Булева алгебра регулярных замкнутых множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Объектом нашего рассмотрения в данной работе является булева алгебра и регулярные замкнутые множества.

Первая глава работы посвящена основным понятиям топологического пространства и некоторым соотношениям в топологиях.

Во второй главе, посвященной булевым алгебрам, рассматриваются сначала аксиомы булевой алгебры, а затем вводятся такие понятия как булево объединение и булево пересечения произвольного семейства элементов булевой алгебры. А так же рассматривается полнота булевой алгебры.

Третья глава посвящена булевой алгебре регулярных замкнутых множеств. Эта глава является ключевой в моей работе. В этой главе я провела доказательство того, что класс регулярных замкнутых множеств с двумя бинарными и одной унарной операцией является булевой алгеброй.

Глава 1. Топологическое пространство

1.1 Аксиомы топологии и примеры топологических пространств

Определение 1.1.1. Пусть - данное множество. Совокупность подмножеств множества называется топологией в множестве , если выполнены следующие условия:

(А1) Пустое и само множество принадлежит , то есть .

(А2) Объединение произвольного класса множеств из входит в , то есть если класс множеств из , , то .

(А3) Пересечение произвольного конечного класса множеств из входит в , то есть если конечный класс множеств из , то .

Определение 1.1.2. Множество вместе с топологией называется топологическим пространством и обозначается . Предложения (А1)-(А3) - аксиомы топологического пространства.

Примеры топологий.

Пусть - произвольное множество. На можно ввести минимальную топологию, состоящую из и , и максимальную топологию - совокупность всех подмножеств множества .

На действительной прямой обычная топология определяется классом всевозможных интервалов.

На действительной прямой топологию можно ввести иначе, считая открытыми все интервалы без конечных или счетных множеств точек и их объединения.

На плоскости обычная топология определяется классом всевозможных прямоугольников , где .

1.2 Основные топологические понятия

Определение 1.2.1. Множества, входящие в топологию , называются открытыми. Множество замкнуто в топологии , если дополнение к нему открыто в этой топологии.

Определение 1.2.2. Окрестностью множества в топологическом пространстве называют всякое множество, которое содержит какое-либо открытое множество, содержащее .Окрестности одноточечного множества называют также окрестностями точки .

Определение 1.2.3. Точку называют внутренней точкой множества , если есть окрестность точки . Множество всех внутренних точек множества называют внутренностью и обозначают .

Определение 1.2.4. Точку топологического пространства называют точкой прикосновения множества в топологическом пространстве , если всякая ее окрестность пересекает .

Множество всех точек прикосновения множества называют его замыканием, и обозначают .

Определение 1.2.5. Множество называется регулярным замкнутым, если оно совпадает с замыканием своей внутренности, то есть =.

Примеры некоторых множеств

Отрезок [а; в] замкнут на R1.

Одноточечное множество замкнуто на R1.

=[а; в]х[с; d] замкнуто на R2.

Интервалы (а; в), (-?; а), (а; +?) открыты на R1.

Числовая прямая является открытым множеством в R1.

6. Рассмотрим множество ==(0,1] оно неоткрытое и незамкнутое так как 0 не входит в , но является точкой прикосновения множества . Внутренность =(0, 1), а замыкание =[0, 1].

7. Рассмотрим множество ==. Внутренность =(2, +?), замыкание =. Множество замкнуто, так как его дополнение (-?, 1)(1, 2) открыто.

8. а) Множество ={(х, у) R2 ¦ } замкнутое, ={(х, у) R2 }, а ={(х, у) R2¦}. Множество совпадает с замыканием своей внутренности, т.е. =, значит, множество регулярное замкнутое.

б) Множество ={(х, у) R2 } замкнутое, ={ (х, у) R2¦ }, =Ш. Множество не является регулярным замкнутым.

в) Множество ={ (х, у) R2 ¦} является замкнутым,

={(х, у) R2¦ },

={ (х, у) R2 ¦},=, множество А регулярное замкнутое.

г) Множество ={(х, у) R2 ¦} замкнутое, но не является регулярным замкнутым т.к. =Ш.

д) Множество ={(х, у) R2¦} не является регулярным замкнутым так как =Ш.(внутренность есть Ш, если замкнуть пустое множество, то получим пустое множество).

