Сравнительный анализ аксиоматики школьного курса по учебнику Погорелова и аксиоматики Давида Гильберта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

аксиома школьный учебник геометрия теорема

Вступление

1. Аксиоматика школьного курса по учебнику геометрии А.В. Погорелова

2. Система аксиом Гильберта

3. Сравнительный анализ аксиоматики школьного курса по учебнику Погорелова и аксиоматики Давида Гильберта

4. Чем заменил Лобачевский одну из аксиом Евклида

Заключение

Литература



Вступление

Вся школьная геометрия построена на аксиоматическом методе. Впервые этот метод был введён Евклидом в его знаменитом трактате «Начала». В течение 2000 лет его аксиомы исследовались и дополнялись. Изначально было доказано, что система аксиом Евклида является спорной, неточной. Одним из таких знаменитых математиков был Давид Гильберт. Он внёс значительные перемены как в аксиоматику Евклида, так и математику вообще. Задачей этой работы является сравнить аксиоматику Гильберта и аксиоматику любого школьного учебника. Мы берем школьный учебник геометрии А.В. Погорелова. Но также для нас важен ответ на вопрос: а зачем вообще учителю знать аксиоматику Давида Гильберта, разве не достаточно следовать школьному курсу аксиом по тому или иному учебнику?



1. Аксиоматика школьного курса по учебнику геометрии Погорелова А.В.

В книге Погорелова А.В. геометрия опирается на следующие аксиомы:

Аксиомы планиметрии (7-9 класс):

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии (10-11 класс):

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

2. Система аксиом Гильберта

I группа - Аксиомы прuнадлежности

Аксиомы этой группы описывают свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

I_1. Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, проходящая через эти точки.

I_2. Каковы бы ни были две точки A и B, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I_3. На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.

I₄. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость , проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I₅. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I₆. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то каждая точка прямой а лежит в плоскости .

I₇. Если две плоскости и имеют общую точку А , то они имеют еще, по крайней мере, одну общую точку В.

I_8. Существуют, по крайней мере, четыре точки не лежащие в одной плоскости.

II группа - Аксиомы порядка

Вторая труппа аксиом описывает основные свойства неопределяемого отношения «лежать между» для точек, расположенных на одной прямой.

II₁. Если точка В лежит между точками А и С, то А, В, С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А.

II_2. Для любых двух точек А и С на прямой (АС) существует, по крайней мере, одна точка В такая, что точка С лежит между точками А и В.

II₃ . Из трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.

II₄. Пусть А, В. С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости (АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В. С. Тогда если прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она проходит также через одну из точек отрезка АС или через точку отрезка ВС.

Аксиома II₄ называется аксиомой Паша

III группа - Аксиомы конгруэнтности

III₁. Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другой прямой , то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такую точку , что АВ = A. Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА.'

III_2. Если и , то .

III_3. Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, и пусть и - два отрезка на той же или другой прямой , тоже не имеющие общих точек. Если и , то .

III_4. В некоторой плоскости даны: угол и луч . Тогда в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч , существует единственный луч k' такой, что , и все внутренние точки лежат в заданной полуплоскости. Каждый угол равен самому себе: .

III₅ Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом и , то и .

IV группа - Аксиомы непрерывности.

Основное назначение этой группы аксиом состоит в том, чтобы ввести длину отрезка и величину угла, а также описать свойства непрерывности расположения точек на прямой.

IV₁. Пусть АВ и CD - произвольные отрезки. Тогда на луче АВ существует конечное число точек , расположенных так, что точка А₁ лежит между А и А₂, точка А₂ лежит между А₁, и А₃ и т.д., отрезки равны отрезку СD и точка В лежит между А и А_п.

IV_2. Пусть, на какой угодно прямой а, дана бесконечная последовательность отрезков , из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего; пусть далее, каким бы ни был заранее данный отрезок, найдется номер n, для которого меньше этого отрезка. Тогда на прямой а существует точка, лежащая внутри всех отрезков .

V группа - Аксиома параллельности

V. Даны: прямая а и, не принадлежащая ей, точка A. В плоскости, определяемой прямой а и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой а.

3. Сравнительный анализ аксиоматики школьного курса геометрии по учебнику А.В. Погорелова и аксиоматики Давида Гильберта

Сравнивая аксиоматику школьного курса в книге А.В. Погорелова и систему аксиом Гильберта мы выделили основные понятия, используемые в них. Так в школьном курсе основные понятия это точки, прямые, плоскости и отрезок, также используются понятия полуплоскости. Где определения этих понятий учитель обьясняет на практике, путем построений и конкретных жизненных примеров. Например, определяя точку - просто ставит её на доске мелом, плоскость - это бесконечная плоскость доски, парты и т.д. Понятие прямой даётся практическим путём: возьмите линейку и проведите линию, представьте что эта линия бесконечна - это и есть прямая. В школьном курсе даются скорее понятия чем определения, они неточны и неполны, но для обывателя, который в будущем не планирует заниматься высшей математикой, они являются достаточными. Гильберт использует следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость. Однако, в отличие от школьного курса, он не дает вообще никаких определений: всё что надо знать о основных понятиях содержится в аксиомах. Понятие движения появляется позже, после группы аксиом конгруэнтности. Таким образом, основные понятия в аксиоматике Гильберта - неопределяемые.

