Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант № 1

1. Найти пределы:

.

Решение.

Для раскрытия неопределенности используем правило Лопиталя:

Ответ: .

2. Найти производную от функции .

Решение.

. Ответ:

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера: .

Решение.

1. Решим методом Гаусса.

Прямой ход.

Расширенная матрица системы:

Исключим переменную x из всех уравнений, за исключением первого.

Решать систему уравнений в целых числах удобнее.

Умножим коэффициенты уравнения 3 на - 3 и прибавим получившееся уравнение к уравнению:

Поменяем местами уравнения 1 и 2 (порядок уравнений в системе не имеет значения)

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 6 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2:

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 3 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3:

Исключим переменную y из последнего уравнения.

Умножим коэффициенты уравнения 2 на 7.

Умножим коэффициенты уравнения 3 на - 17.

Прибавим уравнение 2 к уравнению 3:

Обратный ход.

Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы:

Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:

Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:

2. Решим методом Крамера.

Т.к. определитель не равен нулю, система имеет единственное решение.

Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 6:

Разлагаем определитель по элементам первой строки:

;

Найдем . Определитель получается из определителя , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 4:

Разлагаем определитель по элементам первой строки:

;

Найдем . Определитель получается из определителя , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2:

Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 1, умноженные на 2:

Разлагаем определитель по элементам первой строки:

;

Найдем . Определитель получается из определителя , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 4:

К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 5:

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца:

;

Найдем решение системы уравнений:

Ответ: .

1. Найти интегралы: а) , б) .

Решение.

а)

б)

Ответ: а) ; б) .

2. Даны вершины треугольника ABC: А (3,0), В (-3,-1), С (0,2). Построить чертеж, найти угол и написать уравнение прямой AB.

Решение.

2. Найдем угол АВС, используя формулу скалярного произведения векторов:

3. Составим уравнение прямой АВ.

Используем вид уравнения прямой, проходящей через 2 точки:

В знаменателях пропорции стоят числа - 6 и - 1. Вектор = (-6, - 1) называется направляющим вектором прямой AB. Вектор параллелен прямой AB.

- уравнение прямой AB.

Коэффициенты при переменных х и y в уравнении прямой AB равны - 1 и 6. Вектор = (-1,6) называется нормальным вектором прямой AB. Вектор перпендикулярен прямой AB.

Ответ: - уравнение прямой AB.

1. Построить график функции .

Решение.

1. Область определения функции x Ѓ‚1, то есть D (y) = (?Ѓ‡;

1) Ѓѕ (1; +Ѓ‡). Точки разрыва x =1. Вычислим односторонние пределы:

;

.

Получаем, что x =1 - вертикальная асимптота.

2. Точки пересечения с осями координат:

Ox: , точка (0,0).

Oy: , ЃЛ, точка (0,0).

3. Проверим четность\нечетность функции:

,

- следовательно, функция общего вида.

4. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

Находим критические точки: x = 0, x=1, x=3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции:

Функция возрастает на интервалах (?Ѓ‡; 0] [0;

1) [3; +Ѓ‡), убывает на интервале

(1; 3].

5. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:

Приравниваем к нулю и находим критические точки: x = 0, x =1.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят области определения функции.

Функция выпукла вверх на интервалах [0;

1) (1; + Ѓ‡), выпукла вниз на интервалах

(?Ѓ‡; 0]. Точка перегиба: x = 0, f (0) = 0.

6) Наклонные асимптоты вида y = kx + b

k =

b=

Получили асимптоту:

7) Основываясь на полученных данных, строим схематический график функции, вычислив значение функции в контрольных точках:

2. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида:

Интегрирующий множитель определяется формулой: u,

Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде: , где C ? произвольная постоянная.

Вычислим интегрирующий множитель: u

Ответ: .

3. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Найдем радиус сходимости:

Проверим сходимость ряда на границах интервала сходимости:

На правой границе интервала ряд имеет вид:

ряд сходится, значит, границы включаются в область сходимости.

Ответ: ряд сходится на интервале [-6; 4].

Вариант № 2

1. Решить игру аналитическим и геометрическим способами:

Решение.

1. Решим аналитически.

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку.

Считаем, что игрок 1 выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок 2 выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока 1.

Игроки	B1	B2	B3	B4	a = min (Ai)
A1	5	0	2	5	0
A2	-2	-4	1	8	-4
b = max (Bj)	5	0	2	8	0

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры , которая указывает на максимальную чистую стратегию A₁.

Верхняя цена игры .

Седловая точка (1,2) указывает решение на пару альтернатив (A1,B2). Цена игры равна 0.

2. Решим геометрически.