ж) Множество ={(х, у) R2 ¦} замкнутое, но не является регулярным замкнутым, так как = Ш.

1.3 Некоторые соотношения в топологических пространствах

Пусть М регулярное замкнутое множество, т.е. М=, - класс всех регулярных замкнутых множеств пространства .

Теорема 1.3.1.

Пусть - топологическое пространство, Е. Тогда , .

Докажем эту теорему. Для этого нужно доказать прямое и обратное включения и .

Пользуясь включениями и равенствами , , последовательно получим:

, взяв внутренность получим . Замкнем оба множества, тогда . Докажем обратное включение, т.е. что . Аналогично воспользуемся теми же включениями и равенствами. Тогда , возьмем внутренность этих множеств и получим . Соответственно замкнем оба множества, имеем .

Доказав прямое и обратное включение мы установили равенство .Таким образом, .

Утверждение 1.3.1. Пусть - топологическое пространство. Тогда для любых множеств выполнены следующие соотношения:

(1). = ,

(2). ? ,

(3). ,

(4). ? = ,

(5). ,

(6). .

Доказательство. Рассмотрим соотношение (1), докажем, что

= . Заметим, что А АВ, В АВ. Замкнув эти множества, получим , . Из этих условий следует, что .

Докажем обратное включение, то есть . Заметим, что А , В . Тогда АВ . Замкнем эти множества и получим . Множество замкнутое, а замыкание замкнутого множества есть замкнутое множество, т.е. = . Значит, , что и требовалось доказать.

Рассмотрим соотношение (2), докажем, что ? . Заметим, что А , В , тогда А ? В ? . Замкнем эти множества и получим . Множество ? замкнутое, а замыкание замкнутого множества есть замкнутое множество, т.е. = ? . Значит, ?, что и требовалось доказать.

Приведем контрпример, что обратное включение может не выполняется, т.е. ? . Пусть множество А=Q ? [0, 1] (множество рациональных чисел отрезка [0, 1]) ,а множество В= Q ? [0, 1] (множество иррациональных чисел отрезка [0, 1]) .Замкнем эти множества и получим =[0,1], =[0, 1], но А?В = Ш соответственно = Ш. Значит, ? .

Рассмотрим соотношение (3), докажем, что .

Заметим, что , , тогда .

Покажем на контрпримере, что в обратную сторону включение может не выполняться, т.е. . Пусть А=Q ? [0, 1] (множество рациональных чисел отрезка [0, 1]), а множество В= Q ? [0, 1](множество иррациональных чисел отрезка [0, 1]). Если взять внутренность этих множеств, получим = Ш, = Ш, тогда = Ш. Объединим оба множества, тогда имеем АВ=[0, 1], взяв внутренность этого множества, получим АВ=(0, 1). Таким образом, мы показали что .

Рассмотрим соотношение (4), докажем, что ? = .

Заметим, что А, В, тогда ? А?В. Возьмем внутренность этих множеств и получим . Воспользуемся равенством в нашем случае. Тогда получим = ? , значит, ?.

Докажем обратное включение, то есть, покажем что ?.

Заметим, что , . Возьмем внутренность, тогда , . Из этих условий следует, что А?В. Таким образом, мы доказали, что = ?.

Рассмотрим соотношение (5), докажем, что . Имеем, А ,. Возьмем внутренность, тогда , . Возьмем замыкание и получим , . Тогда .

Покажем на контрпримере, что в обратную сторону включение может не выполняться, т.е. . Пусть А=Q ? [0, 1](множество рациональных чисел отрезка [0, 1]) , В= Q ? [0, 1](множество иррациональных чисел отрезка [0, 1]). Тогда внутренность этих множеств есть пустое множество, т.е. = Ш, = Ш . Замыкание пустого множества есть пустое множество, т.е. = Ш, = Ш, = Ш. Но АВ=[0, 1], =(0, 1) и =[0, 1] . Таким образом, мы показали что возможно .

Рассмотрим соотношение (6) . Докажем это.

Заметим, что А?В А, А?В В. Возьмем внутренность этих множеств и получим , , если взять замыкание внутренности, то , , из этих условий следует .

