Решение алгебраических уравнений
Решение нелинейных алгебраических уравнений, подходы и методики данного процесса, его порядок и этапы. Решение системы двух нелинейных алгебраических уравнений. Определитель матрицы, ее умножение и сложение. Системы линейных алгебраических уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.07.2012 |
| Размер файла | 2,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Подбор параметра
1.1 Решение нелинейных алгебраических уравнений
уравнение алгебраический нелинейный матрица
При моделировании экономических ситуаций часто приходится решать уравнение вида
f (х, р1, р2,…, рn)=0 (1)
где f - заданная функция, х - неизвестная переменная
р1, р2,…, рп - параметры модели.
Решение таких уравнений может быть, как самостоятельной задачей, так и частью более сложных задач. Как правило, исследователя интересует поведение решения в зависимости от параметров р1, k=1, n
Решениями или корнями уравнения (1) называют такие значения переменной х, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.
Только для линейных или простейших нелинейных уравнении удается найти решение в аналитической форме, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину х в явном виде через параметры рk (например формула корней квадратного уравнения)
В большинстве же случаев приходится решать уравнение (1) численными методами, в которых процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близко к точному.
Рассмотрим последовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы.
Задание 1.1.
Найти ближайшее к начальному приближению решение следующего уравнения
(1)
Сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис. 1. Уравнение (1) запишем в ячейку С3, начиная со знака равенства, а вместо переменной укажем адрес ячейки В3. которая содержит значение начального приближения решения
Рис. 1
Метод, применяемый в EXCEL для решения таких уравнений - модифицированный конечными разностями метод Ньютона, который позволяет не сильно заботится о начальном приближении, как этого требуют другие численные методы решения уравнений (метод хорд, дихотомии и др.) Следует учесть - это то, что будет найдено решение ближайшее к выбранному начальному приближению.
Для получения решения уравнения (1) надо выполнить следующую последовательность действий:
1. Выполнить команду Сервис > Подбор параметра… (получим лист электронной таблицы, как показано на Рис. 2);
2. Заполнить диалоговое окно Подбор параметра…:
2.1 Щелкнуть левой клавишей мыши в поле Установить в ячейке, после появления в нем курсора, переместить указатель мыши и щелкнуть на клетке с формулой - это клетка С3, абсолютный адрес которой $С$3 появится в поле.;
Рис. 2
2.2 В поле Значение ввести значение правой части уравнения (1) в моем случае это значение равно 0;
2.3 В поле Изменяя значение ячейки ввести адрес ячейки, где задано начальное приближение решения, в моем случае это ячейка В3 (абсолютный адрес которой $В$3 появился в ноле после щелчка левой клавиши мыши на ячейке В3).
После выполнения пунктов 1-2 страница электронной таблицы будет выглядев так, как показано на Рис. 3.
Рис. 3
После нажатия на кнопке ОК появится окно Результат подбора параметра, в котором дается информация о том найдено ли решение, чему равно и какова точность полученного решения. Для нашего примера Результат подбора параметра показан на Рис. 4. При значении аргумента 1.00014 функция, стоящая в левой части уравнения (1) отличается от нуля на 0.000745281.
Рис. 4
Если полученные значения следует отразить на листе электронной таблицы, то надо щелкнуть на кнопке ОК, если же нет-то на кнопку Отмена В первом случае найденные значения зафиксируются в ячейках В3 и С3 и лист электронной таблицы будет выглядеть как на Рис. 5, или как на Рис. 6, если установить режим отображения результатов, предварительно сняв режим отображения формул, выполнив команду Сервис > Зависимости формул > Режим проверки формул.
Рис. 5
Численные методы решения уравнений хороши тем, что можно получить приближенное решение с заданной точностью. EXCEL имеет возможность управлять выбором точности. Для этого надо выполнить команду Сервис> Параметры> Вычисления и в соответствующих полях установить значения относительной погрешности и количества итераций Рис. 7
Рис. 6
Рис. 7
Задание 1.2
Решение данного уравнения сделано по аналогии задания 1.1. Ответ представлен на Рис. 8
2)
Задание 1.3
Решение данного уравнения сделано по аналогии задания 1.1. Ответ представлен на Рис. 9
3)
Задание 1.4
Решение данного уравнения сделано по аналогии задания 1.1.
