преобразований и вычислений.

В конце прошлого века получила широкое распространение и сейчас быстро развивается система Mathematica.

Ее успех в значительной степени объясняется ее широкими графическими возможностями, а также электронной документацией, которую можно рассматривать как электронную библиотеку, посвященную различным разделам математики и информатики. Mathematica имеет высокую скорость и практически не ограниченную точность вычислений.

Огромным достоинством программы Mathematica является справочная система. Она включает в себя не только очень качественное описание функций с примерами, а также учебник. В ней есть все материалы для тех, кто только начинает работу с приложением, и для тех, кто работает с ней очень давно.

Пакет Mathematica повсеместно применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде.

Можно даже сказать, что Mathematica обладает значительной функциональной избыточностью. Любая серьезная научная лаборатория или кафедра вуза должна иметь подобную программу, если там всерьез заинтересованы в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени сложности.

Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Mathematica просты в освоении и могут использоваться довольно широкой категорией пользователей -- студентами и преподавателями вузов, инженерами, аспирантами, научными работниками и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в подобной системе многочисленные полезные возможности для применения.

При этом широчайшие функции программы не перегружают ее интерфейс и не замедляют вычислений. Mathematica неизменно демонстрирует высокую скорость символьных преобразований и численных расчетов.

Программа Mathematica из всех рассматриваемых систем наиболее полна и универсальна, однако у каждой программы есть как свои достоинства, так и недостатки. Поэтому те, кто серьезно работает с системами компьютерной математики, должны пользоваться несколькими программами, ибо только это гарантирует высокий уровень надежности сложных вычислений.

Система Mathematica является одной из самых крупных программных систем и реализует наиболее эффективные алгоритмы вычислений. Сегодня она рассматривается как мировой лидер среди компьютерных систем символьной математики для ПК, обеспечивающих не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических преобразований и вычислений.

Mathematica была задумана как система, максимально автоматизирующая труд научных работников и математиков-аналитиков, поэтому она заслуживает изучения даже в качестве типичного представителя элитных и высокоинтеллектуальных программных продуктов высшей степени сложности. Однако куда больший интерес она представляет как мощный и гибкий математический инструментарий, который может оказать неоценимую помощь большинству научных работников, преподавателей университетов и вузов, студентов, инженеров и даже школьников.



1. Уравнение Абеля

Уравнением Абеля называется дифференциальное уравнение вида:

(1)

Рассмотрим случай, когда ,,,- постоянные. Обозначим корни кубического уравнения

(2)

Через ,,. При этом возможно три случая:

а) если , то общий интеграл уравнения (1) имеет вид:

(3)

б) если , то общий интеграл уравнения (1) имеет вид:

(4)

в) если , то общий интеграл (1) есть:

(5)



Если , то уравнение (1) интегрируется в квадратурах:

1.1 Решение уравнений Абеля

Пример1:

y'=y³-6y²+11y-6- уравнение Абеля

a₀=1, a₁=-6, a₂=11, a₃=-6

y³-6y²+11y-6=0

y₁=1, 1-6+11-6=0

y³-6y²+11y-6=(y-1)(y²-5y+6)

y₂=3, y₃=2

s₁=1, s₂=3, s₃=2

s₁?s₂?s₃

Пример2:

y'=y³-3y²+4y-2

y³-3y²+4y-2=0

(y-1)(y²-2y+2)=0

s₁=1; s₂=1-i; s₃=1+i



Пример 3:

y'+2=6y-6y²+2y³

y'=2y³-6y²+6y-2 уравнение Абеля

2y³-6y²+6y-2=0

=0

s₁=s₂=s₃=1

общий интеграл имеет вид:



Пример 4:

y'=3y³-21y²+24y+48

3y³-21y²+24y+48=0

(y+1)(3y²-24y+48)=0

s₁=-1, s₂=s₃=4

Общий интеграл имеет вид:



2. Уравнение Дарбу

Рассмотрим уравнение вида:

M(x,y)dx+N(x,y)dy+P(x,y)(xdy-ydx)=0 (1)

Где M,N- однородные функции степени m,а P-однородная функция степени l.