Покажем на контрпримере, что в обратную сторону включение может не выполняться. Пусть А=[0, 1), В=(1, 2]. Тогда А?В = Ш, возьмем внутренность = Ш. Если взять замыкание внутренности, получим = Ш. Рассмотрим множества А и В по отдельности. Тогда =(0, 1), =[0, 1], =(1, 2), =[1, 2]. Если взять пересечение, получим ={1}. Таким образом, мы показали, что .

Теорема 1.3.2. Пусть , где - класс всех регулярных замкнутых множеств. Тогда , т.е. = .

Докажем эту теорему. Для этого нужно доказать прямое и обратное включения, то есть, и .

а. Было доказано, что (соотношение (5)). Так как и , имеем , то есть .

b. Докажем, что . Проведем последовательные действия, , . Заметим, что =,так как А и В замкнуты и, следовательно, объединение замкнуто. Значит, .

Таким образом, мы доказали, что = , то есть .

Замечание.

Пусть , где - класс всех регулярных замкнутых множеств, т.е. и . Тогда не всегда является регулярным замкнутым.

Было доказано, что (Утв. 1.3.1.Соот.(6)). Так как А и В регулярные замкнутые, то .

Приведем контрпример, покажем, что возможно .

Пусть, А=[0,1], В=[1,2], =А=[0,1], = В=[1,2], ={1}, а = Ш, значит, . Таким образом, мы показали, что пересечение регулярных замкнутых множеств может не быть регулярным замкнутым множеством, т.е. не всегда принадлежит классу , где - класс всех регулярных замкнутых множеств.

Глава 2. Булевы алгебры

2.1 Аксиомы булевой алгебры и примеры булевых алгебр

Пусть - некоторое множество с двумя бинарными операциями , и одной унарной операцией '. Будем предполагать, что операции удовлетворяю следующим условиям: (аксиомы булевой алгебры)

В1.1) ,

В1.2) ,

В2.1) ,

В2.2) ,

В3.1) ,

В3.2) ,

В4.1) ,

В4.2) ,

В5.1) ,

В5.2) ..

Определение 2.1.1. Множество с операциями , ,' на нем называется булевой алгеброй, если верны приведенные выше аксиомы В1.1- В5.2. Обозначается булева алгебра как (А, , ,'). Операции ,,' называются соответственно булевым объединением, булевым пересечением, булевым дополнением. Эти операции являются абстрактными аналогами теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения.

Примеры булевых алгебр

Пусть Е - некоторое множество, D - класс всех его подмножеств. Пусть А, В D. Положим , , . Тогда (D, ,,')=(D, ) - булева алгебра множеств.

Пусть двухэлементное множество, . Булевы операции на введем следующим образом:

	0	1
0	0	1
1	1	1
	0	1
0	0	0
1	0	1

Легко показать, что булева алгебра.

Если перейти на язык логики, то 0 и 1 - булевы переменные будут иметь такой смысл:

0 - «ложное высказывание», 1- «истинное высказывание», а операции будут иметь такой смысл:

- дизъюнкция высказываний, - конъюнкция высказываний,

- отрицание высказывания.

2.2 Булево объединение и булево пересечение произвольного семейства элементов булевой алгебры

Пусть - частично упорядоченное множество, подмножество множества , .

Определение 2.2.1. Элемент называется верхней границей множества , если для любого , следует, что .

Определение 2.2.2. Элемент называется нижней границей множества , если для любого , следует, что .

Определение 2.2.3. Элемент называется точной верхней границей множества и обозначается , если:

для любого ;

для любого , для которого для любого , , справедливо неравенство .

Таким образом, точная верхняя граница множества , является наименьшей из верхних границ множества .

Определение 2.2.4. Элемент называется точной нижней границей множества и обозначается , если:

для любого ;

для любого , для которого для любого , , справедливо неравенство .

Таким образом, точная нижняя граница множества , является наибольшей из нижних границ множества .

Определение 2.2.5. Для любого семейства элементов булевой алгебры булево объединение и булево пересечение этого семейства элементов определим равенствами:

,

.

Примеры

1. Рассмотрим (, ) - булева алгебра множеств (Гл.2, § 1,пр.1).