Ответ представлен на Рис. 10
4)
2. Решение системы двух нелинейных алгебраических уравнений
Вышеизложенный способ получения решения уравнения может быть легко распространен для случая решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, если система имеет следующий вид:
Y=Ф(х)
Y=Ш(х)
Преобразуем систему (3) в одно уравнение вида (4)
Ф(х)-Ш(х)=0 (4)
Подученное уравнение уже можно решить с помощью Подбора параметра… так как это было описано в задание 1.1.
Задание 2.1
(5)
Для решения данного задания, необходимо:
1. Задать произвольное значение x = 1;
2. Так как функции неявно выраженные, необходимо во втором уравнении выразить величину
у = -0,4 - sinx;
3. Подставляем значения x и y в первое уравнение, тем самым, получая решение данного уравнения равное 1,03;
Решение системы уравнений
4. Находим значение y = - 1,24;
Рис. Нахождение значений х, у
5. Для того чтобы получить значения переменных x, y воспользуемся функцией «Подбор Параметра», устанавливаем ячейку в которой необходимо получить ответ равный нулю (см. первое уравнение), при этом изменяя значение в ячейке x;
Решение уравнения методом Подбора параметра
6. После выполнения команды OK, будут автоматически найдены значения переменной x, удовлетворяющие решению уравнения;
7. Уравнение будет равняться 0 при x = 0,5; y = - 0,88
8. Выполняя проверку данного решения, и подставляя значения во второе уравнение мы получили так же правильный ответ.
Решение уравнения методом Подбора параметра
Задание 2.2
Аналогично решаем вторую систему уравнений:
Решение уравнения методом Подбора параметра
3. Матричная алгебра
Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями в связи с чем находит себе применение в различных экономических задачах:
* в эконометрике, для оценки параметров множественных линейных регрессий;
* при решении задач линейного программирования:
* при макроэкономическом моделировании и т.д.
Электронная таблица EXCEL имеет ряд встроенных функций для работы с матрицами:
ТРАНСП - транспонирование исходной матрицы
МОПРЕД - вычисление определителя квадратной матрицы
МОБР - вычисление матрицы обратной к данной
МУМНОЖ - нахождение матрицы, являющейся произведением двух матриц.
Кроме того возможно выполнение операций поэлементного сложения (вычитания) двух матриц и умножения (деления) матрицы на число.
Все вышеперечисленные функции вызываются через мастер функций и хотя относятся к разделу математических, они располагаются в полном алфавитном перечне.
Задание 3.1.
(6)
Для того, чтобы система (6) имели единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы, составленный из коэффициентов при переменных х1, х2, х3, х4 не был равен нулю
Рассчитаем определитель системы пользуясь функцией МОПРЕД Рассчитанное значение определителя системы равно, Рис. 25. оно не равно нулю и следовательно можно продолжать процесс поиска решения
Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения Перепишем систему уравнений (5) в виде
АХ = В, где
- матрица коэффициентов
- вектор столбец неизвестных
- вектор столбец свободных членов
тогда матричное решение \ равнения выглядит так:
Х=А-1В
где А-1 - матрица обратная к исходной
Рис. 25
Результат, указанный на Рис. 18 можно получить, выполнив следующие действия
1. Вычислить определитель и выяснить имеет ли система единственное решение.
2. Вычислить матрицу обратную к исходной
3. Найти произведение обратной матрицы и вектор столбца свободных - членов.
(Пункты 2 и 3 можно объединить, и не вычисляя отдельно обратной матрицы производить умножение так, как показано в строке формул на Рис. 18, т.е. {-МУМНОЖ (МОБР(C2:F5).H2:H5)}
Задание 3.2.
Решение системы уравнений поиском решения
Рис.
Рис.
Рис.
Задание 3.3.
Дана матрица А и В выполнить действия между матрицами.
Выполнение действий над матрицами
Задание 3.4.
Решить уравнение.
Имеем АХ=В, откуда Х=А-1В. А-1 - обратная матрица.
Вычислить определитель матрицы Х.
Нахождение матрицы обратной матрице А
Нахождение определителя матрицы X
Выполнение проверочного действия AX = B
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Решение системы линейных алгебраических уравнений большой размерности с разреженными матрицами методом простого итерационного процесса. Понятие нормы матрицы и вектора. Критерии прекращения итерационного процесса. Выбор эффективного итерационного метода.
лабораторная работа [21,8 K], добавлен 06.07.2009Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010