Также в аксиоматике можно выделить отношения между основными понятиями. Школьный курс: точка принадлежит прямой (прямая проходит через точку), точка принадлежит плоскости (плоскость проходит через точку), прямая лежит на плоскости, точка лежит между двумя другими точками. Аксиоматика Гильберта: принадлежность, лежать между, «конгруэнтность» (Две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую при помощи движения).

Прежде чем приступить к подробному анализу данных аксиом хотелось бы отметить что в школьном курсе объяснение аксиом даётся практическим путём: построили, увидели что больше никаких вариантов построения нет и всё. Таким же образом решаются и задачи данного курса. В аксиоматике Гильберта подразумевается наличие множества точек, множества прямых и множества плоскостей. Если есть две точки, то к ним обязательно «прибежит» прямая из множества прямых. Появились три точки? Значит к ним уже «спешит» плоскость из множества плоскостей. Аксиомы даются на «чистой» логике и последующие задачи решаются логическим путём. В системе аксиом Гильберта выделены некоторые группы аксиом, попробуем разбить на группы и аксиоматику Погорелова.

1. Аксиомы принадлежности.

1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы порядка.

2.1 Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2 Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

3. Аксиомы меры для углов и отрезков.

3.1 Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2 Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

3.3 Каково бы ни было вещественное число d большее нуля, существует отрезок длины d.

4. Аксиома о существовании треугольникa, равного даннoму.

4.1 Какoв бы ни был треугoльник, существует рaвный ему треугoльник в даннoй плоскoсти в задaнном распoложeнии относительнo даннoй полупрямoй в этой плoскости.

5. Аксиома о параллельных прямых.

5.1 На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

6. Аксиомы стереометрии.

6.1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.

6.2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

6.3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Замечание: Аксиомы групп 1-5 (планиметрия) и аксиомы группы 6 (стереометрия) представляют собой группу аксиом стереометрии.

В каждой из данных аксиоматик выделены несколько групп аксиом. Школьный курс геометрии, А.В.Погорелов:

1. Аксиомы принадлежности (2).

2. Аксиомы порядка (2).

3. Аксиомы меры для отрезков и углов (3).

4. Аксиома существования треугольника, равного данному (1).

5. Аксиома параллельных (1).

6. Аксиомы стереометрии (3).

Аксиоматика Гильберта:

1. Аксиомы принадлежности (8).

2. Аксиомы порядка (4).

3.Аксиомы конгруэнтности (5).

4. Аксиомы непрерывности (2).

5. Аксима параллельности (1).

Замечание: Изначально у Гильберта существовала 21 аксиома, в 1902 году Э.Х. Мур доказал что она является избыточной.

«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A,B,C и D так, чтобы точка В лежала между точками А и С, а также между А и D,точка С - между A и D, а также между B и D»

Рассматривая аксиомы первой группы Гильберта мы увидели, что с их помощью можно доказать несколько теорем, которые в школьном курсе берутся без доказательства, как очевидные.

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Имея аксиомы первой и второй группы мы можем доказать многие факты геометрии, с их помощью вводятся ряд определений. Уже можно доказать что между любыми точками существует хотя бы одна точка, а следовательно и любой отрезок (прямая) содержит бесконечное множество точек. Но с помощью этих теорем нельзя доказать что это множество точек нельзя сосчитать. Можно также доказать, что аксиома Паша верна и в том случае когда точки А, В, С лежат на одной прямой, а также если прямая пересекает какие-либо два отрезка из трёх отрезков то она не пересекает третий отрезок. С помощью аксиомы 2.3 можно доказать из трёх точек прямой одна всегда лежит между двумя остальными.

Аксиомы первой и второй группы позволяют ввести понятия полуплоскости, полупространства и луча.

С помощью аксиом конгруэнтности (третья группа) можно доказать следующие теоремы из школьного курса:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. Признаки равенства треугольников.

3. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона.

4. Любой отрезок имеет одну и только одну середину. и т.д.

Заметим также, что Гильберт сделал признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними аксиомой 3.5. В аксиоматике школьного курса этот постулат принято доказывать(впервые доказал Хр.Вольф) а у Гильберта это следует из аксиом конгруэнтности. В школьном курсе признаки равенства треугольников доказываются методом «наложения», как изначально предлагал Евклид.