Если игрок B применяет стратегию B1, то выигрыш игрока A при применении стратегии A1 равен a₁₁ = 5, а при использовании А2 выигрыш равен a₂₁ = - 2, поэтому откладываем отрезки А1В1 = 5, А2В?1 = - 2 на перпендикулярах в А1 и А2 и соединяем их отрезком. Аналогично для стратегий B2, В3 и B4 строим отрезки B2B?2, B3B?3, B4B?4.

линейное уравнение аналитический геометрический

2. Выделяем нижнюю границу выигрыша и находим наибольшую ординату этой нижней границы, которая равна цене игры. В нашем случае это ордината т. B2=0.

3. Определяем пару стратегий, пересекающихся в точке оптимума.

Это A1 и B2.

Ответ: Выигрыш игрока A составит 0 ден. ед., проигрыш игрока B составит 0 ден. ед.;

игрок A использует чистую стратегию A1, игрок B использует чистую стратегию B2.

2. Решить задачу линейного программирования геометрическим способом:

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств.

Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

1)

При при

2)

При при

3)

При при

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи

.

Построим прямую, отвечающую значению функции

.

При при

Будем двигать эту прямую параллельным образом. Нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией. Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Найдем минимальное значение целевой функции:

Ответ: минимальное значение целевой функции: 27.

3. Имеются по три пункта поставки и потребления однородного груза с данными возможностями и потребностями и матрицей тарифов доставки груза. Найти оптимальный план перевозки груза.

	B1	B2	B3	ai
A1	1	8	1	120
A2	2	2	4	180
A3	4	6	9	200
bi	135	200	165

Решение.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов.

	1	2	3	Запасы
1	1	8	1	120
2	2	2	4	180
3	4	6	9	200
Потребности	135	200	165

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	Запасы
1	1	8	1	120
2	2	2	4	180
3	4	6	9	200
Потребности	135	200	165

1. Поиск первого опорного плана.

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел или .

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 120, потребности 135. Поскольку минимальным является 120, то вычитаем его.

x₁₁ = min (120,135) = 120.

1	x	x	120 - 120 = 0
2	2	4	180
4	6	9	200
135 - 120 = 15	200	165	0

Искомый элемент равен 2.

Для этого элемента запасы равны 180, потребности 15. Поскольку минимальным является 15, то вычитаем его.

x₂₁ = min (180,15) = 15.

1	x	x	0
2	2	4	180 - 15 = 165
x	6	9	200
15 - 15 = 0	200	165	0

Искомый элемент равен 2.

Для этого элемента запасы равны 165, потребности 200. Поскольку минимальным является 165, то вычитаем его.

x₂₂ = min (165, 200) = 165.

1	x	x	0
2	2	x	165 - 165 = 0
x	6	9	200
0	200 - 165 = 35	165	0

Искомый элемент равен 6.

Для этого элемента запасы равны 200, потребности 35. Поскольку минимальным является 35, то вычитаем его.

x₃₂ = min (200,35) = 35.

1	x	x	0
2	2	x	0
x	6	9	200 - 35 = 165
0	35 - 35 = 0	165	0

Искомый элемент равен 9.

Для этого элемента запасы равны 165, потребности 165. Поскольку минимальным является 165, то вычитаем его.

x₃₃ = min (165,165) = 165.

1	x	X	0
2	2	X	0
x	6	9	165 - 165 = 0
0	0	165 - 165 = 0	0

	1	2	3	Запасы
1	1 [120]	8	1	120
2	2 [15]	2 [165]	4	180
3	4	6 [35]	9 [165]	200
Потребности	135	200	165

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз поставки вывезены, потребность пунктов потребления удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть . Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

2. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы , . по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что _:

	v1=1	v2=1	v3=4
u1=0	1 [120]	8	1
u2=1	2 [15]	2 [165]	4
u3=5	4	6 [35]	9 [165]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 1

Для этого в перспективную клетку (1;

3) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-".

	1	2	3	Запасы
1	1 [120] [-]	8	1 [+]	120
2	2 [15] [+]	2 [165] [-]	4	180
3	4	6 [35] [+]	9 [165] [-]	200
Потребности	135	200	165

Цикл приведен в таблице (1,3; 1,1; 2,1; 2,2; 3,2; 3,3;).

Из грузов , стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. . Прибавляем 120 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 120 из , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	1	8	1 [120]	120
2	2 [135]	2 [45]	4	180
3	4	6 [155]	9 [45]	200
Потребности	135	200	165

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы, . по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что _:

	v1= - 2	v2= - 2	v3=1
u1=0	1	8	1 [120]
u2=4	2 [135]	2 [45]	4
u3=8	4	6 [155]	9 [45]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 4

Для этого в перспективную клетку (3;

1) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-".