Пусть , где . Рассмотрим множество , где . Ясно, что и .

2. Рассмотрим . Возьмем два произвольных элемента и найдем ,.

Найдем . Рассмотрим элемент . Ясно, что .

Покажем, что . - является верхней границей множества . Так как , следовательно, . Пусть - некоторая верхняя граница множества , то есть , тогда . Таким образом, , следовательно, .

Аналогично можно доказать, что .

2.3 Полные булевы алгебры

Пусть - булева алгебра.

Теорема 2.3.1 Для любого конечного семейства элементов булевой алгебры его точная верхняя и точная нижняя границы существуют и при этом:

,

.

Замечание 1. В произвольном частично упорядоченном множестве из существования не следует, что существует (и наоборот)

Определение 2.3.1 Булева алгебра называется полной, если для любого семейства её элементов точные границы этого семейства существуют.

Определение 2.3.2 Булева алгебра называется - полной, если для любого счетного семейства её элементов точные границы этого семейства существуют.

Ясно, что любая полная булева алгебра является - полной.

Примеры полной и - полной булевой алгебры

Алгебра множеств, рассмотренная в Гл.2, § 1,пр.1 является полной.

Булева алгебра, построенная на классе измеримых по Лебегу множеств, является - полной.

Булева алгебра, построенная на классе конечных подмножеств действительной прямой , с обычными теоретико-множественными операциями не является ни полной, ни - полной.

Глава 3. Булевы алгебры регулярных замкнутых множеств

Пусть (Е, Т) - топологическое пространство, Е. А - регулярное замкнутое множество (Определение 1.2.5.). Пусть F-класс всех регулярных замкнутых множеств пространства (Е, Т), А, В F. Положим, что ,,. Тогда (F, ,,') - булева алгебра.

Выясним, является ли (F, ,,') булевой алгеброй. Для этого проверим, выполняются ли аксиомы В1.1- В5.2 для (F, ,,').

Пусть А, В, С F.

В1.1) Докажем, что .

Нужно доказать, что . Заметим, что , возьмем внутренность этих множеств и получим , если взять замыкание внутренности, то , что и требовалось доказать.

В1.2) Докажем, что .

Очевидно, что , а следовательно и .

В2.1) Докажем, что .

Имеем, , мы получили уже известное нам свойство теоретико-множественных операций.

В2.2) Докажем, что .

Нужно доказать, что . Покажем, что .

a. Заметим, что (Утв. 1.3.1.Соот.(6)). Пересечем эти множества с некоторым множеством , тогда получим, . Возьмем внутренность полученных множеств, т.е. . Осталось замкнуть эти множества, тогда имеем . (1)

b. Докажем обратное включение, то есть, что .

Как известно . Возьмем внутренность множеств, а затем замыкание, последовательно получим ,

. (2)

Заметим, что . Последовательно возьмем внутренность множеств, а затем замкнем их, тогда имеем , .

Так как (Определение.1.2.5.), то

. (3)

Из включений (2) и (3) следует включение .

Возьмем внутренность множеств, а затем замкнем их, тогда имеем , . Пользуясь равенством , получим

. (4)

На основании включений (1) и (4) мы доказали, что . Аналогично можно доказать, что . Тогда получим, что .

В3.1) Докажем, что.

Нужно доказать, что .

а. Заметим, что . Объединим данные множества с множеством , тогда получим . Последовательно возьмем внутренность множеств, а затем замкнем их, тогда имеем ,

. (1)

множество аксиома булева алгебра

Заметим, что . Объединим данные множества с множеством , тогда получим . Последовательно возьмем внутренность множеств, а затем замкнем их, тогда имеем ,

. (2)

Из (1) и (2) получим .

b. Докажем обратное включение, то есть, что .

Для этого нам потребуются два утверждения.

Утверждение1. Пусть . Тогда для каждой окрестности (окрестность можно считать открытой) существует точка с окрестностью (открытая окрестность), такие, что , и . Докажем это. Пусть . Тогда для любой окрестности , эта окрестность пересекается с множеством . Возьмем элемент из данного пересечения, то есть, (открытое множество). А значит окрестность тоже содержится в множестве , то есть, . Следовательно, .