Уравнение такого вида называется уравнением Дарбу. Если l=m-1, то уравнение Дарбу будет однородным уравнением.

Покажем, что уравнение Дарбу приводится к уравнению Бернулли.

Для этого сделаем подстановку y=zx, (2)

Где z- новая неизвестная функция. Имеем

dy=zdx+xdz, xdy-ydx=x²(=x²dz

Поэтому переписав уравнение (1) в виде

x^mM(1,)dx+x^mN(1,)dy+x^lP(1,)(xdy-ydx)=0

и выполним подстановку (2), получим

x^mM(1,z)dx+x^mN(1,z)(zdx+xdz)+x^l+2P(1,z)dz=0

Сократим на x^m и соберём члены при dx и dz:

(M(1,z)+N(1,z)z)dx+(N(1,z)x+P(1,z)x^l+2-m)dz=0



Деля обе части этого уравнения на M(1,z)+N(1,z) и на dz (тем самым мы принимаем z за независимую переменную), получаем

(3)

Это уравнение Бернулли с искомой функцией x от неизвестной переменной z

Интегрируя уравнение (3) и возвращаясь к переменой y , найдём общий интеграл уравнения Дарбу. Полупрямые вида y=z_ix (x), где z_i- корень уравнения могут быть особыми решениями.

2.1 Решение уравнений Дарбу

Пример 1:

xdx+ydy+x²(xdy-ydx)=0

Полагая y=zx, имеем

Xdx+zx(xdz+zdx)+x⁴dz=0

Или (1+z²)dx+(zx+x³)dz=0 (x=0?)

Отсюда

Это уравнение Бернулли. Интегрируя его, найдём



Возвратившись к переменной у, получим

Пример 2:

(x³-y)dx+(x²y+x)dy=0

x³dx+x²ydy+(xdy-ydx)=0 (1)-уравнение Дарбу

Делаем замену y=zx, y'=z'x+zx'

y'=x+z

Возвращаемся к (1)

x³dx+x²zx(xdz+zdx)+x(xdz+zdx)-zxdx=0

x³dx+x⁴dz+x³z²dx+x²dz+xzdx-xzdx=0

(x³+x³z²)dx+(x⁴z+x²)dz=0



- уравнение Бернулли

Для решения используем метод Лагранжа. Для этого решаем соответствующее ЛОДУ.

Ищем в виде:

cdc=-dz

C=±



Пример3:

dx-dy+x(xdy-ydx)=0 -уравнение Дарбу

Замена y=zx, dy=xdz+zdx

dx-xdz-zdx+x[x(xdz+zdx)-xzdx]=0

dx-xdz-zdx+x(x²dz+xzdx-xzdx)=0

dx-xdz-zdx+x³dz=0

(1-z)dx+(x³-x)dz=0 умножим



Возвращаемся к (*)

, y=xz

Пример4:

y=zx , dy=xdz+zdx



3. Введение в Mathematica

Работа в системе Mathematica происходит в режиме сеанса.

Во время сеанса можно попеременно работать с несколькими документами.

Решение любой задачи начинается с набора выражения, содержащего символы, числа, строки, для вычисления которой следует нажать клавиши Shift+Enter .

Если выражение набрано без синтаксических ошибок, Mathematica вычислит его, при этом набранное выражение будет помечено ремаркой In[1]:=, а полученный результат- ремаркой Out[1]:=.

В противном случае Mathematica выдаст сообщение об ошибке. Под выходной ячейкой имеется горизонтальная черта - это означает, что Mathematica готова принять новое выражение.