	1	2	3	Запасы
1	1	8	1 [120]	120
2	2 [135] [-]	2 [45] [+]	4	180
3	4 [+]	6 [155] [-]	9 [45]	200
Потребности	135	200	165

Цикл приведен в таблице (3,1; 3,2; 2,2; 2,1;).

Из грузов стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у . Прибавляем 135 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 135 из , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	1	8	1 [120]	120
2	2	2 [180]	4	180
3	4 [135]	6 [20]	9 [45]	200
Потребности	135	200	165

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы, . по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что _:

	v1= - 4	v2= - 2	v3=1
u1=0	1	8	1 [120]
u2=4	2	2 [180]	4
u3=8	4 [135]	6 [20]	9 [45]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 4

Для этого в перспективную клетку (2;

3) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-".

	1	2	3	Запасы
1	1	8	1 [120]	120
2	2	2 [180] [-]	4 [+]	180
3	4 [135]	6 [20] [+]	9 [45] [-]	200
Потребности	135	200	165

Цикл приведен в таблице (2,3; 2,2; 3,2; 3,3;).

Из грузов стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е.

Прибавляем 45 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 45 из , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	1	8	1 [120]	120
2	2	2 [135]	4 [45]	180
3	4 [135]	6 [65]	9	200
Потребности	135	200	165

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы, . по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что _:

	v1= - 3	v2= - 1	v3=1
u1=0	1	8	1 [120]
u2=3	2	2 [135]	4 [45]
u3=7	4 [135]	6 [65]	9

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию .

Минимальные затраты составят:

Ответ: минимальные затраты составят:

4. Предприятие выпускает три вида продукции по ценам за 1 единицу 75, 70, 60 у. е. соответственно. Производственные возможности предприятия характеризуются следующими данными:

суточный фонд рабочего времени оборудования - 700 ч.

суточный расход сырья - 810 т.

суточный расход электроэнергии - 720 кВт/ч.

Интенсивность использования ресурсов при производстве различных видов продукции дана в таблице.

ресурсы	Интенсивность использования ресурсов при производстве 1 ед. продукции
	I	II	III
Рабочее время оборудования, ч	2	3	4
Сырьё, т	1	4	3
Электроэнергия, кВт/ч	3	4	2

Определить оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный объём выручки.

Решение.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции при следующих условиях-ограничениях:

,

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

Матрица коэффициентов этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,700,810,720)

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	700	2	3	4	1	0	0
x5	810	1	4	3	0	1	0
x6	720	3	4	2	0	0	1
F (X0)	0	-75	-70	-60	0	0	0

Алгоритм симплекс-метода:

Шаг 0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В индексной строке выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значенияпо строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	700	2	3	4	1	0	0	350
x5	810	1	4	3	0	1	0	810
x6	720	3	4	2	0	0	1	240
F (X1)	0	-75	-70	-60	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₁

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=3. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₁ и столбец x_1.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В) /РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (3), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	=220	=0	=0.33	=2.67	=1	=0	=-0.67
x5	=570	=0	=2.67	=2.33	=0	=1	=-0.33
x1	=240	=1	=1.33	=0.67	=0	=0	=0.33
F (X1)	=18000	=0	=30	=-10	=0	=0	=25

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	220	0	0.33	2.67	1	0	-0.67
x5	570	0	2.67	2.33	0	1	-0.33
x1	240	1	1.33	0.67	0	0	0.33
F (X1)	18000	0	30	-10	0	0	25

Шаг 1. 1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В индексной строке выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения по строкам как частное от деления: b_i / a_i3 и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2.67) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x4	220	0	0.33	2.67	1	0	-0.67	82.5
x5	570	0	2.67	2.33	0	1	-0.33	244.29
x1	240	1	1.33	0.67	0	0	0.33	360
F (X2)	18000	0	30	-10	0	0	25	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₃

Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2.67

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₃ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₃ и столбец x_3.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	=82.5	=0	=0.13	=1	=0.37	=0	=-0.25
x5	=377.5	=0	=2.38	=0	=-0.87	=1	=0.25
x1		=1	=1.25	=0	=-0.25
F (X1)		=0	=31.24	=0.01	=3.75	=0	=22.5

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	82.5	0	0.13	1	0.37	0	-0.25
x5	377.5	0	2.38	0	-0.88	1	0.25
x1	185	1	1.25	0	-0.25	0	0.5
F (X2)	18825	0	31.25	0	3.75	0	22.5

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	82.5	0	0.13	1	0.37	0	-0.25
x5	377.5	0	2.38	0	-0.88	1	0.25
x1	185	1	1.25	0	-0.25	0	0.5
F (X3)	18825	0	31.25	0	3.75	0	22.5

Оптимальный план можно записать так:

Ответ:

;

.

Размещено на Allbest.ru