Методы оценки погрешностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

«Методы оценки погрешностей»

Задание 1

Число X, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного числа X₁X. Найдите предельную абсолютную и предельную относительную погрешности. В записи числа X₁ укажите количество верных цифр (в узком и широком смысле).

X = 7,32147;

X' = 7,32;

ДX' = |X - X'| = 0,00147 абсолютная погрешность

дX' = ДX'/| X'| = 0,00147 / 7,32 = 0,000201 относительная погрешность

Д_X' = 0,002 предельная абсолютная погрешность

д_X'=0,0003 предельная относительная погрешность

В числе X' = 7,32 все цифры верны в широкоми в узком смысле.

Задание 2

Вычислите с помощью МК значение величины Z при заданных значениях параметров a, b и с, используя «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:

1) по правилам подсчета цифр;

2) по методу строгого учета границ абсолютных погрешностей;

3) по способу границ.

Сравните полученные результаты между собой, прокомментируйте различие методов вычислений и смысл полученных числовых значений.

Z =, a = 0,2399, b = 4,893, c =1,172;

1) по правилам подсчета цифр

b+c:

b+c = 4.893 + 1.172= 6.0650;

По правилу подсчета цифр, при сложении приближенных чисел в результате следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой. Плюс один запасной знак

ac:

ac = a*c = 0.2399 * 1.172 = 0.2812

По правилу подсчета цифр, при произведении приближенных чисел, в полученном значении остается столько значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим их количеством, плюс один запасной.

b - ac:

b - ac = 4.893 - 0.2812 = 4.6118

По правилу подсчета цифр, при сложении приближенных чисел в результате следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой. Плюс один запасной знак.

ln (b+c):

ln (b+c) = ln (6.0650) =1,8025345423960134532891861315019;

|(ln (b+c))'| = 1/(b+c) = 1 / 6.0650< 1;

ln (b+c) = 1,8025;

Так как значение модуля производной функции не превосходит единицы, в полученном значении следует сохранить такое же число десятичных знаков, как и в аргументе плюс один запасной знак.

Z:

Z = = 1,8025/4.6118=0.39085

Z = 0.391

2) по методу строгого учета границ абсолютных погрешностей

b+c:

b+c = 4.893 + 1.172 = 6.065

Д (b+c) = Дb + Дc = 0.0005 + 0.0005 = 0.001

b + c? 6.065

Полнаяпогрешность= погрешность действия + погрешность округления

Д_b+c= Д (b+c) + |(b + c) - Д (b+c)| = 0,001 + |6,065 - 6,065| = 0,001

ac:

ac = 0.23999 * 1.172 = 0,2811628

Д(ac) = cДa + aДc = 0.23999*0.0005 + 1.172*0.00001 = 0.0000237195 ? 0.000024

ac? 0.28116

Полнаяпогрешность = погрешность действия + погрешность округления

Д_ac = 0.000024 + |0.2811628 - 0.28116|= 0,0000268 ? 0.000027

b - ac:

b - ac = 4.893 - 0.281 = 4.612

Д (b - ac) = 0.0005 + 0.000027 = 0.000527 ? 0.00053

b - ac? 4.612

Полнаяпогрешность = погрешность действия + погрешность округления

Д_{b - ac} = 0.00053 + |4.612 - 4.612| = 0.00053

ln (b+c):

ln (b+c) = ln (6.065) = 1.802534542

Д (ln(b+c)) = |(ln (b+c))'| * Д (b+c) = 1/6.065 * 0.001 = 0.00016488 ? 0,00016

ln (b+c) ? 1.803

Полнаяпогрешность = погрешность действия + погрешность округления

Д_ln(b+c) = 0.000165 + |1.803 - 1.8025345| = 0,000165 + 0,0004655 = 0,0006305

Z:

Z =

ДZ =

Д(Z) = 0.00004322 + (0.3908 - 0.3910) = 0,00024322

Z ? 0.3910

Z = 0.391±0,001

абсолютный погрешность предельный граница

3) по способу границ

a:

НГ_a<a<ВГ_a

НГ_a= a - Дa= 0.2399 - 0,00005 = 0.23985

ВГ_a= a +Дa= 0.2399+0,00005 = 0.23995

b:

НГ_b<b<ВГ_b

НГ_b= b - Дb= 4.893 - 0,0005 = 4.8925

ВГ_b= b +Дb= 4.893 + 0,0005 = 4.8935

c:

НГ_c<c<ВГ_c

НГ_c= c - Дc = 1.172 - 0,0005 = 1.1715

ВГ_c= c + Дc = 1.172 + 0,0005 = 1.1725

b+c:

НГ_b+ НГ_c<b+c<ВГ_b +ВГ_c

НГ_b+c = 4.8925 + 1.1715 = 6,0640

ВГ_b+c= 1.1725 + 4.8935 = 6,0660

ac:

НГ_a * НГ_c< a*c <ВГ_a *ВГ_c

НГ_ac =0.23985*1.1725 = 0,28122

ВГ_ac= 0.23995*1.1725 = 0,28134

b-ac:

НГ_b-ВГ_ac< b-ac <НГ_b -ВГ_ac

НГ_b-ac = 4.8925 -0,28134 = 4,6112

ВГ_b-ac = 4.8935-0,28122 = 4,6125

ln (b+c):

НГ_ln(b+c)<ln (b+c)<ВГ_ln(b+c)

Д (ln(b+c)) = |(ln (b+c))'| * Д (b+c) = 1/6.065 * 0.001 = 0.00016488 ? 0,000165

НГ_ln(b+c)= ln(НГ_b+c) =ln (6,064)=1,8024

ВГ_ln(b+c)= ln(ВГ_b+c) =ln (6,066) =1,8027

Z:

НГz<<ВГz

НГ_ln(b+c)/ ВГ_b-ac<<ВГ_ln(b+c)/НГ_b-ac

НГ_ln(b+c)/ ВГ_b-ac = 1,8024 / 4,6125 = 0.39079

ВГ_ln(b+c)/НГ_b-ac = 1,8027 / 4,6112 = 0.39091

0.39079<Z<0.39091

Сравнительный анализ рассмотренных методов

Мы вычислили значение величины Zпри заданных значениях параметров a, bи c, используя «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений, тремя способами:

1) по правилам подсчета цифр;

2) по методу строгого учета границ абсолютных погрешностей;

3) по способу границ.

В итоге были получены приближённые результаты, отличающиеся друг от друга на сравнительно небольшие значения. Эта разница обусловлена различием используемых методов вычислений.

По правилам подсчёта цифр: Z = 0.391

При вычислении этим методом явного учета погрешностей не ведется, правила подсчета цифр показывают лишь, какое количество значащих цифр или десятичных знаков в результате можно считать надежным. Правила подсчета цифр носят оценочный характер и не являются методом строгого учета точности вычислений. Обычно их применяют тогда, когда быстро и без особых затрат нужно получить результат, не особенно беспокоясь о его достоверности. Это самый быстрый и лёгкий метод.

По методу строгого учета границ абсолютных погрешностей: Z = 0.3910 ± 0,001

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей. При этом на каждом новом этапе вычисляется полная погрешность, равная суммепогрешности действия и погрешности округления, что обеспечивает достаточно точный результат. Метод сложнее предыдущего и в результате даёт диапазон значений.

По способу границ: 0.39079<Z<0.39091

Метод границ используют, если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины. Способ границ связан со способом строгого учета границ погрешностей. Это самый сложный способ, так как предполагает много математических операций. Но тем самым в ответе метод даёт конкретный узкий диапазон значений.

Размещено на Allbest.ru