Теорема 1: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим АВС=А₁В₁С₁, у которых АВ= А₁В_1, АС= А₁С₁, А=А_1.

Докажем, что ДАВС и ДА₁В₁С₁.

Так как А=А₁, то ДАВС можно наложить на ДА₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁. Поскольку АВ= А₁В_1, АС= А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В_1, а сторона АС - со стороной А₁С₁; в частности, совместятся точки В и В_1, С и С₁. Следовательно совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники АВС и ДА₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны. ч.т.д.

Теорема 2: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.



Доказательство

Рассмотрим ДАВС и ДА₁В₁С₁, у которых АВ= А₁В_1, А=А₁, В=В₁. Докажем, что ДАВС =ДА₁В₁С₁. Наложим ДАВС на ДА₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, а стороны АВ с равной ей стороной А₁В₁ ,а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁. Так как А=А₁ В=В₁, то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС - на луч В₁С₁. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче В₁С₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С₁. Значит, совместятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁. Итак, ДАВС и ДА₁В₁С₁ полностью совместятся, поэтому они равны. ч.т.д.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим ДАВС и ДА₁В₁С₁, у которых АВ= А₁В_1, АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁. Докажем, что ДАВС =ДА₁В₁С₁. Приложим ДАВС к ДА₁В₁С₁, так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В - с вершиной В₁ ,а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Возможны три случая:

1) луч СС₁ проходит внутри А₁В₁С₁;

2) луч СС₁ совпадает с одной из сторон этого угла;

2) луч СС₁ проходит вне А₁В₁С₁.

Рассмотрим первый случай (остальные случаи доказываются аналогично). Так как по условию теоремы стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ равны, ДА₁С₁С и ДВ₁С₁С - равнобедренные. По теореме о сумме углов равнобедренного треугольника 1=2, 3=4, поэтому А₁СВ₁= А₁С₁В₁. Итак, АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁, С = С₁. Следовательно, ДАВС и ДА₁В₁С₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Ч.т.д.

Теорема 1. Если у двух треугольников ABC и A'B'C' имеем АВ=А'В', АС=А'С', А=А', ДАВС=А'В'С'.

Доказательство:

По аксиоме III. 5. имеем С=С', а также В=В'. Остается доказать, что ВС=В'С'. Предположим, что ВС?В'С'. По аксиоме III. 1. на луче В'С' существует такая точка D, что ВС=В'D. Тогда для ДАВС и ДА'В'С' имеем: АВ=А'В', ВС=В'D, В=В', а потому по аксиоме III. 5.ВАС=В'А'D'. Но по условию АВС=А'В'С'. т.е. по одну сторону луча А'В' существуют два разных луча АС и А'D, такие, что ВАС=В'А'С' и ВАС=В'А'D', что противоречит аксиоме III. 4.. Следовательно, ВС=В'С' и ДАВС= ДА'В'С'. ч.т.д.

Теорема 2. Если у двух треугольников ДАВС и ДА'В'С', у которых АВ= А'В'_, А=А', В=В', то ДАВС=ДА'В'С'

Доказательство:

Надо доказать, что АС =А'С', ВС ='В'С' и С=С'. предположим, что АС не равно А'С'. по аксиоме III.1. на луче А'С' существует такая точка D, что АС =А'D. тогда (по теореме Первый признак конгруэнтности) ДАВС=ДА'В'D. Но в таком случае В= А'В'D, в то же время ВС= А'В'С', т.е. получаем противоречие с аксиомой III.4. Следовательно, АС=А'С'. отсюда по первому признаку конгруэнтности ДАВС=ДА'В'С'. Ч.т.д.

Теорема 3. Если у треугольников ДАВС и ДА'В'С' АВ= А₁В_1, АС=А'С', АВ=А'В', ВС=В'С', то ДАВС=ДА'В'С'.

Доказательство:

Требуется доказать, чтоА=А', В=В', С=С'. по аксиоме III.4. существует луч А'С'' по другую сторону от А'В', нежели тоска С', такой, что ВАС=В'А'С'', а по аксиоме III.1. на этом луче существует точка С'' такая, что АС=А 'С''. По аксиоме III.2. А 'С '=А 'С''. По теореме о Первом признаке конгруэнтности ДАВС=ДА'В'С''. Отсюда ВС='В'С'', а так как ВС='В'С', то по аксиоме III.2. ВС='В'С''. Таким образом, треугольники ДА'С'С'' и ДВ'С'С'' - равнобедренные. По теореме (В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны) 1= 2 и 3= 4. По теореме А'С'В'= А'С''В'. По теореме о первом признаке конгруэнтности ДА'В'С'= А'В'С''. Но отсюда еще нельзя делать заключения, что ДАВС= ДА'В'С', ибо не доказано свойство транзитивности конгруэнтности углов, а значит, и треугольников. Допустим, чтоВАС не равен В'А'С'. Тогда в силу аксиом III.1. и III.4. существуют с той же стороны, что и точка С', луч А'Х и на нем точка С₁ такие, что ВАС=В'А'Х и АС=А'С₁. По теореме о первом признаке конгруэнтности ДАВС= ДА'В'С₁ и, следовательно, ВС=В'С₁. Далее, в силу аксиомы III.2. А'С'' =А'С₁ и В'С'' =В'С₁. Затем совершенно таким же путем, как мы доказывали, что Д А'В'С'= ДА'В'С'', мы теперь докажем, что ДА'В'С₁= Д А'В'С''. Отсюда следует, что В'А'С₁= В'А'С''. Но мы ранее доказали, что В'А'С'= В'А'С'' (ибо ДА'В'С'= ДА'В'С''), а это противоречит аксиоме III.4. Следовательно, ВАС=В'А'С', а поэтому в силу теоремы о первом признаке конгруэнтности ДАВС= А'В'С'. Ч.т.д.

Как уже было сказано выше в школьном доказательстве признаков равенства треугольников используется метод «наложения» . Доказательство основано также на построениях движении. Гильберт же даёт строго логическое доказательство используя уже доказанные аксиомы и построения здесь лишь вспомогательный, а не основной инструмент доказательства.

По учебнику Погорелова аксиомы 2.2, 3.2, 4.1, 5.1 требуют уточнений и доказательства (В планиметрии рассматривается одна плоскость, а в стереометрии плоскостей бесконечно много).

1. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

2. От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

4. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиому 1.2 мы выделили также потому, что здесь она дается как аксиома без доказательства. А у Давида Гильберта её можно доказать лишь после введения аксиом первой и второй групп.

Аксиому Гильберта о том, что: «Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости » в школьном курсе геометрии Погорелова рассматривают как теорему.

В принципе Погорелов предлагает более-менее разработанную систему аксиом, нет только некоторых деталей и очень трудных для школьников (возрастные особенности развития) аксиом непрерывности.

Аксиомы геометрии не подбираются произвольно, к ним предъявляются требования независимости, полноты и непротиворечивости. Приведённая выше система аксиом Погорелова удовлетворяет всем требованиям, что доказал сам Погорелов.

Аксиома о параллельных Н.И. Лобачевского.

В пятой группе аксиом Евклида всего одна аксиома о параллельных или пятый постулат Евклида: через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. В отличие от всех остальных аксиом эта звучит более сложно, и на протяжении 2000 лет многие учёные пытались доказать эту аксиому. Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил аксиомой: Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые. Далее он вывел собственную систему аксиом. В наше время недоказуемость пятого постулата Евклида является строго доказанным математическим фактом. К этому выводу в 19 веке почти одновременно пришли и создали неевклидову геометрию три великих математика: Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), Янош Бойяи (1802-1860).



Заключение

Когда мы впервые пришли на занятия по математике в институте наш преподаватель сказал: «- Забудьте всё, что вы изучали в школе. Мы начинаем изучать «настоящую» математику». Рассматривая аксиоматики различных авторов мы в очередной раз в этом убедились. Проведя сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и школьного курса геометрии по учебнику Погорелова, мы пришли к следующим выводам: будущим учителям необходимо знать аксиоматику Гильберта, чтобы получить ясное представление о строго научном построении геометрии на точно определённой аксиоматической базе. Мы увидели на данном примере насколько отличается школьный курс геометрии от строго логического изложения геометрии. Мы увидели, что целый ряд утверждений, которые тщательно доказываются в геометрии, в школе принимаются без доказательства. Таковы, к примеру, предложения о том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простой многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий из вершины треугольника, пересекает противоположную сторону треугольника и т.д. Школьный курс геометрии по необходимости приспособляется к возрастным особенностям учеников, их психологическим особенностям, мы думаем, именно поэтому в школе преподносят больше описательную версию геометрии, а не строго логический курс геометрии с чёткими определениями. Нам же необходимо знать «точную» геометрию, чтобы не следовать «вслепую» за учебником, ведь сложно чему-то научиться, если даже учитель не понимает о чём идёт речь. Закончить бы хотелось такими словами:

«Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. «А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения».

Литература

1. Энциклопедия элементарной математики, т. 4 Геометрия. М. 1963.

2. А.Д. Александров. Основания геометрии. М.: Наука, 1987.

3. А.В. Погорелов. Геометрия. М.: Наука, 1983.

4. Д.И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч. II. М.: 1949.

5. Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1992.

6. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2001.

Размещено на Allbest.ru