Выражения составляются с использованием приведённых ниже арифметических действий, скобок и с соблюдением стандартных математических соглашений о приоритете операций.

x^ возведение в степень

-x минус

x/y деление

xyz или x*y*z умножение

x+y сложение

При решении дифференциальных уравнений иногда требуется делать замену.

В Mathematica существует три вида замены, нам потребуются локальные (влияющие на одно конкретное выражение).

Это можно осуществить двумя способами: ReplaceAll[expr,x>value], где expr-выражение, в котором должна быть сделана подстановка.

Фунция ReplaceAll допускает постфисную форму записи. expr/.>value заменить x value в выражении expr. Для вычисления неопределённых интеграла использовать специальный оператор Integrate[f,x], или альтернативный ему математический символ, который находится на кнопочной палитре (Palettes).

Палитра для данного приложения - это отдельное специализированное меню, состоящее из набора сгруппированных по определённому признаку разделов, представленных для удобства в виде кнопок с изображением символов на них. При необходимости она легко подключается и значительно облегчает работу.



4. Решение дифференциальных уравнений в аналитической форме

Для решения дифференциальных уравнений в аналитической форме в-Математике используется функция DSoIve, формат обращения к которой имеет вид: DSolve[eq, y[x], х], где eq - дифференциальное уравнение относительно функции у(х). Как и в случае нахождения численного решения ДУ с помощью функции NDSoIve в уравнении eq вместо символа “=" должен использоваться двойной знак равенства “==”а искомая функция у и все ее производные должны быть записаны с аргументом, заключенным в квадратные скобки: у[х], у'[х],... .

DSolve[ у' [х] +ky[х] == 0, у[х] , х]

{{у[х] >E^-kxC[1]}}

Функция DSolve стремится найти общее решение ДУ в явном виде и выдает результат в виде списка правил замены, причем каждое решение заключается в фигурные скобки. Поэтому в случае одного решенная соответствующее решение заключается в двойные фигурные скобки. Для ДУ n-го порядка общее решение содержит п произвольных констант. При каждом обращении к функции DSolve соответствующие константы обозначаются С[1], С[2], ..., С[n]. Для получения частного решения ДУ необходимо в качестве первого аргумента функции DSolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных или граничных условий.

DSolve[{y'[x] + ky[x]==0, у[0]==а}, у[х] , х]

{{у[х] >aE^-kx}}

Решения, найденные выше с помощью DSolve, можно подставить в любое выражение, содержащее у(х). Однако это решение не определяет правил замены производных y'(x), у "(х) и т.д., что видно из следующего примера.

y''[x]-3y'[x]+2y[x]^3/.%[[1]]

2a³E^-3kx-3y'[x]+y''[x]

Чтобы получить решение, не имеющее этого недостатка, нужно в качестве второго аргумента функции DSolve записать только имя искомой функции, не указывая ее аргумент, например:

DSolve[{y' [x] + ky[х] ==0, у[0] ==а}, у, х]

{{у>(aE^-k#1&)}}

В этом случае решение представляется в виде чистой функции ("pure function "-объекта), в котором роль аргумента х играет символ "#1", а признаком этого объекта является символ "&". Полученное решение можно подставить в любое выражение, содержащее как функцию у(х), так и ее производные, например:

у''[х] -3y'[х] +2y [х]^ 3 /. %[[1]]

2 а³ Е^-3kx+ 3aE^-kx к+ aE^-kx к²



4.1 Решение уравнений Абеля в Mathematica

Пример1:

Пример2:



Пример3:

Пример4:



4.2 Решение уравнений Дарбу в Mathematica

Пример1:



Пример2:



Пример3:

Пример4:



Список литературы

1. “Применение системы математика к решению обыкновенных дифференциальных уравнений ” А.Н. Прокопеня, А.В. Чичурин

2. “Дифференциальное и интегральное исчисление” Н.С. Пискунов

3. www.exponenta.ru

4. www.Wolfram.com

Размещено на Allbest.ru