Заметим, что и . Следовательно, и . Таким образом, Утверждение1 доказано.

Утверждение2. Если , то существует такая окрестность , что .

Теперь докажем, что .

Пусть и окрестность произвольная и открытая. Предположим, что , где и . Воспользуемся Утверждением1. Тогда для окрестности существует точка с окрестностью такие, что , и . Воспользуемся Утверждением2, тогда . Так как , значит, . Заметим, что , а , тогда . Тогда .

Так как множество регулярное замкнутое и пусть , то для каждой окрестности найдется такая окрестность . Значит, .

Итак, и . Следовательно, и .

Для каждой окрестности существует точка с окрестностью такие, что и . Значит, и .

Таким образом, если , то и . Значит, .

Из (а) и (b) получаем равенство .

В3.2) Докажем, что.

Нужно доказать, что .

a. Заметим, что . Так как (Опр.1.2.5.), то . Объединим данные множества с некоторым множеством , имеем . Заметим, что . Последовательно возьмем внутренность множеств, а затем замкнем их, тогда имеем , . Так как (Опр.1.2.5.), то . Аналогично, объединим полученные множества с . Тогда . Таким образом, . Возьмем внутренность множеств, имеем . Замкнем данные множества, тогда . Заметим, что , тогда .

b. Докажем обратное включение, то есть, что . (1)

Для этого будем пользоваться Утверждением1 и Утверждением2 из предыдущего доказательства (В3.1).

Пусть . Если , то включение (1) верно. Воспользуемся Утверждением2, пусть . Тогда найдется окрестность такая, что (так как С регулярное замкнутое множество).

Пусть произвольная окрестность точки (окрестность можно считать открытой).

Предположим, что . Тогда и . Так как , то найдется такая точка такая, что .

Итак , где и .

Пусть, . При этом и .

Тогда . Значит, .

В силу Утверждения1, и . Следовательно, для каждой окрестности найдется такая окрестность , что и . Значит, - точка прикосновения и . Тогда, если , то .

Из (а) и (b) получаем равенство .

В4.1) Докажем, что .

Нужно доказать, что .

a. Как уже известно, . Возьмем внутренность этих множеств, получим . Теперь возьмем замыкание, тогда , так как

(Определение.1.2.5), то . Тогда .

b. Очевидно, что. Таким образом, из a. и b. получаем, что .

В4.2) Докажем, что .

Докажем, что . Воспользуемся включением и равенством (Определение.1.2.5.). Имеем . Замкнем эти множества, получим или . Что и требовалось доказать.

5.1) Докажем, что .

Нужно доказать, что (1)

Заметим, что , где граница множества .

Так как множество регулярное замкнутое, то внутренность границы множества пуста, то есть . Докажем это. Допустим противное. Тогда . Возьмем элемент такой, что , а значит, что . Более того, замкнуто и . Следовательно, , а значит, . Но , а значит, , так как замкнутое множество.

Таким образом, , а это противоречит определению регулярного замкнутого множества (Опр.1.2.5.).

Чтобы доказать равенство (1), нужно доказать, что множество пусто. Заметим, что . Возьмем внутренность, а затем замкнем эти множества и получим , . Выше было доказано, что , если замкнуть пустое множество, то получим пустое множество, то есть , а значит, . Вернемся к равенству (1). Если множество объединить с пустым множеством, то получим само множество . Что и требовалось доказать.

В5.2) Докажем, что .

Нужно доказать, что или . Пусть (Е, Т) - топологическое пространство, Е=А' А.. Значит,

(1).

Очевидно, что

(2).

Из (1) и (2) получаем , возьмем внутренность этих множеств, имеем . Замкнем данные множества, получим . Так как (Определение.1.2.5.), то . Что и требовалось доказать.

Литература

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М: Наука, 1977.

2. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М: Наука,1969.

3. Горева Г.А. Булевы алгебры и топологии. Методические указания и задачи. Иваново: издательство ИвГУ, 2000.

4. Савельев Л.Я. Лекции по математическому анализу. Приложение «Непрерывные меры». Новосибирск, 1975.

5. Сикорский Р. Булевы алгебры. М: Мир, 1969.

Размещено на Allbest.ru